l-fuzzy闭包空间的1与

l-fuzzy闭包空间的1与

近年来，l-flu兹探测空间的研究非常活跃，取得了丰富的研究成果。l-flu兹封闭空间是l-flu兹映射空间的推广。在文献中，l-flu兹封闭空间的概念是l-flu兹限制空间的概念，讨论了具有t-1、t0和s0分离性的l-flu兹封闭空间的各种属性。在本文中，l-flu兹模型空间中的t1和b2分离性引入了l-flu兹模型空间，并讨论了它们的遗传、可执行性和其他属性。文中假设L是有最小元0和最大元1的完备格.X是非空集,LX是从X到L的映射(或叫L-子集)的全体.则LX依点式序也构成完备格.称a∈L-{0}为L中的余素元,是指对任意的b,c∈L,当a≤b∨c有a≤b或a≤c,L中余素元的全体记为Copr(L).设L是一个完备格,A⊆L,若对任意的x∈L,存在Bx⊆A,使得x=∨Bx,则称A为L的并生成集.若Copr(L)是完备格L的并生成集,则称L为闭集格,用xα表示在x点处取值α,在其它处取值为0的L-集.易证LX中体余素元构成的集合Copr(LX)={xα|x∈X,α∈Copr(L)}.设A是X的子集,则Copr(A)={xα∈Copr(LX)|xα≤A}.设A∈LX,B∈LY(其中Y⊆X).我们用A|Y表示A在Y上的限制,即(A|Y)(y)=A(y)(∀y∈Y).用B*表示B在X上的扩张,即B*(x)=B(x)(∀x∈Y),B*(x)=0(∀x∈X-Y).每个映射f∶X→Y可诱导出一个映射(称为L-值zadeh型函数)f→L∶LX→LY,具体定义为f→L(A)(y)=∨{A(x)|f(x)=y}(∀A∈LX,∀y∈Y).f→L的右伴随记为f←L.易证f→L保任意并,f←L保任意并和任意交,并且有f←L(B)=∨{A∈LX|f→L(A)≤B}=B。f(∀B∈LY).其他未加说明的符号请参见文献.1l-sfzy闭包系统定义1如果映射τ∶LX→L满足条件1)τ(0X)=τ(1X)=1;2)对任意的{Ai}i∈I⊆LX,τ(∧i∈IAi)≥∧i∈Iτ(Ai),则称τ为X上的一个L-fuzzy闭包系统,称序对(X,τ)为L-fuzzy闭包空间.定义2设(X,τ)为L-fuzzy闭包空间,xλ∈Copr(LX),P∈LX且τ(P)>0,xλ≨P,则称P为xλ的远域,记xλ的全体域构成的集合为τ(xλ).定义3设D是定向集,X是非空集合,则称映射S∶D→X为X中的网.特别的设L为完备格,Copr(LX)是LX中的全体余素元之集,则称映射S∶D→Copr(LX)为X中的分子网.网常记作S=(S(d),D).定义4设(X,τ)为L-fuzzy闭包空间,xλ∈Copr(LX),S=(S(d),D)是X中的分子网.如果对任意的P∈τ(xλ),存在n0∈D,使得当d≥n0时,S(d)≤/P,则称xλ为S的极限点,或称S收敛于xλ,记作S→xλ.S的一切极限点之并记作limS.定义5设(X,τ1)和(Y,τ2)为L-fuzzy闭包空间,f∶X→Y为映射,若对任意的B∈LX,有τ1(f←L(B))≥τ2(B),则称f∶X→Y为从(X,τ1)到(Y,τ2)的连续闭映射.若f∶X→Y为一一映射,且f与f-1都连续,则称(X,τ1)与(Y,τ2)同胚.定义6设(X,τ1)和(Y,τ2)为L-fuzzy闭包空间,f∶X→Y为映射,若对任意的A∈LX,有τ2(f→L(A))≥τ1(A),则称f∶X→Y为从(X,τ1)到(Y,τ2)的闭映射.易得以下结论:命题1设(X,τ1)和(Y,τ2)为L-fuzzy闭包空间,(X,τ1)与(Y,τ2)同胚当且仅当存在一一映射f∶X→Y为从(X,τ1)到(Y,τ2)的连续闭映射.注1设(X,τ)为L-fuzzy闭包空间,Y⊆X.定义τY∶LY→L如下:τY(B)=∨{τ(C)|C∈LX,C|Y=B}(∀B∈LY),则τY是Y上的一个L-fuzzy闭包系统,称为由τ诱导的Y上的L-fuzzy闭包系统,并称(Y,τY)为(X,τ)的子空间,有时也记τ|Y=τY.