2023-2024学年黑龙江省齐齐哈尔市普通高中联谊校数学高二上期末学业水平测试试题含解析

2023-2024学年黑龙江省齐齐哈尔市普通高中联谊校数学高二上期末学业水平测试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，若对任意的，，且，总有，则的取值范围是（）A B.C. D.2．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“”.设分别是双曲线的左、右焦点，直线交双曲线左、右两支于两点，若恰好是的“勾”“股”，则此双曲线的离心率为（）A. B.C.2 D.3．已知函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.4．焦点坐标为，（0，4），且长半轴的椭圆方程为（）A. B.C. D.5．南宋数学家杨辉在《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列．如数列1，3，6，10，前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前7项分别为2，3，5，8，12，17，23，则该数列的第31项为（）A.336 B.467C.483 D.6016．已知双曲线C：的渐近线方程是，则m＝（）A.3 B.6C.9 D.7．已知四棱锥，平面PAB，平面PAB，底面ABCD是梯形，，，，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是（）A.椭圆 B.椭圆的一部分C.圆 D.不完整的圆8．如图，把椭圆的长轴分成6等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点，F是椭圆C的右焦点，则（）A.20 B.C.36 D.309．1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题解法传至欧洲，西方人称之为“中国剩余定理”．现有这样一个问题：将1到200中被3整除余1且被4整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则=（）A.130 B.132C.140 D.14410．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为（）A.99 B.131C.139 D.14111．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为、，其中，.如果这时气球的高度，则河流的宽度BC为（）A. B.C. D.12．等比数列的第4项与第6项分别为12和48，则公比的值为（）A. B.2C.或2 D.或二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若，均为正数，且，（1）的最大值为；（2）的最小值为；（3）的最小值为；（4）的最小值为，则结论正确的是__________14．抛物线的准线方程是______15．设数列的前n项和为，若，且是等差数列．则的值为__________16．将集合且中所有的元素从小到大排列得到的数列记为，则___________（填数值）.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆C：（）过点，且离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）过点（）的直线l（不与x轴重合）与椭圆C交于A，B两点，点C与点B关于x轴对称，直线AC与x轴交于点Q，试问是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由18．（12分）已知函数.（1）若与在处有相同的切线，求实数的取值；（2）若时，方程在上有两个不同的根，求实数的取值范围.19．（12分）已知定点，动点与连线的斜率之积.（1）设动点的轨迹为，求的方程；（2）若是上关于轴对称的两个不同点，直线与轴分别交于点.试判断以为直径的圆是否过定点，如经过，求出定点坐标；如不过定点，请说明理由.20．（12分）在平面直角坐标系中，已知直线：（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为，直线l与曲线C的交点为A，B，求的值21．（12分）已知椭圆，焦点，A，B是上关于原点对称的两点，的周长的最小值为（1）求的方程；（2）直线FA与交于点M（异于点A），直线FB与交于点N（异于点B），证明：直线MN过定点22．（10分）命题存在，使得；命题对任意的，都有（1）若命题p为真时，求实数a的取值范围；若命题q为假时，求实数a的取值范围；（2）如果命题为真命题，命题为假命题，求实数a的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据函数单调性定义、二次函数性质及对称轴方程，即可求解参数取值范围.【详解】依题意可得，在上为减函数，则，即的取值范围是故选：B【点睛】本题考查函数单调性定义，二次函数性质，属于基础题.2、A【解析】根据双曲线的定义及直角三角形斜边的中线定理，再结合双曲线的离心率公式即可求解.【详解】如图所示由题意可知，根据双曲线的定义知，是的中点且.在中，是的中点，所以，因为直线的斜率为，所以，所以.所以是等边三角形，.在中，.由双曲线的定义，得，所以双曲线的离心率为.故选：A.3、D【解析】由题意转化为，恒成立，参变分离后转化为，求函数的最大值，即可求解.【详解】函数的定义域是，，若函数在定义域内单调递减，即在恒成立，所以，恒成立，即设，，当时，函数取得最大值1，所以.故选：D4、B【解析】根据题意可知，即可由求出，再根据焦点位置得出椭圆方程【详解】因为，所以，而焦点在轴上，所以椭圆方程为故选：B5、B【解析】先由递推关系利用累加法求出通项公式，直接带入即可求得.【详解】根据题意，数列2，3，5，8，12，17，23……满足，，所以该数列的第31项为.故选：B6、C【解析】根据双曲线的渐近线求得的值.【详解】依题意可知，双曲线的渐近线为，所以.