奥数精讲与训练第一册

在快乐中学习，在学习中快乐！PAGE -PAGE１-前言在科技飞速发展的时代，在人才聚集的时代，每个国家都愈来愈重视教育，我们国家也提出了“科教兴国”战略。邓小平说：“科技是第一生产力”胡锦涛主席说：“我们要发展成为一个创新型国家。”然而数学的发展对一个国家的科技发展有着决定性作用。人们愈来愈认识到数学的重要性，也懂得数学早期培养的重要性。因此举办了很多内容丰富的数学竞赛。其中奥林匹克就是一项很重要也很有用的活动。数学奥林匹克竞赛能够很好的开发孩子智力，激发学习兴趣，增强逻辑思维，提高解决问题能力，培养学生创新能力，提高教师教学水平，促进教育改革等，为我国培养出更多更加优秀的人才。本丛书根据学生的智力发展规律，掌握的基础知识能力，奥林匹克精神，结合生活实际和数学故事，以精讲的形式结合方法点拨，思维引导，章节训练进行编辑。将奥数知识分专题讲解，并附带数学故事，真正贯彻了在学习中快乐，在快乐中学习的精神。使得孩子喜欢学，自己学，学了就懂，学了会用的目的。本丛书共分为4册，包括所有小学奥数专题知识，由易到难，逐层深入。作者希望同学们在使用本书后，能够在奥数专题知识，解决问题能力上有一个新的提高，在解决问题方法上，有一个新的突破。参加本书编写的都是长期在数学各种竞赛辅导第一线的有丰富经验的老师，为本书增添了不少光彩。让我们积极的享受学习奥数的乐趣，积极的参与各种奥数竞赛，为自己人生写下美好一笔，为祖国增添光彩吧！目录TOC\o"1-2"\h\z\u第一章周期循环与数表规律 １苹果树下的例行出步 ３第二章倒推思想的应用 ４“＞”、“＜”和“=”的本领 ８第三章分数的计算与比较大小 ９淘气的数字“3” ２０第四章分数与百分数的应用 ２２韩信点兵 ２６第五章比和比例 ２７测量金字塔的高度 ３５第六章鸡兔同笼 ３６维纳的故事 ４０第七章容斥原理 ４１数学王国的巾帼英雄 ４６第八章同倍率变化规律 ４８小熊锯木头 ５０第九章工程问题 ５１狐狸卖蛋 ５５第十章综合行程 ５７蝴蝶效应 ６７第十一章数的整除 ６８动物中的数学“天才” ７２第十二章质数与合数 ７３数学家的遗嘱 ７８第十三章约数与倍数 ７９麦比乌斯带 ８６第十四章几何面积 ８７一个故事引发的数学家 ９５第十五章不定方程 ９６为科学而疯的人 １０１第十六章简单方程 １０２数学家的“健忘” １０６普数奥数公式一览 １０７第一章周期循环与数表规律生活中很多事物呈周期性变化，如一个星期7天，到第8天又是星期一，如此周而复始。又如分数=0.142857142857…=可以写成无限循环小数，循环节为6位，也就是说，将写成小数，在小数点后142857这六个数反复出现无穷循环，这也是一种周期问题。在具有周期现象的问题中，如能发现周期性，常能使看来复杂的问题轻易解决，例如求下列算式的和2002+2001-1999-1998+1997+1996-1995-1994+1993+……+6+5-4-3+2+1=2002+（2001-1999-1998+1997）+（1996-1995-1994+1993）+……+（5-4-3+2）+2002+0+0……+0+1=2003.我们发现，从2001开始，从左到右每4个数的代数和均为0，从而使2002个数的加、减运算实际上变成2002+1这两个数的和，问题大大的简化了。解决周期性问题的关键在于发现周期。周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。关键问题：确定循环周期。闰年：一年有366天；①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除；平年：一年有365天。①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；例1在循环小数中，移动循环节的前一个小圆点，使得新的循环小数的第100位数字是5，问新的循环小数是什么？解：显然，前一个小圆点的位置应使“5”被包含在循环节中，用枚举法讨论，如果前一个小圆点加在“5”的上面，则循环节为3位数567.（100－4）÷3=32，到第100位数恰好用去32个循环节，第100位数字是7；如果前一个小圆点加在“4”的上面，则循环节为4位数4567.（100-3）÷4=24…1到第100位数字恰好用去24个循环节（4567）加1位，故第100位数字为4.如果前一个小圆点加在“3”的上面，则循环节为5位数34567，（100-2）÷5=19……3，到第100为恰好用去19个循环节，并在第29个循环节内从左到右数3为，正好是5，所以新的循环小数为。例2四盏灯（如图）组成舞台彩灯，且每30秒钟灯的颜色改变一次，第一次上下两灯互换颜色，第二次左右两灯互换颜色，第三次又上下两灯互换颜色……这样一直进行下去，开灯1小时后四盏灯的颜色排列是什么形式的？解：如图，每换四次，即每隔两分钟，四盏灯的颜色排列重复一次。因为1小时是30个两分钟，所以开灯1小时后四盏灯的颜色排列与开始是相同。例3我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这12种动物按顺序轮流代表各年的年号。已知2000年是龙年，问2100年是什么年？.C解：2000年和2100年相差了2100-2000=100(年),如果用蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪、鼠、牛、虎、兔、龙作为一周期的话,那就是100÷12=9(个)4(年),第个9周期的最后一年是龙年,应为还多4年,所以2100年是猴年.习题1.将分数化成小数后，小数小数点后第110位上的数字是多少？2.甲、乙、丙三名学生，每天早晨轮流为李奶奶取牛奶。甲第一次取奶是星期一，他第100次取奶是星期几？3.N是1、2、3、…、1995、1996、1997的最小公倍数，N等于个2与一个奇数的积。4.参加运动会开幕式的旗手在运动场排成一行，首先从左向右1至3报数，最右端的旗手报2；然后从右向左1至4报数，最左端的旗手报3.两次都报1的旗手12人，共有多少旗手？苹果树下的例行出步

1884年春天，年轻的数学家阿道夫·赫维茨从哥廷根来到哥尼斯堡担任副教授，年龄还不到25岁，在函数论方面已有出色的研究成果．希尔伯特和闽可夫斯基很快就和他们的新老师建立了密切的关系．他们这三个年轻人每天下午准5点必定相会去苹果树下散步．希尔伯特后来回忆道：“日复一日的散步中，我们全都埋头讨论当前数学的实际问题；相互交换我们对问题新近获得的理解，交流彼此的想法和研究计划．”在他们三人中，赫维茨有着广泛“坚实的基础知识，又经过很好的整理，”所以他是理所当然的带头人，并使其他两位心悦诚服．当时希尔伯特发现，这种学习方法比钻在昏暗的教室或图书馆里啃书本不知要好多少倍，这种例行的散步一直持续了整整八年半之久．以这种最悠然而有趣的学习方式，他们探索了数学的“每一个角落”，考察着数学世界的每一个王国，希尔伯特后来回忆道：“那时从没有想到我们竟会把自己带到那么远！”三个人就这样“结成了终身的友谊．”

