几种卡尔曼滤波算法理论

自适应卡尔曼滤波卡尔曼滤波发散的原因如果卡尔曼滤波是稳定的，随着滤波的推进，卡尔曼滤波估计的精度应该越来越高，滤波误差方差阵也应趋于稳定值或有界值。但在实际应用中，随着量测值数目的增加，由于估计误差的均值和估计误差协方差可能越来越大，使滤波逐渐失去准确估计的作用，这种现象称为卡尔曼滤波发散。引起滤波器发散的主要原因有两点：描述系统动力学特性的数学模型和噪声估计模型不准确，不能直接真实地反映物理过程，使得模型与获得的量测值不匹配而导致滤波发散。这种由于模型建立过于粗糙或失真所引起的发散称为滤波发散。由于卡尔曼滤波是递推过程，随着滤波步数的增加，舍入误差将逐渐积累。如果计算机字长不够长，这种积累误差很有可能使估计误差方差阵失去非负定性甚至失去对称性，使滤波增益矩阵逐渐失去合适的加权作用而导致发散。这种由于计算舍入误差所引起的发散称为计算发散。针对上述卡尔曼滤波发散的原因，目前已经出现了几种有效抑制滤波发散的方法，常用的有衰减记忆滤波、限定记忆滤波、扩充状态滤波、有限下界滤波、平方根滤波、和自适应滤波等。这些方法本质上都是以牺牲滤波器的最优性为代价来抑制滤波发散，也就是说，多数都是次优滤波方法。自适应滤波在很多实际系统中，系统过程噪声方差矩阵Q和量测误差方差阵R事先是不知道的，有时甚至连状态转移矩阵或量测矩阵H也不能确切建立。如果所建立的模型与实际模型不符可能回引起滤波发散。自适应滤波就是这样一种具有抑制滤波发散作用的滤波方法。在滤波过程中，自适应滤波一方面利用量测值修正预测值，同时也对未知的或不确切的系统模型参数和噪声统计参数进行估计修正。自适应滤波的方法很多，包括贝叶斯法、极大似然法、相关法与协方差匹配法，其中最基本也是最重要的是相关法，而相关法可分为输出相关法和新息相关法。在这里只讨论系统模型参数已知，而噪声统计参数Q和R未知情况下的自适应滤波。由于Q和R等参数最终是通过增益矩阵K影响滤波值的，因此进行自适应滤波时，也可以不去估计Q和R等参数而直接根据量测数据调整K就可以了。输出相关法自适应滤波的基本途径就是根据量测数据估计出输出函数序列，再由推算出最佳增益矩阵K，使得增益矩阵K不断地与实际量测数据相适应。.Sage-Husa自适应卡尔曼滤波是在利用量测数据进行递推滤波时，通过时变噪声估计估值器，实时估计和修正系统噪声和量测噪声的统计特性，从而达到降低系统模型误差、抑制滤波发散提高哦滤波精度的目的。Sage-Husa自适应卡尔曼滤波算法可描述为.其中，、、和由以下时变噪声统计估值器获得：UKF法首先要构造Sigma散点集,设状态向量为n维,为时刻k-1的状态向量估计值,为该时刻状态向量的协方差矩阵,2n+1维的Sigma点集可以表示为:，i=1,2，...，n对应于的一阶二阶权系数为其中，参数决定第i个Sigma点在状态均值周围的扩展空间,是取值区间为[0.0001,1]的常数；为冗余量；为与状态向量的先验分布相关的参数,对高斯分布,=2为最优。由时刻k-1的和来计算Sigma点集，通过非线性函数传播为，由可得状态向量预测值及误差协方差阵同理，利用和按照前面的采样策略来计算Sigma点集，通过非线性量测函数传播为，由可得输出预测值及自协方差阵和互协方差阵在获得新的量测后，进行滤波量测更新中心差分卡尔曼滤波器（CDKF）Ito等人从数值积分的观点出发提出了一种次优高斯滤波器：中心差分滤波器（CentralDifferenceFilter,CDF）。CDF使用多项式插值方法来计算多维积分，其计算简单，易于实现。几乎同时，M.Norgaard等人也使用stirling多项式插值公式来近似计算非线性函数的多维积分，得到了分开差分滤波器（DividedDifferenceFilter，DDF）。武元新等人通过理论分析指出，DDF和CDF都是基于函数拟合的思想来实现的，即都是使用一个函数序列近似被积函数，且函数序列中的每个函数积分都有解析解，此时近似函数的积分就可以看作是对积分的近似。由于DDF和CDF在本质上是一致的，有异曲同工之妙，因此R.V.Merwe等人统一将它们称为中心差分卡尔曼滤波器（CentralDifferenceKalmanFilter,CDKF），并给出了CDKF的滤波递推公式。平方根SPKF算法由于CDKF所采用的多项式插值公式等价于UKF中UT变换对称策略，不同之处仅体现在采样点权值及计算预测协方差的表达式上，故Merwe等人采用一个统一的滤波框架来描述UKF和CDKF,称为Sigma点卡尔曼滤波器（