城市人口郊区化的模型与分形

城市人口郊区化的模型与分形

在某种程度上，城市和城市系统的时空发展遵循异速生长规律。异速生长关系实际上是一个分维关系，分割是自然的优化结构。在某种程度上，城市发展的异速生长过程意味着城市系统的自组织优化过程。这一理念对于未来的城市规划将起着重要作用。研究表明，对于城市郊区的布雷顿-韦纳模型和miss模型，城市郊区的特征与异速生长规律有关。这些理论基础基于城市系统的异速生长机制。在这项工作中，我们通过异速生长关系介绍了bredfon模型和miss模型。同时，本文研究了城市密度的o模型和smeed模型之间的地理关系，并确定了不同模型的不同模型之间的理论联系和参数结构。1城市人口密度的时空进程作为理论演绎的前提,首先介绍城市地理学中与郊区化有关的几个基本的数学模型.第一个是Clark关于城市人口密度的负指数模型.1951年,C.Clark根据观测数据,提出了城市人口空间分布密度衰减的负指数函数,表示如下:ρ(r)=ρ0e−λr.(1)ρ(r)=ρ0e-λr.(1)式中,r为到城市中心的距离,ρ(r)为距市中心r处的人口密度,ρ0为比例系数,理论上等于市中心的人口密度ρ(0),λ为人口密度梯度.可以证明,λ=1/r0,这里r0为城市人旅行的平均距离,亦即城市人口分布的特征半径.随着郊区化的进行,城市人口密度梯度λ趋于减小,从而城市的特征半径r0扩大.因此,参数λ或r0的变化可以反映郊区化的时空进程.第二个是Smeed关于城市人口密度的负幂律模型.1961年～1963年,R.J.Smeed提出了城市人口密度衰减的幂指数函数,通常表作:ρ(r)=Kr−σ.(2)ρ(r)=Κr-σ.(2)式中,K为比例系数,σ为距离参数,其它符号意义同式(1).随着郊区化的进行,σ值趋于减小,通过σ值的变化,可以了解郊区化的进程.第三个是Bradford-Kelejian的人口-面积模型(简称B-K模型).1973年,D.Bradford和H.Kelejian提出度量郊区化的城市人口-城区面积模型:PcPc+Ps=(LcLc+Ls)θ.(3)ΡcΡc+Ρs=(LcLc+Ls)θ.(3)式中,Pc为中心城市的人口,Ps为郊区的人口,Lc为中心城市的面积,Ls为郊区的面积,θ为度量郊区化的参数.假定Pc+Ps和Lc不变,随着郊区化的发展,Pc减小,Lc+Ls变大,θ值也因之变化:θ值的大小可以反映郊区化的速度,θ值上升,表明城市郊区化程度的提高.第四个是Mills-Price的Cobb-Douglas式数学模型(简称M-P模型或Mills模型).1984年,E.S.Mills等提出了度量郊区化的Cobb-Douglas型函数:Pc=APαLβc.(4)Ρc=AΡαLcβ.(4)式中,P=Pc+Ps为城市总人口,A为比例系数,α,β为参数,其它符号意义同式(3).随着郊区化的发展,Pc变小,假定P,Lc不变,当Pc减小时,参数α,β乃至A会因之减小,故幂指数的变化可以反映郊区化的进程.2理论演绎2.1城市人口分布的质量维数计算可以看出,式(1)与式(2)显然是描述同一现象的不同性质的模型,二者反映不同演化阶段或不同时空背景下的城市人口密度分布,不能说谁是谁非.首先假定城市密度满足Smeed分布,然后假设满足Clark分布,分别导出不同的结果,最后讨论它们的数理关系.从城市中心出发,将同一环带不同方向的人口密度视为平均,由式(2)可得:P(r)=2πK∫r0s1−σds=P1rD.(5)Ρ(r)=2πΚ∫0rs1-σds=Ρ1rD.(5)式中,参数P1=2πK/(2-σ)为比例系数,D=2-σ为城市人口分布的质量维数.令r=Rc,则有:P(Rc)=P1RDc.(6)Ρ(Rc)=Ρ1RcD.(6)这里Rc为中心城市面积的等效半径,或者取Rc=F/2,这里F为城区面积的Feret直径.考虑到Lc=πR2c,Pc=P(Rc),容易得出:Pc=ηLvc.(7)Ρc=ηLcv.(7)式中,比例系数η=2Kπ1-D/2/D,标度因子v=D/2.