第二章倒推思想的应用从前有一位老奶奶卖鸡蛋，第一次卖了全部鸡蛋的一半又加半个；第二次卖了余下的一半又加了半个；第三次卖了第二次余下的一半又加了半个，此时她还剩下一个鸡蛋。问老奶奶原有鸡蛋几个？在这个问题中，我们发现直接从已知条件下手很难解决问题，那么我们不防换种思维方式，从结论入手进行倒推，然后得出想要的结果。我们可以用倒推思想这样想：第二次卖蛋后剩下的鸡蛋个数为2×（1+）=3（个）；第一次卖蛋后剩下的鸡蛋个数为2×（3+）=7（个）；原来有的鸡蛋个数为2×（7+）=15（个）。这样我们把问题很容易的解决了，那么我们可以再思考一下以后遇到类似的问题是否可以用相同的方法呢？那么我们现在来看看其它情况是否可以用这种方法解决问题.例1甲、乙、丙三堆石子共196块，先从甲堆分给另外两堆，使得这两堆石子数量分别加一倍；再将乙堆照样分配一次；最后将丙堆也照样分配一次。结果丙堆的石子为甲堆石子的，问原来三堆石子中最少的一堆石子有多少块？解：依题意，倒回去考虑。由于分配最后结果是丙堆的石子为甲堆石子数的，因此不妨设第三次分配后，丙堆有石子块，甲堆有石子块，那么乙堆有石子（块）。第二次分配后（即丙将自己石子分给甲、乙，使他们石子数增倍前），此时甲堆有石子块，乙堆有石子块，丙堆有石子块；第一次分配后（即乙将自己石子分配给甲、丙，使他们的石子数增倍前），甲堆有石子，乙堆有石子块，丙堆有石子块，因此原来（即在甲将自己的石子分配给乙、丙，使他们的石子数增倍前）三堆的石子数甲堆有（块），乙堆有（块），丙堆有（块）。在倒推中知为正整数，从而推知为小于7的正偶数，即、4.当时，三堆石子数不是整数，所以，从而甲、乙、丙三堆原来的石子数依次为109、60、27块。最少一堆为丙堆，共有石子27块。例2“猫捉老鼠”，如图所示是一个的方格棋盘，有两个棋子“猫”和“鼠”分别放在棋盘的圆圈中。开始时，猫在棋盘左上角，鼠可在棋盘圆圈中的任意位置。游戏规则是：棋子每一次移动可以从一圆圈沿直线移动到相邻的圆圈（不允许轮到一到那个时呆在原地不动），两个棋子轮流移动，请问按此规则猫是否一定能“捉到”老鼠？解：我们先将棋盘上24个圆圈安黑白两色相同染色，此时与黑圈相邻的必为两个白圈、与白圈相邻的必为两个黑圈。猫要捉到老鼠时，老鼠的位置必与猫相邻且轮到猫移动，此时猫、鼠所占的圈色必为异色。倒退一步想，在此前一步应为老鼠移动，此时老鼠所在圆圈的颜色必与猫所在圆圈同色。由此推想，只要在老鼠移动后，下一步猫能确保移动到与老鼠同色的位置上即可。为此，猫可暂时不管鼠如何移动，先“占领”A圈（现在为黑圈），此时C圈为白圈、B圈为黑圈，然后伺机而动。若老鼠移入白圈，则猫由A移入C圈与老鼠同色；若老鼠移入黑圈，则猫由A移入B也与老鼠同色，然后紧追不舍（每次所占圆圈与老鼠同色）就可以捉住老鼠了。例3甲、乙两个油桶各装了15千克油，售货员卖出了14千克从剩下较多油的甲桶倒一部分给乙桶，使得乙桶油增加1倍；然后从乙桶倒一部分油给甲桶，使甲桶油也增加1倍。这时甲桶油恰好是乙桶油的3倍，问售货员从两个桶里各卖了多少公斤油？解：卖前共有油30千克，卖出14千克后还有16千克油，最后甲桶油是乙桶油的3倍，因此甲桶有油（千克），乙桶有油（千克）。下列表依题意倒退推回去：甲桶乙桶乙桶倒给甲桶后124甲桶倒给乙桶后610甲桶倒给乙桶前115所以甲桶卖出（千克），乙桶卖出（千克）。例4一辆科学考察车要穿越人烟稀少地区，必须行驶414千米，汽车只能装90升油，刚够行驶270千米。司机决定出发前先运一些油贮存在路上，经计算知要设立两个贮油站，问这两个贮油站应设在什么地方，使耗费的汽油最少？解：如右图，O表示起点，P表示终点。汽车一次能行驶270千米（需装油90升），设一个贮油站在B点，使BP=270（千米），于是问题转化为怎样将90升油运到B处。由于OB=414－270=144（千米），因此在OB间必须另设一个贮油站A，由A向B运送90升油贮存起来。为此汽车需在A贮存油180升，其中90升运往B点贮存起来，90升消耗在AB的路上。先从A到B，又从B返A，再从A到B，全长3AB。3AB=270，所以AB=270÷3=90（千米），即A在OB间距B90千米处，从而OA=144-90=54（千米），跑54千米耗油54÷3=18（升）。每次往返可在A点贮油90-2×18=54（升），贮油180升需往返2次后，再往A点跑一次。这样总共耗油分三段，OA段耗油5×18=90（升），此时A点已贮油180升；AB段耗油90升，使B点贮油90升；BP点耗油90升，考察车到达终点，共计耗油90+90+90=270（升）。习题一、填空题：1.将一个数做如下运算：乘以4，在加上112，减去20，最后除以4.这时得结果100，这个数是。2.两个两位数之和为198，这两个两位数分别是。3.已知3个互不相同的自然数之和为55，其中每两个数之和分别是完全平方数。这三个自然数分别是。4.两个两位质数之和是66，这两个两位数质数是。5.小明在计算某数除以3.75时，把除号看成了乘号，得结果225.这道题的正确答案是。二、解答题6.一次考试后，小张向李军外语考试得多少分，李军回答说：“用我得的分数减取8加上10，再除以7，随后乘以4，得56”7.一群蚂蚁搬家，原有一堆食物，第一次运出的比全堆的一半少120克，第二次运出的量比剩下的一半多100克，第三次运出480克。这时窝里还有280克，问窝内原有多少食物？8.篮子里有一些鸡蛋，小明取走的比总数的一半多1个，小李取走的比余下的一半多1个，小军取走的比小明取走后剩下的一半多1个。这时篮子里剩鸡蛋1个，问篮子里原来有鸡蛋多少个？9.两人做一个移火柴的游戏，比赛的规则是：两人从一堆火柴中可轮流移走1到7根火柴，直至移尽为止，轮到谁移走最后一根就算谁输。如果开始时有1000根火柴，问首先移火柴的人在第一次移走多少根时才能在游戏中保证获胜？10.500名士兵排成一列横队，第一次从做到右1、2、3、4、5（1至5）报数，第二次反过来从右到左1、2、3、4、5、6（1至6）报数，问既报1又报6的士兵有多少名？“＞”、“＜”和“=”的本领

很久很久以前，数学王国里乱糟糟的，没有任何秩序。0~9十个兄弟不仅在王国中称王称霸，而且他们彼此之间总是吹嘘自己的本领最大。数字天使看见这种情况很生气，于是就派“＞”、“＜”和“=”三个小天使到数学王国，要求他们一定要让王国变得有秩序起来。

三个小天使来到了数学王国，0~9十兄弟轻蔑地盯着他们，“9”问道：“你们三个是干什么的？我们的王国不欢迎你们。”

“=”天使笑了笑说：“我们是天使派到你们王国的法官，帮助你们治理好你们的国家。我是‘等号’在我两边的数字总是相等的；这两位是‘大于号’和‘小于号’他们开口朝谁，谁就大，尖尖朝谁，谁就小。”