注2设{(Xt,τt)}t∈T为一族L-fuzzy闭包空间,X=∏t∈ΤXt,pt∶Xt→X为第t个投影映射(∀t∈T).定义φ,τ∶LX→L如下:对任意的W∈LX,φ(W)=∨t∈Τ∨(pt)←L(U)=Wτt(U),τ(W)=∨∧λ∈ΛBλ=W∧λ∈Λφ(Bλ)则τ∶LX→L为X上的L-fuzzy闭包系统.L-fuzzy闭包系统(X,τ)称为L-fuzzy闭包空间族{(Xt,τt)}t∈T的乘积空间,φ∶LX→L称为τ∶LX→L的基.易证,对任意的t∈T,pt∶X→Xt为从(X,τ)到(Xt,τt)的连续映射.定义7设(X,τ)为L-fuzzy闭包空间,A∈LX,定义A的闭包(记作ˉA或A-)如下:ˉA=∧{Κ∈LX|A≤Κ,τ(Κ)＞0}.3l-sfzy闭包空间定义8设(X,τ)为L-fuzzy闭包空间.如果对任意的x,y∈X,以及任意的λ,μ∈Copr(L),xλ≤/yμ,存在P∈τ(xλ),使得yμ≤P,则称(X,τ)为T1空间.定理1设L为闭集格,(X,τ)为L-fuzzy闭包空间,则(X,τ)是T1空间当且仅当对任意的xλ∈Copr(LX),x-λ=xλ.证明必要性.设(X,τ)是T1空间,xλ∈Copr(LX).首先,由闭包的定义可知,xλ≤x-λ.另一方面,设yμ≤x-λ.如果yμ≤/xλ,则有Q∈τ(yμ),使得xλ≤Q.这与yμ≤x-λ矛盾.所以yμ≤xλ,这说明x-λ≤xλ,所以x-λ≤xλ,所以x-λ=xλ.充分性.设(X,τ)不是T1空间,则存在xλ,yμ∈Copr(LX),xλ≤/yμ,但对任意的P∈τ(xλ),有yμ≤/P.这表明xλ≤y-μ.所以yμ≤y-μ.定理2设(X,τ1),(Y,τ2)为同胚的L-fuzzy闭包空间,且(X,τ1)是T1空间,则(Y,τ2)也是T1空间.证明(X,τ1),(Y,τ2)为同胚的L-fuzzy闭包空间,(X,τ1)是T1空间.则存在一一映射f∶X→Y为从(X,τ1)到(X,τ2)的连续闭映射.设xλ,yμ∈Copr(LY),且xλ,yμ∈Copr(LY),且xλ≤/yμ.令ˉx=f-1(x),ˉy=f-1(y),则ˉxλ,ˉyμ∈Copr(LX),且ˉxλ≤/ˉyμ.由(X,τ1)是T1空间知,存在P∈τ1(x¯λ),使得y¯μ≤Ρ,即存在P∈LX,使得τ1(Ρ)＞0,xλ≤/Ρ,y¯μ≤Ρ.由f∶X→Y为闭映射知,τ2(f→L(P))≥τ1(P)>0.由x¯λ≤/Ρ知,fL→(Ρ)(x)=Ρ(x¯)≥/λ,故xλ≤/f→L(P).由yμ≤P知,fL→(Ρ)(y)=Ρ(y¯)≥μ,故yμ≤f→L(P).所以f→L(P)∈τ2(xλ),且yμ≤f→L(P),因此(Y,τ2)也是T1空间.下面证明L-fuzzy闭包空间T1空间分离性具有遗传性.定理3T1分离性是遗传的.即如果(X,τ)是T1空间,Y⊆X,则其子空间(Y,τY)也是T1空间.证明设(X,τ)为T1空间,Y⊆X,xλ,yμ∈Copr(LY),且xλ≤/yμ.则xλ,yμ在X上扩张x*λ,y*μ∈Copr(LX),且x*λ≤/y*μ.因此,由(X,τ)是T1空间可知,存在P∈τ(x*λ),使得y*μ≤P.由P∈τ(x*λ)知,x*λ≤/P且τ(P)>0.故xλ=x*λ|Y≤/P|Y,且τY(P|Y)=∨{τ(C)|C∈LX,C|Y=P|Y}≥τ(P)>0.因此,P|Y∈τY(xλ).由y*μ≤P知,yμ=y*μ|Y≤P|Y.从而有(Y,τY)是T1空间.下面定理将讨论L-fuzzy闭包空间中T1分离性的可乘性.定理4设{(Xt,τt)}t∈T为一族L-fuzzy闭包空间,T≠Ø,(X,τ)为它们的乘积空间.若对任意的t∈T,(Xt,τt)为T1空间,则(X,τ)也是T1空间.证明设对任意的t∈T,(Xt,τt)为T1空间,(X,τ)为它们的乘积空间,xλ,yμ∈Copr(LX),其中x={xt}t∈T,y=ytt∈T,且xλ≤/yμ.由xλ≤/yμ可知,存在t∈T,使得(xt)λ≤/(yt)μ.