同理可得:P=ηLv.(8)Ρ=ηLv.(8)这里P为城市总人口,L=Lc+Ls为城市总面积.显然,式(7)、式(8)正是通常所谓的城市人口-城区面积异速生长关系模型,可以等价地表作Lc=aFbc,L=aPb,这里参数a=η-1/v,b=1/v.式(7)、式(8)左右两边相除,立即得到:PcP=(LcL)v.(9)ΡcΡ=(LcL)v.(9)显然这正是Bradford-Kelejian模型,式中P=Pc+Ps,L=Lc+Ls,参数v=θ.2.2mill模型的建立实际上,从两个简单的异速生长模型出发,可以导出Mills模型.1958年,M.J.Beckmann提出一个关于城市规模等级体系的异速生长模型:用y表示最大城市人口,x表示所有城市总人口,Beckmann建立了如下关系:dyydt=μdxxdt.(10)dyydt=μdxxdt.(10)式中,μ为异速生长系数,dt表示时间变化.不难看出,上式等价于y∝xμ.考虑到城市地理系统的无标度性质,将区域界线缩小到都市区范围之内,便有y=Pc,x=P,从而:Pc=CPμ.(11)Ρc=CΡμ.(11)将式(11)与式(7)两边相乘,可得:Pc=Cη−−−√Pμ/2Lv/2c.(12)Ρc=CηΡμ/2Lcv/2.(12)令A=Cη−−−√‚α=μ/2‚β=v/2A=Cη‚α=μ/2‚β=v/2,上式便化为式(4),即Mills模型.其实,当Lc固定不变时,式(4)收缩为Pc与P的异速生长关系,该关系与式(10)在机理上完全类似.2.3c12e12e现在考察Clark模型与有关郊区化度量模型的关系.假定城市人口的空间分布满足负指数模型,类似于式(5),一定范围内的城区人口为:P(r)=2πρ0∫r0se−s/r0ds=P[1−(1+rr0)e−r/r0].(13)Ρ(r)=2πρ0∫0rse-s/r0ds=Ρ[1-(1+rr0)e-r/r0].(13)式中P=2πr20ρ0(14)Ρ=2πr02ρ0(14)为城市总人口.当取r=Rc时,考虑到Rc=Lc/π−−−−√Rc=Lc/π,由式(13)可知Pc=P[1−(1+Lc√π√r0)e−Lc√/(π√r0)].(15)Ρc=Ρ[1-(1+Lcπr0)e-Lc/(πr0)].(15)显然P,Pc,Lc三者之间不满足Mills模型.容易看出,当且仅当r=r0时,P(r)∝Pμ且μ=1,即有:P(r0)=(1−2e)P.(16)Ρ(r0)=(1-2e)Ρ.(16)相应地令L(r0)=πr2002,由式(14),P=2ρ0L(r0),代入上式得到P(r0)=2ρ0(1−2e)L(r0).(17)Ρ(r0)=2ρ0(1-2e)L(r0).(17)将式(16)与式(17)两边相乘可得到P(r0)=APαL(r0)β.(18)Ρ(r0)=AΡαL(r0)β.(18)这里幂指数α=β=1/2,可见式(18)与式(4)同构,但参数只能取特定值,此时的α和β已不能反映郊区化的情况;但系数A=2ρ0−−−√(1−2/e)A=2ρ0(1-2/e),由于郊区化导致市中心人口密度(ρ0)降低,故A值的减小可以反映郊区化进程.3问题和讨论3.1基于生物关系的城市等级-规模模型现已证明,关于城市郊区化的B-K模型和M-P模型即Mills在数理本质上是等价的,二者都可以从两个基本的异速生长关系中推导出来,我们自然关心前述异速生长模型的理论和实证基础.首先说明,关于城市人口-城区面积异速生长模型的实证基础不成问题,该模型最早由R.S.Narrol和系统论的创始人L.vonBertalanffy合作,将其从生物学领域引入人文地理学,用以描述城市化过程中的城乡人口分布,后来发展到研究城市人口-城区面积的几何测度关系.不久前本文作者基于城市等级体系的分形递归给出了这个模型的理论证明.至于Beckmann城市体系异速生长模型,可以从Beckmann的城市等级-规模模型导出,后者的理论基础是的中心地体系.