0~9十兄弟一听他们是数字天使派来的法官，以及“=”的介绍，都乖乖地服从“＞”、“＜”和“=”的命令。

从此以后，数学王国越来越强盛，而且有着十分严格的秩序，任何人都不会违反。

小朋友们，你们说“＞”、“＜”和“=”的本领大不大呢？第三章分数的计算与比较大小一．分数的计算分数计算是小学数学的重要组成部分也是日常生活种经常遇到的问题，因此学好分数计算不仅是我们的任务更是我们的实际需要。分数计算同整数计算一样，即有知识要求又有能力要求。法则、定理、性质是进行计算的依据。要使计算快速、准确，关键在于掌握运算技巧。对于复杂的分数运算题，常用的方法和技巧是通分、约分、凑整、分解、分析等。例1计算解：原式=（19+9+7+3+8+4）+（）=50+===50+1－=例2计算分析可以清楚地看到分子的括号部分与分母可以通过乘法意义转化成同一个算式，从而使计算简便。解：原式====1999.例3计算分析：若按部就班，计算的复杂性是可想而知的。通过观察，3.6=，。因此在第一个括号中，可以把提取出来，再计算。解：原式=====10例4计算解：仔细观察，可以发现每个分数都可以约分，于是原式====例5计算。分析把相同的算式用同一个字母表示，先进行字母运算，得到最简单的字母表达式代入，这是常用的一种巧妙的方法。解：令，。原式=（1+B）×A－（1+A）×B=A+AB-B-AB=A-B。所以原式===。例6计算（。分析由于99=33×3=11×9，因此可以把两个括号内的数分拆成整数与分数的和，这样就有公因数（1+3+9）。解：原式====。习题一1.计算2.计算3.计算4.计算5.计算6.计算7.有30个数：1.65，1.65+，，…，，。如果取每个数的整数部分，并将这些数相加，那么其中和是多少？8.计算9.计算10.计算二．比较大小与估算1.比较大小方法点拨：比较两个分数的大小，有两种基本方法。第一种是：如果两个分数分母相同，分子大的分数较大；第二种是：如果两个分数分子相同，分母小的分数较大；或者统一分母，或者统一分子进行比较。另外还有其它特殊方法，例如，相减做差比较法，如果差大于0，那么减数就小于被减数，否则，减数大于被减数；相除做商法，如果商大于1则被除数大于除数，否则，被除数小于除数；交叉相乘法比较，分数和（b，d都大于0），如果,那么；倒数比较，倒数大的分数小于倒数小的分数；化为小数或循环小数比较等等。例1分数、、、、中，哪一个最大？分析这五个分数的分子和分母都不想同，如果统一分母，显然计算量大。统一分子，可以看出分子的最小公倍数是，于是统一分子后比较好算。解：把五个分数的分子变成相同的则，，，，，根据分数的性质，分子相同的分数，分母小的分数大，所以这五个分数中最大的分数是。例2比较和的大小。分析这两个分数的分子和分母都很接近，且都相差2.先分别求出和为1的另一个分数，比较两个分子相同的分数，再比较原来的两个分数。解：因为，，而，所以，即。例3若，，比较与的大小。解：由于这两个分数的分子都是1，只要比较这两个分数分母的大小就可以了。分数B的分母为：=19982+1997（1997-1998）=19982-1997=19982-1998+1与分数A的分母相同，所以分数A与分数B的大小相等。例4在下列方框内填两个相邻的整数，使不等式成立。□﹤﹤□。解：因为，所以==﹤==3因此上面两个方框内应分别填2和3，即,﹤﹤例5设，求N的整数部分。解：令，，，则，，所以，。又，即，所以，从而。所以N的整数部分是20009。例6设A是一个整数，求A，使得下面等式成立。，因为，而====。所以。故A=2习题二一．填空题1.比较大小：2.比较大小：3.比较大小：4.比较大小：5.比较大小：6.比较大小：7.比较下列五个数的大小（按从大到小排列）：，，，，。8.在、、、、中最大的数是。9.A=12345678910111213÷312111101987654321，A的小数点后的前3位数字是。10.求的整数部分是。11.求的整数部分。12.有一个分数，分母加上某数，而分子减去此数的2倍，分数值变为，求此数。2.估算与取整某校师生为贫困地区捐款1995元。这个学校共有35名教师，14个教学班。各班的学生人数相同，且不少于30人，不超过45人。如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少元？解决这个问题的关键点是根据题目所给的班级学生人数的范围，先求出平均每人捐款钱数的范围，然后再依据其他条件确定所求的整数值。方法点拨：用估算法求整数值是一种非常灵活的思想方法，它所涉及的问题面很广泛，常常需要我们因题而宜地解决问题具体分析找到合适的揭露，当然它的基础仍是运用各种运算法则与技巧进行快速的近似计算。首先估算出（或判断出）问题解所在的数值范围，进而在此范围内依题目的条件确定整数解。例1某校师生为贫困地区捐款1995元。这个学校共有35名教师，14个教学班。各班的学生人数相同，且不少于30人，不超过45人。如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少元？解：依题意有30×14+35=455（人）≤全校师生总数≤45×14+35=665（人），所以1995÷665=3（元）≤平均每人捐款≤1995÷445=（元）。由于平均每人捐款数应为1995的约数，因为4不是1995的约数而3是1995的约数，所以平均每人捐款3元。说明：解决此题的第一步是依班级人数的范围（30≤每班人数≤45），估计出平均每人捐款的范围（3（元）≤平均每人捐款范围≤（元），在此范围内的整数有3与4.第二步，由该整数应为1995的约数，排除4得到3.例2有一列数，第一个数是105，第二个是85，从第三个开始，每个数都是它前面两个数的平均数，那么第19个数的整数部分是几？分析根据平均数的概念知，该数值介于被求“平均”两数之间，我们知道，随着求平均数的增加，所得平均数值的范围会逐渐变窄，从而其整数部分将逐渐“稳定”。解：第三个数=（105+85）÷2=95.第四个数=（85+95）÷2=90，第五个数=（95+90）÷2=92.5，第六个数=（90+92.5）÷2=91.25，第七个数都在91.25与91.875之间。所以这些数的整数部分都是91，故第19个（平均）数的整数部分为91.例331.719×1.2798的整数部分是几？用放缩法估算：31.719×1.2798﹥31.7×1.27=31.7+31.7×0.27=31.7+31.7×0.2+31.7×0.07﹥31.7+31.7+6.3+2=40①，又31.719×1.2798﹤32×1.28=40.96﹤41.因此所求整数部分是40.说明：在利用放缩法时，在舍位或进位（以便简化计算）时，“步伐”应尽可能的小，以便使所得结果尽可能接近“真值”。①中的放缩分了很多步，目的为此。例4已知，问的整数部分是多少？解：===。因为﹤﹤，即1﹤﹤﹤﹤2，所以的整数部分是101.例6今有长度分别为1厘米、2厘米、3厘米……、9厘米长的木棍各1根（规定不许折断），从中选用若干根组成正方形，可有多少种不同方法。解：由于（1+2+3+4+…+9）÷4=11.25﹤12，这说明最大的正方边长≤11.用枚举法分别讨论。边长为11的四边为9+2=8+3=7+4=6+5，有一个正方形；边长为10的四边为9+1=8+2=7+3=6+4，有一个正方形；边长为9的四边为8+1=7+2=6+3=5+4=9，用这5种组合可组成5个不同的正方形；边长为8的四边为7+1=6+2=5+3=8，有一个正方形；边长为7的四边为6+1=5+2=4+3=7,有一个正方形。显然，不存在边长≤6的正方形。所以，共可组成1+1+5+1+1=9个正方形。习题1.在下列方框中填两个相邻的整数，使不等式成立：□﹤﹤□2.分数和的整数部分是。3.小明家住在一条小胡同里，各家的号码从1号连续排下去，全胡同所有家的号码之和再减去小明家的号码是60，小明家的号码是。4.一本书的页码是连续的正整数1、2、3，…，当将这些页码加起来的时候，某个页码加了两次，得到不正确的结果为1991.这个被加了两次的页码为。5.在1、、、…、、中选出若干个数，使得它们的和大于3，至少要选个数。淘气的数字“3”自然数家族中最调皮的要算数3了。由于他个头长得比较矮，大家都亲切地叫他“小3”。

小3走路从都不好好走。他走起路来连蹿带蹦，饿时身体往前走眼睛却往后瞧。

这一次，小3又歪着脑袋一溜烟地往前跑，“咚的一声和一位白胡子老爷爷撞了个满怀。

白胡子老爷爷于；“小3，你又到处乱跑，撞了车碰了人多不好。”

小3不以为然地说：“撞一下没事，到处跑一跑多自地呀！”

“没事？从现地起你再撞着谁，异将和谁作一次乘法，不信，你异撞去吧。”白胡子老爷爷用手指了一下小3，异不见了。

“撞着谁就和谁作一次乘法？嘻嘻，这倒挺好玩，我要撞一撞，试一试。”小3说完就往前跑。

远远看见数2坐地一块石头上，小3低头朝数2猛撞过去。只听“咚”的一声响，地上冒起一股白烟。白烟过后数2没了，小3也没了，坐地石头上的却是数6，小3呢？原来小3和数2被一个乘号“×”紧紧箍地一起，变到数6的肚子里去了，2×3=6.