故选：C7、D【解析】根据题意，分析得动点满足的条件，结合圆以及椭圆的方程，以及点的限制条件，即可判断轨迹.【详解】因为平面PAB，平面PAB，则//，又面面，故可得；因为，故可得，则，综上所述：动点在垂直的平面中，且满足；为方便研究，不妨建立平面直角坐标系进行说明，在平面中，因为，以中点为坐标原点，以为轴，过且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，如下所示：因为，故可得，整理得：，故动点的轨迹是一个圆；又当三点共线时，几何体不是空间几何体，故动点的轨迹是一个不完整的圆.故选：.【点睛】本题考察立体几何中动点的轨迹问题，处理的关键是利用立体几何知识，找到动点满足的条件，进而求解轨迹.8、D【解析】由椭圆的对称性可知，，代入计算可得答案.【详解】设椭圆左焦点为，连接由椭圆的对称性可知，，所以.故选：D.9、A【解析】分析数列的特点，可知其是等差数列，写出其通项公式，进而求得结果,【详解】被3整除余1且被4整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，这样的数构成首项为10，公差为12的等差数列，所以，故，故选:A.10、D【解析】根据题中所给高阶等差数列定义，找出其一般规律即可求解.【详解】设该高阶等差数列的第8项为，根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个数列，得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列，即得到了一个等差数列，如图：由图可得，则.故选：D11、D【解析】由题意得，，，然后在和求出，从而可求出的值【详解】如图，由题意得，，，在中，，在中，，所以，故选：D12、C【解析】根据等比数列的通项公式计算可得；详解】解：依题意、，所以，即，所以；故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、（1）（2）（4）.【解析】利用基本不等式求的最大值可判断（1）；利用“”的妙用以及基本不等式可判断（2）；将所求代数式转化为关于的二次函数结合由二次函数的性质可得最值判断C、D，进而可得正确答案.【详解】对于（1）：因为，均为正数，且，则有，当且仅当时等号成立，即的最大值为，故（1）正确；对于（2）：因为，当且仅当时等号成立，即的最小值为，故（2）正确；对于（3）：因为，所以，在上单调递减，无最小值，故（3）不正确；对于（4）：，当且仅当时等号成立，即的最小值为，故（4）正确.故答案为：（1）（2）（4）.14、【解析】由题意可得p=4,所以准线方程,填15、52【解析】根据给定条件求出，再求出数列的通项即可计算作答.【详解】依题意，因是等差数列，则其公差，于是得，，当时，，而满足上式，因此，，所以.故答案为：5216、992【解析】列举数列的前几项，观察特征，可得出.详解】由题意得观察规律可得中，以为被减数的项共有个，因为，所以是中的第5项，所以.故答案为：992.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）为定值【解析】（1）由题意可得解方程组求出，从而可得椭圆方程，（2）设直线AB：，，代入椭圆方程，消去，利用根与系数关系，再表示出直线AC的方程，从而可求出点Q的坐标，从而可表示出，然后化简可得结论【小问1详解】由题意得解得故椭圆C的方程为；【小问2详解】设直线AB：，，联立消去y得，设，，得，，因为点C与点B关于x轴对称，所以，所以直线AC的斜率为，直线AC的方程，令，解得可得，所以，因为，所以，所以为定值【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是将直线AB的方程代入椭圆方程中化简，利用根与系数关系，结合已知条件表示出直线AC的方程，从而可求出点Q的坐标，考查计算能力，属于中档题18、（1）（2）【解析】（1）根据导数的几何意义求得函数在处的切线方程，再由有相同的切线这一条件即可求解；（2）先分离，再研究函数的单调性，最后运用数形结合的思想求解即可.【小问1详解】设公切线与的图像切于点，f'(x)=1+lnx⇒f由题意得：；【小问2详解】当时，，①，①式可化为为，令令，，在上单调递增，在上单调递减.，当时，由题意知：19、（1）；（2）以为直径的圆过定点，定点坐标为和.【解析】(1)设动点的坐标，利用斜率坐标公式结合已知列式即可作答.(2)设上任意一点，求出点M，N的坐标，再求出以为直径的圆的方程即可分析作答.【小问1详解】设点，则直线PA，PB的斜率分别为：，，依题意，，化简整理得：，所以的方程是：.【小问2详解】由(1)知，令是上任意一点，则点，直线：，则点，直线：，则点，以MN为直径的圆上任意一点，当点Q与M，N都不重合时，，有，当点Q与M，N之一重合时，也成立，因此，以MN为直径的圆的方程为：，化简整理得：，而，即，则以MN为直径的圆的方程化为：，显然当时，恒有，即圆恒过两个定点和，所以以为直径的圆过定点，定点坐标为和.【点睛】知识点睛：以点为直径两个端点的圆的方程是：.20、（1）（2）【解析】【小问1详解】由,得.两边同乘,即.由,得曲线的直角坐标方程为【小问2详解】将代入,得,设A,B对应的参数分别为则所以.由参数的几何意义得21、（1）（2）证明见解析【解析】（1）设椭圆的左焦点为，根据椭圆的对称性可得，则三角形的周长为，再设根据二次函数的性质得到，即可求出的周长的最小值为，从而得到，再根据，即可求出、，从而求出椭圆方程；（2）设直线MN的方程，，，，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，再设直线的方程、，直线的方程、，联立直线方程，消元列出韦达定理，即可表示，即可得到，整理得，再代入，，即可得到，从而求出，即可得解；【小问1详解】设椭圆的左焦点为，则由对称性，，所以的周长为设，则，当A，B是椭圆的上下顶点时，的周长取得最小，所以，即，又椭圆焦点，所以，所以，所以，解得，，所以椭圆的方程为.【小问2详解】解：当A，B为椭圆左右顶点时，直线MN与x轴重合；当A，B为椭圆上下顶点时，可得直线MN的方程为；设直线MN的方程，，，，由得，，，，设直线的方程，其中，，，由得，，，，设直线的方程，其中，