实际上,Beckmann异速生长模型的提出是基于一个生物学的类比,推广到城市地理学,便是中心城市人口的相对增长率与整个都市区人口的相对增长率具有恒定的比值.其实,Naroll-Bertalanffy模型也是得益于生物学类比,Bertalanffy本人乃是生物学出身.但如前所述,上述模型在地理学领域现在都可以从一定的假设条件推导出来,从而它们不再是经验模型,而成为理论模型.3.2负料模型型.城市人口分布由负指数模式转向装置前述数理分析的要点是,基于Smeed模型,借助异速生长定律导出关于郊区化的B-K模型,而从Clark模型出发只能引出一个特例.可见,关于城市郊区化的一些基本模型同Smeed模型在逻辑上一致,而与Clark模型却无必然关系.但是,现实中的城市人口密度有许多满足Clark模型式的负指数分布,这似乎又于Smeed模型形成实证上的抵触.然而,深入的研究发现,Clark模型和Smeed模型分别代表城市演化的不同阶段和城市人口分布的不同类型.在一个城市进入郊区化阶段以前,城市人口分布趋于负指数模式,可用Clark模型描述(图1中实线);郊区化发生以后,城市人口分布逐渐由负指数模式转向幂指数模式,此时应用Smeed模型刻画其分布特征(图1中虚线).负指数分布和负幂指数分布的区别在于:(1)数学性质上,指数分布具有特征长度(Clark模型中的r0=1/λ便是特征长度),负幂律分布则没有;(2)几何图式中,由于负指数衰减远较负幂指数为快,其中心区的人口密度高于负幂律分布,而外围的人口密度则低于幂指数分布(图1).这些区别反映到现实中便是:满足Clark模型的城市有边界,而满足Smeed模型的城市理论上没有边界.郊区化导致城市人口由负指数分布向负幂律分布逐渐转型,从而导致城乡界线的模糊——没有特征尺度,也就无法确定边界.城市人口的负幂律分布是一种分形几何分布,Smeed模型本质上是一个分形模型.分形是大自然的优化结构,分形体能够最有效地利用空间.城市郊区化的过程,实际上是城市系统通过自组织趋于结构优化的过程.只要对郊区化过程因势利导,城市郊区化将会良性发展.城市土地利用的空间形态一般满足幂指数分布,即有A(r)=πrDf.(19)A(r)=πrDf.(19)这里A(r)为一定半径范围内的建筑用地面积,在数字化地图上通常用象素数目表示,π为比例系数,Df为城市形态的分维,通常1<Df<2.显然城市用地密度(ρL)分布满足Smeed模型,即有PL(r)=dA(r)/dL(r)∝rDf-d,这里d=2为欧式维数.3.3中心市-都市区的异速生长系数的变化规律既然主要的郊区化度量模型都可直接或间接地从Smeed模型及有关的异速生长定律推导出来,而现已证明Smeed模型和城市人口-城区面积模型都具有分形性质,则郊区化行为理当可以运用分维刻画.实际上,上一节已经导出了郊区化度量参数与分形维数地关系,即α=μ2‚β=θ2=D4‚θ=v=1b‚α=μ2‚β=θ2=D4‚θ=v=1b‚A=2CKπ1−D/2D−−−−−−−√.(20)A=2CΚπ1-D/2D.(20)根据几何体的量纲分析,μ、v或b都是具有广义分维性质的参数,而D又是城市人口分布的质量维数,从式(20)可以看出,参数α、β、θ和A也都具有分维性质或与分维存在数理关系.通过式(10)不难看到,μ=dlnPc/dlnP,这意味着在郊区化过程中,由于中心市人口饱和,中心市-都市区的异速生长系数μ将会变小,从而α减小;另一方面,分维的大小反映对象分布的均匀性,郊区化过程中人口分布的实空间维数D将会上升,从而β、θ乃至v也会上升,相应地b下降;至于比例系数A,依赖于参数C、D和K,而从式(2)易于看出,K实则城市中心密度参数,郊区化必然引起K值降低,并且由式(20)易知∂A/∂D<0,故A值可能减小,减小的程度取决于C的变化方向与幅度.4b-k模型和m-p模型的主要区别第一,关于城市郊区化的B-K模型和M-P模型在数理上等价,它们共同的理论基础之一是城市地理学的异速生长定律,其数