2023-2024学年北京市门头沟区高二上数学期末监测试题含解析

2023-2024学年北京市门头沟区高二上数学期末监测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某中学举行党史学习教育知识竞赛，甲队有、、、、、共名选手其中名男生名女生，按比赛规则，比赛时现场从中随机抽出名选手答题，则至少有名女同学被选中的概率是（）A. B.C. D.2．有下列三个命题:①“若，则互为相反数”的逆命题;②“若，则”的逆否命题;③“若，则”的否命题.其中真命题的个数是A.0 B.1C.2 D.33．已知直线方程为，则其倾斜角为（）A.30° B.60°C.120° D.150°4．如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为A. B.C. D.5．直线的倾斜角为（）A.1 B.－1C. D.6．直线的一个法向量为（）A. B.C. D.7．函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A.个 B.个C.个 D.个8．已知随机变量服从正态分布，若，则（）A.0.2 B.0.24C.0.28 D.0.329．过点A(3，3)且垂直于直线的直线方程为A. B.C. D.10．在正方体中，AC与BD的交点为M.设则下列向量与相等的向量是（）A. B.C. D.11．“椭圆的离心率为”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件12．按照小李的阅读速度，他看完《三国演义》需要40个小时.2021年12月20日，他开始阅读《三国演义》，当天他读了20分钟，从第二天开始，他每天阅读此书的时间比前一天增加10分钟，则他恰好读完《三国演义》的日期为（）A.2022年1月8日 B.2022年1月9日C.2022年1月10日 D.2022年1月11日二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．圆心在x轴上且过点的一个圆的标准方程可以是______14．已知数列满足，将数列按如下方式排列成新数列：，，，，，，，，，…，，…．则新数列的前70项和为______15．已知数列满足，则的最小值为__________．的前20项和为________16．已知抛物线：上有两动点，，且，则线段的中点到轴距离的最小值是___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知E，F分别是正方体的棱BC和CD的中点（1）求与所成角的大小；（2）求与平面所成角的余弦值18．（12分）已知点，圆，点Q在圆上运动，的垂直平分线交于点P.（1）求动点P的轨迹的方程；（2）过点的动直线l交曲线C于A、B两点，在y轴上是否存在定点T，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点T的坐标，若不存在，请说明理由.19．（12分）数列的前n项和为，（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和20．（12分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答.在中，内角，，的对边分别为，，，且___________.（1）求角的大小；（2）已知，，点在边上，且，求线段的长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.21．（12分）如图，在直三棱柱中，平面侧面，且.（1）求证：；（2）若直线与平面所成的角为，请问在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在请求出的位置，不存在请说明理由.22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与x轴交于点P．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】现场选名选手，共种情况，设，，，四位同学为男同学则没有女同学被选中的情况，共有6种，利用对立事件进行求解，即可得到答案；【详解】现场选名选手，基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，共种情况，不妨设，，，四位同学为男同学则没有女同学被选中的情况是：，，，，，共种，则至少有一名女同学被选中的概率为.故选：.2、B【解析】①写出命题的逆命题，可以进行判断为真命题；②原命题和逆否命题真假性相同，而通过举例得到原命题为假，故逆否命题也为假；③写出命题的否命题，通过举出反例得到否命题为假【详解】①“若,则互为相反数”的逆命题是，若互为相反数,则；是真命题；②“若,则”，当a=-1,b=-2,时不满足，故原命题为假命题，而原命题和逆否命题真假性相同，故得到命题为假；③“若,则”的否命题是若,则，举例当x=5时，不满足不等式，故得到否命题是假命题；故答案为B.【点睛】这个题目考查了命题真假的判断，涉及命题的否定，命题的否命题，逆否命题，逆命题的相关概念，注意原命题和逆否命题的真假性相同，故需要判断逆否命题的真假时，只需要判断原命题的真假3、D【解析】由直线方程可得斜率，根据斜率与倾斜角的关系即可求倾斜角大小.【详解】由题设，直线斜率，若直线的倾斜角为，则，∵，∴.故选：D4、D【解析】设AA1=2AB=2，因为，所以异面直线A1B与AD1所成角，，故选D.5、C【解析】根据直线斜率的定义即可求解.【详解】，斜率为1，则倾斜角为.故选：C.6、B【解析】直线化为，求出直线的方向向量，因为法向量与方向向量垂直，逐项验证可得答案.