数6站起来拍了拍裤子上的土，朝偶数村走去。小3一看数6往偶数村走，就着急了。他喊道：“不对，走错方向了，我不住地偶数村，我是奇数，我住地奇数村。”

数2说；'你嚷嚷什么！谁让你撞我，和我作乘法来着。任何一个奇数只要和我数2相乘，立刻就变成偶数。”

小3惊奇地说：“你那么厉害？如果偶数和你作乘法呢？”

“偶数和我数2相乘，当然还是偶数。一句话，任何一个自然数和我相乘，都将变成为偶数。”

小3唉求说：“数2帮帮忙，你是偶数，我是奇数，咱俩没关系，咱俩一起使劲，挣脱开这个乘号吧。”

数2摇摇头说：“不对！谁说咱俩没关系？你好好想一想，你小3除了是奇数，还是什么数？”

小3想了一下说：“我除了是奇数，还是个质数。你知道什么是质数吗？质数就是除了能被1和它本身整除外，再不能被其他自然数整除的那种自然数。1除外，1不算质数。”数2说？“我也是质数呀，和你是一家子。”“骗人！我有许多质数朋友，比如5、7、11等等都是奇数。你数2是偶数，怎么会是质数呢?”

“是不是质数，应该用质数的定义来衡量。我数2除了能被2和1整除外，不能再被其他自然数整除，当然是质数娄。”

小3想了想说：“对！你符合质数定义，你是质数。”

“我是质数中唯一的偶数，也是最小的质数。”

“对！”

“我还是自然数家族中最小的偶数。”

“骗人！最小的偶数是零。”

“零虽说比我小，但是零不是咱武自然数家族中的成员啊！”

小3恍然大悟，点点头说；“对！零不是自然数，自然数是从1开始的。”

“一、二、三！”小3向数2招招手说；“再见了，自然数家族中最小的质数，最小的偶数。”

小3又开始跑了，他一面跑一面想数可撞不得！一撞偶数，就变成偶数了，可就回不了奇数村啦。

小3只顾想事，一不留神和数5撞地一起，一股白烟过后，3×5变成了15。

小3高兴地说：“撞上奇数可没事，三五一十五，结果还是一个奇数，一点没变。”

数5嘟囔地说：“什么一点没变啦！你数3是著述，我数5也是质数，咱俩相乘变成了15，15可不是质数。”

小3一摸后脑勺说：“对呀！和一个不是2的质数相乘，虽说乘积还是个奇数，但是已经不是质数了。唉！说真的，咱俩相乘之后变成了什么数了？”

数5说：“咱俩相乘得15，这15除了可以被1和本神整除，还能被你—3，我—5整除，这样的自然数叫合数。”

“变成合数了，那我可不干。”小3使劲挣脱了乘号，又低头猛跑。“咚”的一声，又撞到了一个数。

一股白烟过后，小3摇了摇脑袋发现自己并没变，还是数3.怪呀！我明明撞上了一个数，怎么没发生变化呢？难道是地作梦？

只听一个数地自己肚子里说：“你撞着我了。”

“你是谁？”

“我是1呀！”

“噢，我想起来了。”小3说，“任何一个自然数和1相乘，还得原来的数。数1这个性质真奇特。”

小3连蹿带蹦又往前跑，眼看就要撞上站地前面的一个数了，突然，一个人把他拉住了：“不能撞他，危险！”

小3一看，拉他的人正是那个白胡子老爷爷。小3不服气地说：“为什么不能撞？偶数、奇数我都撞过，他有什么了不起？我偏要撞。”说完又低头往前冲。

白胡子老爷爷说：“你看看他是谁？待前面的数一回头，把小3吓了一跳，原来他是数0。

白胡子老爷爷说：“0和任何数相乘都得0.你如果冒冒失失地一头撞到0的身上，和0作乘法，可就永远变成了0，再也看不见你这个小3了。”

小3听了这番话，吓得出了一身冷汗。他赶紧向白胡子老爷爷一鞠躬说：“感谢您救了我一条命，我今后再也不到处跑了。老爷爷，您到底是谁呀？”