由(Xt,τx)为T1空间可知,存在P∈τt((xt)λ),使得(yt)μ≤P.由P∈τt((xt)λ)知,(xt)λ≤/P,且τt(P)>0,由pt∶X→Xt连续知,τ((pt)←L(P))≥τt(P)>0.由(xt)λ≤/P知,(pt)←L(P)(x)=P(xt)≥/λ,即xλ≤/(pt)←L(P).由(yt)μ≤P知,(pt)←L(P)(y)=P(yt)≥μ,即yμ≤(pt)←L(P).所以(pt)←L(P)∈τ(xλ),且使得yμ≤(pt)←L(P),因此,(X,τ)为T1空间.4l-sfzy闭包空间tl-1定义9设(X,τ)为L-fuzzy闭包空间.如果对任意的x,y∈X,x≠y,以及任意的λ∈Copr(L),当x≠y时,存在P∈τ(xλ)和Q∈τ(yμ),使得P∨Q=1X,则称(X,τ)为T2空间.定理5设L为闭集格,(X,τ)为T2的L-fuzzy闭包空间,则对于X中的每个分子网S,都有|supp(limS)|≤1.证明设(X,τ)是T2空间,S={S(n),n∈D}是X中的分子网,xλ,yμ∈Copr(LX),且xλ,yμ是S的极限点.如果x≠y,则有P∈τ(xλ),Q∈τ(yμ),使得P∨Q=1X.因为S→xλ,所以存在m1∈D使得n≥m1时,S(n)≤/P.又,S→yμ,所以存在m2∈D,使得当n≥m2时,S(n)≤/Q.由D是定向集可知,存在m∈D,使得m≥m1,且m≥m2.当n≥m时,由S(n)∈Copr(LX)可知,S(n)S(n)≤/P∨Q=1X,矛盾.定理6设(X,τ1),(Y,τ2)为同胚的L-fuzzy闭包空间,且(X,τ1)是T2空间.则(Y,τ2)也是T2空间.证明:设(X,τ1),(Y,τ2)为同胚的L-fuzzy闭包空间,(X,τ1)是T2空间.则存在一一映射f∶X→Y为从(X,τ1)到(X,τ2)的连续闭映射.设xλ,yμ∈Copr(LY),且x≠y.令x¯=f-1(x),y¯=f-1(y),则x¯λ,y¯μ∈Copr(LX),且x¯≠y¯.由(X,τ1)是T2空间知,存在P∈τ1(xλ),Q∈τ1(y¯μ),使得P∨Q=1X,即存在P,Q∈LX,使得τ1(Ρ)＞0,τ1(Q)＞0.x¯λ≤/Ρ,y¯μ≤/Q,且P∨Q=1X.由f∶X→Y为闭映射知,τ2(f→L(P))≥τ1(P)>0.由x¯λ≤/Ρ知,fL→(Ρ)(x)=Ρ(x¯)≥/λ,故xλ≤/f→L(P).从而有f→L(P)∈τ2(xλ).同理,f→L(Q)∈τ2(yμ).另外,由f∶X→Y为满射知,f→L(P)∨f→L(Q)=f→L(P∨Q)=f→L(1X)=1Y.因此(Y,τ2)也是T2空间.下面证明L-fuzzy闭包空间T2空间中分离性具有遗传性.定理7T2分离性是遗传的.即如果(X,τ)是T1空间,Y⊆X,则其子空间(Y,τY)也是T2空间.证明设(X,τ)为T1空间,Y⊆X,xλ,yμ∈Copr(LY),且x≠y.则xλ,yμ在X上扩张x*λ,y*μ∈Copr(LX),由(X,τ)是T2空间可知,存在P∈τ(x*λ),Q∈τ(y*μ),使得P∨Q=1X,由P∈τ(x*λ)知,x*λ≤/P且τ(P)>0.故xλ=x*λ|Y≤/P|Y,因此P|Y∈τY(xλ).由Q∈τ(y*μ)知,y*μ≤/Q且τ(Q)>0.故yμ=y*μ|Y≤/Q|Y,因此Q|Y∈τY(yμ).由P∨Q=1X,P|Y∨Q|Y=1Y.从而有(Y,τY)是T2空间.下面讨论L-fuzzy闭包空间T2空间分离性的可乘性.定理8设{(Xt,τt)}t∈T为一族L-fuzzy闭包空间,T≠Ø,(X,τ)为它们的乘积空间.若对任意的t∈T,(Xt,τt)为T2空间,则(X,τ)也是T2空间.证明设对任意的t∈T,(Xt,τt)为T2空间,(X,τ)为它们的乘积空间,xλ,yμ∈Copr(LX),其中x={xt}t∈T,y={yt}t∈T,且x≠y.由x≠y可知,存在t∈T,使得xt≠yt,且(xt)λ,(yt)μ∈Copr(LXt).由(Xt,τx)为T2空