【详解】直线的方向向量为，化为，直线的方向向量为，因为法向量与方向向量垂直，设法向量为，所以，由于，A错误；，故B正确；，故C错误；，故D错误；故选：B.7、A【解析】利用极小值的定义判断可得出结论.【详解】由导函数在区间内的图象可知，函数在内的图象与轴有四个公共点，在从左到右第一个点处导数左正右负，在从左到右第二个点处导数左负右正，在从左到右第三个点处导数左正右正，在从左到右第四个点处导数左正右负，所以函数在开区间内的极小值点有个，故选：A.8、C【解析】依据正态曲线的对称性即可求得【详解】由随机变量服从正态分布，可知正态曲线的对称轴为直线由，可得则，故故选：C9、D【解析】过点A(3，3)且垂直于直线的直线斜率为，代入过的点得到.故答案为D.10、C【解析】根据空间向量的运算法则，推出的向量表示，可得答案.【详解】，故选：C.11、C【解析】讨论椭圆焦点的位置，根据离心率分别求出参数m，由充分必要性的定义判断条件间的充分、必要关系.【详解】当椭圆的焦点在轴上时，，得；当椭圆的焦点在轴上时，，得故“椭圆的离心率为”是“”的必要不充分条件故选：C.12、B【解析】由等差数列前n项和列不等式求解即可.【详解】由题知，每天的读书时间为等差数列，首项为20，公差为10，记n天读完.则40小时=2400分钟，令，得或（舍去），故，即第21天刚好读完，日期为2022年1月9日.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】确定x轴上一个点做圆心，求出半径，再写出圆的标准方程即可.【详解】以x轴上的点为圆心，则半径，所以圆的标准方程为：.故答案为：14、##2.9375【解析】先根据题干条件得到，再利用错位相减法求前64项和，最后求出前70项和.【详解】①，当时，；当时，②，①-②得：，即又满足，所以由，得令，则，两式相减得，则所以新数列的前70项和为故答案为：15、①②.【解析】由题设可得，应用累加法求的通项公式，由基本不等式及确定的最小值，再应用裂项求和法求的前20和.【详解】由题设，，∴，…，，又，∴将上式累加可得：，则，∴，当且仅当时等号成立，又，故最小，则或5，当时，；当时，；∴的最小值为.由上知：，∴前20项和为.故答案为：8，.16、2【解析】设抛物线的焦点为，由，结合抛物线的定义可得线段的中点到轴距离的最小值.【详解】设抛物线的焦点为，点在抛物线的准线上的投影为，点在直线上的投影为，线段的中点为，点到轴的距离为，则,∴，当且仅当即三点共线时等号成立，∴线段的中点到轴距离的最小值是2，故答案为：2.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）60°；（2）.【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标公式即可求出异面直线所成角的余弦值，进而结合异面直线成角的范围即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标公式即可求出求出线面角的正弦值，进而结合线面角的范围即可求出结果；【小问1详解】以AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，，，，所以，，设与EF所成角的大小为，则，因为异面直线成角的范围是，所以与所成角的大小为60°【小问2详解】设平面的法向量为，与平面所成角为，因为，，所以，，所以，令，得为平面的一个法向量，又因为，所以，所以18、（1）；（2）存在，T(0，1)﹒【解析】(1)根据椭圆的定义，结合即可求P的轨迹方程；(2)假设存在T(0，t)，设AB方程为，联立直线方程和椭圆方程，代入＝0即可求出定点T.【小问1详解】由题可知，，则，由椭圆定义知P的轨迹是以F1、为焦点，且长轴长为的椭圆，∴，∴，∴P的轨迹方程为C：；【小问2详解】假设存在T(0，t)满足题意，易得AB的斜率一定存在，否则不会存在T满足题意，设直线AB的方程为，联立，化为，易知恒成立，∴(*)由题可知，将(*)代入可得：即∴，解，∴在y轴上存在定点T(0，1)，使以AB为直径的圆恒过这个点T.19、（1）；（2）.【解析】(1)根据给定条件结合“当时，”计算作答.(2)由(1)求出，利用裂项相消法计算得解.【小问1详解】数列的前n项和为，，当时，，当时，，满足上式，则，所以数列的通项公式是【小问2详解】由(1)知，，所以，所以数列的前n项和20、（1）（2）【解析】（1）若选①，则根据正弦定理，边化角，结合二倍角公式，求得，可得答案；若选②，则根据余弦定理和三角形面积公式，将化简，求得，可得答案；若选③，则切化弦，化简可得到的值，求得答案；（2）由余弦定理求出，进而求得,设，，在中用余弦定理列出方程，求得答案.【小问1详解】若选①，则根据正弦定理可得：，由于,，故，则；若选②，则，即，则，而，故；若选③，则，即，则，而，故；【小问2详解】如图示：,故，故,在中，设，则，则，即，解得，或（舍去）故.21、（1）证明见解析（2）存在，点E为线段中点【解析】(1)通过作辅助线结合面面垂直的性质证明侧面，从而证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标,再求相关的向量坐标，求平面的法向量，利用向量的夹角公式求得答案.【小问1详解】证明：连接交于点，因，则由平面侧面，且平面侧面，得平面，又平面，所以三棱柱是直三棱柱，则底面ABC，所以.又，从而侧面，又侧面，故.【小问2详解】由(1).平面，则直线与平面所成的角,所以，又，所以假设在线段上是否存在一点E，使得二面角的大小为,由是直三棱柱，所以以点A为原点，以AC、所在直线分别为x，z轴,以过A点和AC垂直的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图