“闯一闯也好，使你他了不少见识，对自然数的乘法有了更深的了解。不过，你还要认真地读书和学习，才能不断地进步。你要问我是谁呀？你来看。”一股白烟过后，出现了一本很大的数学书。啊！白胡子老爷爷原来是数学书变的。第四章分数与百分数的应用一、基础知识：百分数应用题中最基本的问题是：求一个数的几分之几是多少？解法：这个数×分率=分率所对应的量。已知一个数的几分之几是多少，求这个数？解法：分率所对应的量÷分率=这个数。几分之几总是对于某个标准量而言的，也就是说，是“谁的几分之几”，这里“谁”是整体“1”。在解决分数应用题时，明确整体“1”非常关键，否则就要出错。例1水果店运来一批橘子和苹果，其中橘子重量占总重量的，橘子比苹果少1440千克，运来橘子多少千克？解：①苹果重量占总重量的几分之几？③总重量是多少千克？④运来橘子多少千克？例2有两袋米，甲袋比乙袋少18千克．如果再从甲袋倒入乙袋6千克，这时甲袋的米相当于乙袋的。问原来两袋米各有多少千克？解：①倒米后甲袋比乙袋少多少千克？18＋6×2＝30（千克）．②倒米后甲袋比乙袋少几分之几？③倒米后乙袋有米多少千克？④原来乙袋有米多少千克？80－6＝74（千克）．⑤原来甲袋有米多少千克？74－18＝56（千克）．例3一本书，已看了130页，剩下的准备8天看完．如果每天看的页数相等，3天看的页数恰好是全书的。这本书共有多少页？解：（页）答：这本书共有330页。例4奶奶卖了一些苹果，第一天吃去又个，第二天吃去剩下的又个，第三天吃去再剩下的又个，这时剩下3个苹果问奶奶买了多少苹果？每天各吃了几个苹果？解：共买苹果：答：奶奶共买苹果11个，第一天吃苹果4个，第二天吃苹果2个，第三天吃苹果2个。习题1、一本故事书共有120页，第一天看完了全书的，第二天看完了余下的页数的，剩下的第三天看完，第三天看了多少页?2、一个书架有上下两层，共有书287本。已知上层书本数的等于下层本数的，这个书架上、下层各有多少本？3、某小学六年级选出男生的和12名女生参加数学竞赛，剩下男生人数是剩下的女生人数的2倍。已知这个学校六年级学生共有156人，男生各有多少人？4、食堂有一桶油，第一天吃掉一半多1公斤，剩下的油，第二天又吃掉一半多2公斤，再剩下的油第三天又吃掉一半多才多3公斤，最后桶里还剩下2公斤，问桶里原来有多少公斤的油？5、李大娘养的鸡关在东西两个院内。已知东西院内养鸡40只；现在把西院养鸡的卖给商店，卖给加工厂，再把剩下的鸡与东院全部的鸡相加，其中恰好等于原来东、西院养鸡总数的一半。原来东西院一共有多少养鸡多少只？6、某校四、五、六三个年级共有学生618人，其中五年级人数比四年级人数多，六年级比五年级少，求各年级人数。7、原计划10天完成一批录音机的组装任务，由于工人们的努力，每天比原计划多组装6台，因此实际只用了原计划天数的就完成了任务。这批录音机有多少台？8、小明读一本小说，第一天读了全书的，第二天又读了余下的，这时还有42页没有读完。这本小说共有多少页？9、五（2）班全班同学都参加了数学和作文课外小组，参加数学小组的占全班人数的，参加作文小组的占全班人数的56%，同时参加数学和作文的有8人。求全班有多少人？韩信点兵韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。刘邦茫然而不知其数。我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然後再加3，得9948（人）。中国有一本数学古书「孙子算经」也有类似的问题：「今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？」答曰：「二十三」术曰：「三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十，五五数之剩一，则置二十一，七七数之剩一，则置十五，即得。」孙子算经的作者及确实着作年代均不可考，不过根据考证，着作年代不会在晋朝之後，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理（ChineseRemainderTheorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。第五章比和比例在应用题的各种类型中，有一类与数量之间的（正、反）比例关系有关．在解答这类应用题时，我们需要对题中各个量之间的关系作出正确的判断．成正比或反比的量中都有两种相关联的量．一种量（记作x）变化时另一种量（记作y）也随着变化．与这两个量联系着，有一个不变的量（记为k）．在判断变量x与y是否成正、反比例时，我们要紧紧抓住这个不变量k．如果不变量K是变量y与x的商，即在x变化时y与x的商不变：，那么y与x成正比例；如果k是y与x的积，即在x变化时，y与x的积不变：xy＝k，那么y与x成反比例．如果这两个关系式都不成立，那么y与x不成（正和反）比例．下面我们从最基本的判断两种量是否成比例的例题开始．例1下列各题中的两种量是否成比例？成什么比例？①速度一定，路程与时间．②路程一定，速度与时间．③路程一定，已走的路程与未走的路程．④总时间一定，要制造的零件总数和制造每个零件所用的时间．⑤总产量一定，亩产量和播种面积．⑥整除情况下被除数一定，除数和商．⑦同时同地，竿高和影长．⑧半径一定，圆心角的度数和扇形面积．⑨两个齿轮啮合转动时转速和齿数．⑩圆的半径和面积．(11)长方体体积一定，底面积和高．(12)正方形的边长和它的面积．(13)乘公共汽车的站数和票价．(14)房间面积一定，每块地板砖的面积与用砖的块数．(15)汽车行驶时每公里的耗油量一定，所行驶的距离和耗油总量．分析以上每题都是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，那么怎样来确定这两种量成哪种比例或不成比例呢？关键是能否把两个相关的变量x、y用或用xy=k来表示，其中k是定量，如果不能写出这两种形式，或只能写出加减法关系，那么这两种量就不成比例．例如①×零件数＝总时间，总时间一定，制造每个零件用的时间与要制造的零件总数成反比例．③路程一定，已走的路程和未走的路程是加减法关系，不成比例．解：成正比例的有：①、⑦、⑧、(15)成反比例的有：②、④、⑤、⑥、⑨、(11)、(14)不成比例的有：③、⑩、(12)、(13)．例2一条路全长60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长的比依次是1：2：3，某人走各段路程所用时间之比依次是4∶5∶6，已知他上坡的速度是每小时3千米，问此人走完全程用了多少时间？分析要求此人走完全程用了多少时间，必须根据已知条件先求出此人走上坡路用了多少时间，必须知道走上坡路的速度（题中每小时行3千米）和上坡路的路程，已知全程60千米，又知道上坡、平路、下坡三段路程比是1∶2∶3，就可以求出上坡路的路程．解：上坡路的路程：走上坡路用的时间：上坡路所用时间与全程所用时间比：走完全程所用时间：例3一块合金内铜和锌的比是2∶3，现在再加入6克锌，共得新合金36克，求新合金内铜和锌的比？分析要求新合金内铜和锌的比，必须分别求出新合金内铜和锌各自的重量．应该注意到铜和锌的比是2∶3时，合金的重量不是36克，而是（36－6）克．铜的重量始终没有变．解：铜和锌的比是2∶3时，合金重量：36－6＝30（克）．铜的重量：新合金中锌的重量：36－12＝24（克）．新合金内铜和锌的比：12∶24＝1∶2．答：新合金内铜和锌的比是1∶2．例4师徒两人共加工零件168个，师傅加工一个零件用5分钟，徒弟加工一个零件用9分钟，完成任务时，两人各加工零件多少个？分析师傅加工一个零件用5分钟，每分钟可加工个零件，徒弟加工一个零件用9分钟，每分钟可加工零件个，师徒两人效率的比是：，由于两人的工作时间是一定的，根据，工作量与工作效率成正比例。解法1：设师傅加工x个，徒弟加工（168－x）个．5x＝168×9－9x，14x＝168×9，x＝108．168－x＝168－108＝60（个）．答：师傅加工108个，徒弟加工60个．解法2：由于师、徒两人工作效率的比是：，那么他们工作量的比也是：，因此师傅工作量是徒弟工作量的（倍），徒弟的工作量为1倍量。＝60（个），（徒弟）．解法3：师傅每分钟加工个，徒弟每分钟加工个，用相遇问题思考方法可求出两人各用了多少分钟．然后用师、徒每分钟各自的效率，分别乘以540就是各自加工零件的个数．解法4：按比例分配做：例5洗衣机厂计划20天生产洗衣机1600台，生产5天后由于改进技术，效率提高25％，完成计划还要多少天？分析这是一道比例应用题，工效和工时是变量，不变量是计划生产5天后剩下的台数．从工效看，有原来的效率1600÷20＝80台/天，又有提高后的效率80×（1＋25％）＝100台/天．从时间看，有原来计划的天数，要求效率提高后还需要的天数．根据工效和工时成反比例的关系，得：提高后的效率×所需天数＝剩下的台数．解法1：设完成计划还需x天．1600÷20×（1＋25%）×x＝1600－1600÷20×580×1.25×x＝1600－400100x＝1200x＝12．答：完成计划还需12天．解法2：此题还可以转化成正比例．根据实际效率是原来效率的1＋25%=倍，把原来效率看成“1”。实际和原来效率的比是：1=5：4，因为工效和工时成反比例，所以实际与原来所需时间的比是4∶5，如果设实际还需要x天，原来计划的天数是20－5＝15天，根据实际与原来时间的比等于实际天数与原来天数的比，可以用正比例解答．设完成计划还需x天．5x＝60，x＝12．解法3：（按工程问题解）设完成计划还需x天．例6一个长方形长与宽的比是14：5，如果长减少13厘米，宽增加13厘米，则面积增加182平方厘米，那么原长方形面积是多少平方厘米？画出图便于解题：解法1：BC的长：182÷13＝14（厘米），BD的长：14＋13＝27（厘米），从图中看出AB长就是原长方形的宽，AD与AB的比是14∶5，AB与BD的比是5∶（14－5）＝5∶9，原长方形面积是42×15＝630（平方厘米）．答：原长方形面积是630平方厘米．解法2：设原长方形长为14x，宽为5x．由图分析得方程（14x－13）×13－5x×13＝182，9x＝27，x＝3．则原长方形面积（14×3）×（5×3）＝630（平方厘米）．例4、例5、例6是综合性较强的题，介绍了几种不同解法．要求大家从不同角度、综合、灵活运用所学知识，多角度去思考解答应用题，从而提高自己思维判断能力．习题1、植物园中菊花与月季花的盆数之比是31：5，兰花与睡莲的盆数之比是40：9，月季与睡莲的盆数之比是25：3。现在我们知道植物园中有200盆兰花，试求出菊花的总盆数。2、长方形棱长的和是216厘米，它的长、宽、高之比是4：3：2，长方体的表面积和体积各是多少?3、操场上有一群学生在玩游戏，其中男生人数与女生人数之比为3：2，后来教室里又出来6名女生加入，此时男生人数与女生人数之比是5：4，求原来有多少名男生？有多少名女生？4、有三箱水果共重60千克，如果从第一、二箱中都取出3千克水果放入第三箱中，则第一、二、三箱水果重量之比是1：2：3，问三箱水果原来分别重多少千克？5、一个容器内已注满水。现有大、中、小三个球，第一把小球沉入水中：第二把小球取出，把中球沉入水中；第三取出中球把小球和大球一起沉入水中。现在知道每次从容器中溢出水量的情况是：第一次是第二次的1／3，第三次是第一次的2.5倍，求三个球的体积之比。6、汽车在南北走向的公路上行驶，由南向北顶风行驶，每小时行50千米；由北向南顺风行驶，每小时行70千米。两辆汽车同时从同一地点向北而行，一辆汽车往北驶去然后返回，另一俩汽车往南驶去然后返回，结果4小时后两车同时回到出发点。如果调头时间不计，在这4小时内两车行驶的方向相同的时间有多少小时？7、某俱乐部男、女会员的人数之比是3：2，分为甲、乙、丙三组的人数之比是10：8：7，甲组中男、女会员人数之比。8、如右图所示，圆B与圆C的面积之和等于圆A面积的4／5，且圆A中的阴影部分占圆A面积的1／6，圆B的阴影部分占圆B面积的1／5，圆C的阴影部分占圆C面积的1/3。求圆A、圆B、圆C的面积之比。9、甲、乙两队学生参加郊外夏令营，只有一辆接送,坐不下。甲队学生坐车从学校出发的同时，乙队学生开始步行，车到途中某处让甲队学生下车步行去营地，车立即返回接乙队学生直接开到营地，结果两队同时到达。已知学生步行速度为4千米/小时，汽车载学生时的速度为40千米/小时，空车速度为50千米/小时，那么甲队学生步行。路程与全程的比是多少？10、某校毕业生共分9个班，每班人数相等。已知一班的男生比二、三班两个班的女生总数多1；四、五、六班三个班的女生总数比七、八、九班三个班的男生总数多1，那么该校毕业生中男、女生人数的比是多少？测量金字塔的高度有一天，泰勒斯看到人们都在看告示，他也上去看。原来告示上写着法老要找世界上最聪明的人来测量金字塔的高度。泰勒斯就到找法老了。法老问泰勒斯用什么工具来量金字塔。泰勒斯说只用一根木棍和一把尺子，大家都觉得很奇怪。他把木棍插在金字塔旁边，等木棍的影子和木棍一样长的时候，就去量金字塔。他量了金字塔影子的长度和金字塔底面边长的一半。把这两个长度加起来就是金字塔的高度了。泰勒斯真是世界上最聪明的人，他不用爬到金字塔的顶上就方便量出了金字塔的高度。第六章鸡兔同笼例1（古典题）鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？分析如果46只都是兔，一共应有4×46=184只脚，这和已知的128只脚相比多了184-128=56只脚.如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少4-2=2（只）脚.那么，46只兔里应该换进几只鸡才能使56只脚的差数就没有了呢？显然，56÷2=28，只要用28只鸡去置换28只兔就行了.所以，鸡的只数就是28，兔的只数是46-28=18。解：①鸡有多少只？（4×6-128）÷（4-2）=（184-128）÷2=56÷2=28（只）②免有多少只？46-28=18（只）答：鸡有28只，免有18只。我们来总结一下这道题的解题思路：先假设它们全是兔.于是根据鸡兔的总只数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看相差多少.每差2只脚就说明有一只鸡；将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只鸡.我们称这种解题方法为假设法.概括起来，解鸡兔同笼问题的基本关系式是：鸡数=（每只兔脚数×兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）兔数=鸡兔总数-鸡数当然，也可以先假设全是鸡。例2鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？分析这个例题与前面例题是有区别的，没有给出它们脚数的总和，而是给出了它们脚数的差.这又如何解答呢？假设100只全是鸡，那么脚的总数是2×100=200（只）这时兔的脚数为0，鸡脚比兔脚多200只，而实际上鸡脚比兔脚多80只.因此，鸡脚与兔脚的差数比已知多了（200-80）=120（只），这是因为把其中的兔换成了鸡.每把一只兔换成鸡，鸡的脚数将增加2只，兔的脚数减少4只.那么，鸡脚与兔脚的差数增加（2+4）=6（只），所以换成鸡的兔子有120÷6=20（只）.有鸡（100-20）=80（只）。解：（2×100-80）÷（2+4）=20（只）。100-20=80（只）。答：鸡与兔分别有80只和20只。例3红英小学三年级有3个班共135人，二班比一班多5人，三班比二班少7人，三个班各有多少人？分析1我们设想，如果条件中三个班人数同样多，那么，要求每班有多少人就很容易了.由此得到启示，是否可以通过假设三个班人数同样多来分析求解。结合下图可以想，假设二班、三班人数和一班人数相同，以一班为标准，则二班人数要比实际人数少5人.三班人数要比实际人数多7-5=2（人）.那么，请你算一算，假设二班、三班人数和一班人数同样多，三个班总人数应该是多少？解法1：一班：[135-5+（7-5）]÷3=132÷3=44（人）二班：44+5=49（人）三班：49-7=42（人）答：三年级一班、二班、三班分别有44人、49人和42人。分析2假设一、三班人数和二班人数同样多，那么，一班人数比实际要多5人，而三班要比实际人数多7人.这时的总人数又该是多少？解法2：（135+5+7）÷3=147÷3=49（人）49-5=44（人），49-7=42（人）答：三年级一班、二班、三班分别有44人、49人和42人。想一想：根据解法1、解法2的思路，还可以怎样假设？怎样求解？例4刘老师带了41名同学去北海公园划船，共租了10条船.每条大船坐6人，每条小船坐4人，问大船、小船各租几条？分析我们分步来考虑：①假设租的10条船都是大船，那么船上应该坐6×10=60（人）。②假设后的总人数比实际人数多了60-（41+1）=18（人），多的原因是把小船坐的4人都假设成坐6人。③一条小船当成大船多出2人，多出的18人是把18÷2=9（条）小船当成大船。解：[6×10-(41+1）÷（6-4）=18÷2=9（条）10-9=1（条）答：有9条小船，1条大船。例5有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀），求蜻蜓有多少只？分析这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题.观察数字特点，蜻蜓、蝉都是6条腿，只有蜘蛛8条腿.因此，可先从腿数入手，求出蜘蛛的只数.我们假设三种动物都是6条腿，则总腿数为6×18=108（条），所差118-108=10（条），必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的.所以，应有（118-108）÷（8-6）=5（只）蜘蛛.这样剩下的18-5=13（只）便是蜻蜓和蝉的只数.再从翅膀数入手，假设13只都是蝉，则总翅膀数1×13=13（对），比实际数少20-13＝7（对），这是由于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计算所差，这样蜻蜓只数可求7÷（2-1）=7（只）.解：①假设蜘蛛也是6条腿，三种动物共有多少条腿？6×18=108（条）②有蜘蛛多少只？（118-108）÷（8-6）=5（只）③蜻蜒、蝉共有多少只？18-5=13（只）④假设蜻蜒也是一对翅膀，共有多少对翅膀？1×13=13（对）⑤蜻蜒多少只？（20-13）÷2-1）=7（只）答：蜻蜒有7只.习题1.小华用二元五角钱买了面值二角和一角的邮票共17张，问两种邮票各买多少张？2.有鸡兔共20只，脚44只，鸡兔各几只？3.松鼠妈妈采松子，晴天每天可采20个，雨天每天可采12个，它一连几天采了112个松子，平均每天采14个.问这几天当中有几天有雨？4.蜘蛛有8条腿，蝴蝶有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和一对翅膀，现有这三种动物共21只，共140条腿和23对翅膀，问蜘蛛、蝴蝶、蝉各有几只？5.体育老师买了运动服上衣和裤子共21件，共用了439元，其中上衣每件24元、裤子每件19元，问老师买上衣和裤子各多少件？6.鸡、兔共笼，鸡比兔多26只，足数共274只，问鸡、兔各几只？维纳的故事维纳（1894－1964年）是最早为美洲数学赢得国际荣誉的大数学家，关于他的轶事多极了。维纳最有名的故事是有关搬家的事。一次维纳乔迁，妻子熟悉维纳的方方面面，搬家前一天晚上再三提醒他。她还找了一张便条，上面写着新居的地址，并用新居的房门钥匙换下旧房的钥匙。第二天维纳带着纸条和钥匙上班去了。白天恰有一人问他一个数学问题，维纳把答案写在那张纸条的背面递给人家。晚上维纳习惯性地回到旧居。他很吃惊，家里没人。从窗子望进去，家具也不见了。掏出钥匙开门，发现根本对不上齿。于是使劲拍了几下门，随后在院子里踱步。突然发现街上跑来一小女孩。维纳对她讲：“小姑娘，我真不走运。我找不到家了，我的钥匙插不进去。”小女孩说道：“爸爸，没错。妈妈让我来找你。”

有一次维纳的一个学生看见维纳正在邮局寄东西，很想自我介绍一番。在麻省理工学院真正能与维纳直接说上几句话、握握手，还是十分难得的。但这位学生不知道怎样接近他为好。这时，只见维纳来来回回踱着步，陷于沉思之中。这位学生更担心了，生怕打断了先生的思维，而损失了某个深刻的数学思想。但最终还是鼓足勇气，靠近这个伟人：“早上好，维纳教授！”维纳猛地一抬头，拍了一下前额，说道：“对，维纳！”原来维纳正欲往邮签上写寄件人姓名，但忘记了自的名字……。第七章容斥原理我们知道，求和问题只要直接小家就可得出答案。但在某些情况下，问题却不能直接相加。例如，某班学生去图书室借书，每人都借了课外书，统计结果是：借语文书的39人，借数学书的32人，语文、数学两种书都借的有26人，求全班学生共几人？显然，求全班的学生数，不能用39和32直接相加。当借语文的39人和借数学的32人相加时，事实上重复包含的26人加了两次。所以全班的学生数应当是：39+32-26=45（人）像上面这种有重复包含的情况，在解题时应考虑排除由于重复、相互包含而引起的多加的数学题，就是包含与排除问题，简称，容斥问题。基本概念：集合：具有某些相同性质的对象所组成的共同体。（集合中任何两个对象是不同的）集合的性质：（1）集合内的对象都具有共同的性质或特点；（2）集合内对象是不重复的。并集：所有属于集合A又属于集合B的对象所组成的集合。又叫A和B的和，用符号表示：A∪B，读作A并B。交集：既属于集合A有属于集合B的对象组成的集合，用符号表示：A∩B，读作A交B。容斥原理1：求集合A和B的并集：先求出集合A和B所有对象的和；再减去A和B交集。用符号表示：∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣；容斥原理2：求集合A、B和C的并集：先求出A、B和C的所有对象的和；再分别减去集合A和B、B和C、A和C的交集；最后再加上集合A、B和C的交集。用符号表示：∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣A∩C∣-∣B∩C∣+∣A∩B∩C∣；例1集合A=,集合B=求，A∩B和A∪B分别等于多少？解：A∩B=;A∪B=例2设集合I=｛1，3，5，7，9｝，集合A=｛3，5，7｝。我们称属于集合I但不属于集合A的元素的集合为在集合I中的补集（或余集），如右图中阴影部分表示的集合（整个长方形表示集合I）.如，例2中就是集合A在集合I中的补集。显然，A和没有公共元素，即A∩=（表示空集，即没有元素的集合）。此外，A∪=I。对于两个没有公共元素的集合A和B，显然有|A∪B|=|A|+|B|。例如，A=｛1，2，…，100｝，B=｛101｝，则所以|A∪B|＝101＝100＋1=|A|＋|B|。如果集合A与B有公共元素，例如A＝｛1，2，…，100｝，B＝｛90，91，…，101｝，则A∩B＝（90，91，…，100｝，A∪B={1，2，…，101}.此时，|A∪B|与|A|+|B|有什么关系呢？在这个例中，|A∪B|=101，|A|＋|B|＝100＋12=112。所以|A∪B|=|A|+|B|-11我们注意到，11恰为A∩B的元素个数.这是合理的，因为在求|A∪B|时，90，91，…，100这11个数各被计入一次，而在求|A|＋|B|时，这11个数各被计入两次（即多算了一次），并且这11个数组成的集合恰为A∩B.因此得到|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|，（1）这就是关于两个集合的容斥原理：集合A与B的并的元素个数，等于集合A的元素个数与集合B的元素个数的和，减去集合A与B的交的元素个数。（1）是容斥原理的第一个公式.我们还可以用右图来说明.如图我们用N1、N2、N3分别表示A∪B中互不重叠的部分的元素个数。可见：|A|=N1＋N3，|B|=N2＋N3，|A∩B|=N3.因此|A∪B|=N1＋N2＋N3＝（N1＋N3）+（N2＋N3）-N3=|A|+|B|-|A∩B|。我们知道，当集合A与B没有公共元素时，有|A∪B|＝|A|+|B|.实际上这是公式（1）的特殊情形，因为此时：例3某班有42人，其中26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，9人既爱打篮球又爱踢足球，4人既爱大排球又爱踢足球。没有一个人三种球都爱好。也没有一个人三种求都不爱好。既爱打篮球又爱打排球的有几人？解：设，爱好打篮球的人的集合为A，爱好打排球的人的集合为B，爱好踢足球的人的集合为C。因为，A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C；所以，A∩B=A+B+C-A∩C-B∩C+A∩B∩C；则，A∩B=26+17+19-9-4+0-42=7(人)；答：既爱打篮球，又爱打排球的有7人。例4一张圆纸片的面积为5，一正方形纸片的面积为4，两张纸片在桌面上覆盖的面积为6，问两张纸片重合部分的面积为多少？解：如右图，重合部分的面积为：5+4-6=3。答：两张纸片重合部分的面积为3.例5如图，A、B、C分别代表面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们放在一起盖住的面积为38，且A与B、B与C、C与A公共部分面积分别为8、7、6，求A、B、三个图形公共部分的面积解：设，公共部分的面积是x，那么，12+28+16-8-7-6+x=38，x=3或38-（12+28+16-8-7-6）=3.答：公共部分的面积是3.例6暑假期间有12个同学取冷饮店，向服务元交出需要的冷饮统计数字如下：有6个人要可可，有五个人要咖啡，有5个人要果汁。有3个人既要可可又要咖啡，有2个人既要咖啡又要果汁，有3个人既要可可又要果汁，有1个人可可、咖啡、果汁都要。问有没有人什么冷饮都不要的，如果有的话，有几人？解：根据包含与排除问题的计算方法，可先求出要冷饮的人数为:6+5+5-3-2-3+1=9(人)。因为去冷饮店的共12人，所以什么都没要的有12-9=3（人）。答：有3人什么冷饮都没要。习题1.某班有50人，会游泳的有27人，会体操的有18人，都不会的有15人.问既会游泳又会体操的有多少人？2.在1～1000这1000个自然数中，不能被2、3、5中任何一个数整除的数有多少个？3.五环图中每一个环内径为4厘米，外径为5厘米.其中两两相交的小曲边四边形（右图中阴影部分）的面积相等.已知五个圆环盖住的总面积是122.5平方厘米.求每个小曲边四边形的面积。4.某班全体学生进行短跑、游泳和篮球三项测验，有4个学生这三项均未达到优秀，其余每人至少一项达到优秀，这部分学生达到优秀的项目及人数如下表：问这个班有多少名学生？5．有100位学生回答A、B两题.A、B两题都没回答对的有10人，有75人答对A题，83人答对B题，问有多少人A、B两题都答对？6.在一次数学竞赛中甲答错题目总数的，乙答对7道题，两人对的题目是题目总数的，问：甲答对了多少道题？数学王国的巾帼英雄

陀螺是中小学生熟悉一种玩具。一只小小的陀螺在桌面上飞速地旋转着。单见它立定一点，一面绕倾斜于桌面的轴急速自转，另一面自转轴又宛如锥体母线般绕着过定点而垂直于桌面的轴线，缓慢而稳定地做公转运动。

陀螺旋转的时候为什么不会倒？在千万个玩陀螺的人中，能正确回答出这个问题的，大概不会太多。的确，陀螺的转动是十分有趣而神秘的。

陀螺在科学上有很高的研究价值。把旋转着的陀螺抛向空中。它能使自己的轴保持原来的方向。陀螺的这一特性，被用来制造定向陀螺仪，广泛用于航海、航空和宇宙飞行之中。

然而，关于陀螺运动的研究，或者用更有学术味道的话，叫刚体绕固定点运动的问题，却有一段神奇的历史。

公元1888年，法兰西科学院举行第三次有奖国际征文，悬赏三千法郎，向全世界征集关于刚体绕固定点运动问题的论文。在此之前的几十年内，鉴于该问题的重要性，法兰西科学院曾以同样的奖金进行过两次征文。不少杰出的数学家曾尝试过解答，但都没有能够得到成功。两次征文的奖金，依然原封不动地高搁着。为此，法兰西科学院决定第三次征集论文，这使许多素有盛望的数学家跃跃欲试。可是到了评判那天，评委们全都大为震惊。他们发现有一篇文章在无数平凡之中鹤立鸡群。这是一篇闪烁着智慧光芒的佳作，每一个步骤，每一个结论，都充溢着高人一筹的才华。鉴于它具有特别高的科学价值，评委们破例决定，把奖金从原来的三千法郎提到五千法郎。

评判结束了，打开密封的名字一看，原来获奖的是一位俄罗斯女性，她就是数学王国的巾帼英雄，一位蜚声数坛的女数学家索菲娅。

打开世界的科学史，科学家中的女性屈指可数，女数学家更是寥若晨星。而在二十世纪之前能够载入数学史册的，大约只有柯瓦列夫斯卡娅一个。而她的奋斗经历则是充满着传奇的色彩。

索菲娅生于将军之家，由于叔叔彼得的启蒙，她对数学产了浓厚的兴趣。但她的父亲，一位退休了的军人，带着对女性古老的偏见，反对女儿学习数学。在这种情况下，索菲娅只好躲在自己的房间里偷偷地看数学书。这种神秘的学习气氛，反而增加了索菲娅的好奇心和求知欲，她的进取心更强了，这时她才13岁。翻过一个年头，一本基利托夫的物理书引起了索菲娅的注意，因为基利托夫教授是她的邻居。在翻看教授的著作时，她发现书中利用到许多三角知识，然而三角对于这时的她，却是一个陌生的世界。于是她从画弦开始，自己推导出一系列三角公式，这无疑相当于一个数学分支史的再创造！这一超人的天赋，使基利托夫教授惊鄂了，他仿佛看到了一位新帕斯卡的出现。法国数学家帕斯卡在少年时代曾是世人公认的神童。在基利托夫教授的再三说服下，索菲娅的父亲终于同意她前往外地学习微积分和其他课程。就这样索菲娅得以刻苦学习了两年。正当她渴望能上大学深造的时候，父亲严令将她召回。这位当过将军的父亲怎么也不能理解女儿和数学是不可共容的两个词，况且女儿已经长大成人。

为了继续自己的学业，索菲娅使出了作为姑娘的最为有效的一招。她决定出嫁了，丈夫是一位年轻开明的生物学家。婚后，她与丈夫双双来到彼得堡。可是一到那里，美好的幻影立即破灭，因为当时的俄国大学不招收女生。

世界上的许多事情常常是事与愿违。结婚，既带给索菲娅欢悦，也带给她苦恼。没过多久，索菲娅?柯瓦列夫斯卡娅当了母亲。幼小的生命，繁重的家务，淡化了她对数学的酷爱。一天，小孩屋里没有糊墙的纸，她就用数学家奥斯特洛格拉德斯基的书撕下来裱糊。没想到这到这些散页中的各种符号，重新燃起了柯瓦列夫斯卡娅学习数学的热情。在丈夫的支持下，她一面买了许多数学书日夜攻读，另一面在彼得堡大学非正式跟班旁听。随着学业的进步，她对深造的愿望更加强烈了！

公元1870年，年仅20岁的柯瓦列夫斯卡娅毅然决定前往柏林，那里有一所她所倾慕的学府——柏林大学。但是她不知道，在那个时代，歧视妇女的思想并没有国界，柏林大学拒绝接纳这位外国女生。然而柯瓦列夫斯卡娅并不因此甘休，她找到了在柏林大学任教的著名数学家魏尔斯特拉斯，直接向他陈述自己的请求。这位年近花甲的教授迷惑了，他用怀疑的眼光看了看这个异邦的姑娘，然后向她提出了一个当时相当深奥的椭圆函数问题，这是教授前此一刻思考的。柯瓦列夫斯卡娅当场作了解答。精辟的结论，巧妙的构思，非凡的见解！魏尔斯特拉斯震撼了！教授破例答应收她为私人学生。在名师指点下，柯瓦列夫斯卡娅如虎添翼，迅速地成长着。

公元1873年，柯瓦列夫斯卡娅连续发表了三篇关于偏微分方程的论文。由于论文的创造性和价值，1874年7月，哥廷根大学破例在无须答辩的情况下，授予柯瓦列夫斯卡娅博士学位，那年她才24岁。

1875年，柯瓦列夫斯卡娅满怀热情返回故土，但等待她的确是无限的忧愁。沙皇俄国决定不允许一个女人走上讲台，研究机构也没有女人的位置。就这样，这位俄罗斯的天才儿女，令人惋惜地中断了三年研究。而后又因小女儿的出生再次耽搁了两年。1880年彼得堡召开科学大会，著名数学家车比雪夫请她为大会提供一篇文章。她从箱底翻出一篇六年前没有发表的，关于阿贝尔积分的论文，献给大会。然而这篇放置了六年之久的文章，依旧引起了大会的轰动。

1888年12月，法兰系科学院授予柯瓦列夫斯卡娅波士顿奖，表彰她对于刚体运动的杰出研究。1889年，瑞典科学院也向柯瓦列夫斯卡娅授予了奖。同年11月慑服于这位女数学家的巨大功绩，和以车比雪夫为首的一批数学家的坚决请求，俄国科学院终于放弃了“女人不能当院士”的旧规。年已古稀的车比雪夫激动地给柯瓦列夫斯卡娅大去了如下电报：

“在没有先例地修改了院章之后，我国科学院刚刚选举你做通讯院士。我非常高兴看到，我的最急切和正义的要求之一实现了。”

1891年初，柯瓦列夫斯卡娅在从法国返回斯得哥尔摩途中病倒。由于医生的误诊，无情的病魔夺去了她光彩的生命。此时她年仅42岁。第八章同倍率变化规律我们在数学问题中经常遇到这样的问题，如果甲是乙的n倍，现在甲乙同时变化（增加或者减少），如果甲减少（增加）的量仍旧是乙减少（或增加）量的n倍。例如，乙减少（或增加）A，甲就减少（增加）nA。那么变化后的结果，甲剩下的差仍旧是剩下的n倍。即，如果，那么我们把这种问题叫，同倍率变化问题。例1甲仓库存粮32吨，乙仓库存粮57吨，甲仓库每天存入4吨，乙仓库每天存入9吨，几天之后乙仓库是甲仓库的2倍？解：甲的2倍：32×2=64；乙与甲2倍的差：64-57；甲增加4吨时，乙应增加的吨数：4×2=8；乙多增加：9-8=1；经过的天数：7÷1=7；答：7天后乙仓库的甲乙的2倍。例2盒子里有红、黄两种颜色的小球，其中红球的个数是黄球的3倍。每次从盘子里取出5个黄球，11个红球，取了几次后，黄球正好去完，红球还剩下28个，盒子里原来黄球有多少个？分析如果要保证两种颜色的球都同时正好去完，那么每次取的红球应当是黄球的3倍，那么每次应当取3×5=15（个）。但实际只取了11个，每次少取了15-11=4（个），所以最后等到黄球取完时，红球还剩28个。那么我们就可以算出总共取了28÷4=7（次），最后就可以求出共有黄球：7×5=35（个）解：3×5=15（个）15-11=4（个）28÷4=7（次）7×5=35（个）答：盒子里原来有黄球35个。习题1.有两条绳子，长的是短的3倍，如果从这两根绳子上各减去20米，长的就正好是短的4倍。长绳原来长多少米？2.李兰的课外书是王伟的课外书的本数的6倍，如果二人各拿出2本后，李兰现在的课外书就是王伟的8倍。李兰原有课外书多少本？3.甲仓库里有面粉200吨，乙仓库里有面粉80吨。甲仓库每天运出25吨，乙仓库每天运出15吨，几天后甲仓库剩下的面粉是乙仓库剩下的面粉的3倍？4.苹果园里的苹果树是桃树的3倍，管理员每天给25棵苹果树和15棵桃树喷洒农药，几天后，当桃树喷完农药时，苹果树还有140棵。果园里有苹果树和桃树各多少棵？5.10年前父亲的年龄是女儿的7倍，15年后父亲的年龄是女儿的2倍。今年父亲的年龄多大？6.的分子增加8，要使分数的大小不变，分母应该增加多少？7.甲、乙两人在学校食堂就餐。甲乙的饭票的比为：4：3，甲每天用6元饭票，乙每天用5元饭票，乙用完时，甲还有10元。原来甲乙各有多少饭票？8.张家与李家本月的收入的钱数比是8：5，本月开支的钱数比是8：3.月底张家节余240元，李家节余270元。本月每家各收入多少元？小熊锯木头在一个美丽的大森林里，住着一群可爱的小动物。有一天，小兔蹦蹦跳跳的来到小熊家，发现小熊在帮它的妈妈锯建房子用的木头，它妈妈要求它把这根10米长的木头锯成每段2米的小木头，小兔突然灵机一动问：“熊哥哥，你知道