一元二次方程及其解法(一)直接开平方法-知识讲解(基础)

一元二次方程及其解法（一）直接开平方法—知识讲解（基础）【学习目标】1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；

2．掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；

3．理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想.

【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念

1．一元二次方程的概念：

通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.

2．一元二次方程的一般形式：

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

要点诠释：

(1)只有当时，方程才是一元二次方程；

(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.要点二、一元二次方程的解法

1．直接开方法解一元二次方程：

(1)直接开方法解一元二次方程：

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.

(2)直接开平方法的理论依据：

平方根的定义.

(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：

①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.

若，则；表示为，有两个不等实数根；

若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；

若，则方程无实数根．

②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是

.

要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.

【典型例题】类型一、关于一元二次方程的判定1．判定下列方程是不是一元二次方程:

(1)；(2)．

举一反三：【变式】判断下列各式哪些是一元二次方程．①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定

2.把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数：

(1)-3x2-4x+2=0；(2)．

举一反三：【变式】将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：（1）；（2）．类型三、一元二次方程的解（根）3.如果关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两根分别为x1＝2，x2＝1，那么p，q的值分别是()A．-3，2B．3，-2C．2，-3D．2，3类型四、用直接开平方法解一元二次方程

4.解方程(1)（2015•铜陵县模拟）4（x+3）2=25（x﹣2）2；(2)（2015•祁阳县模拟）(x-2)2-16=0．

举一反三：

【变式1】用直接开平方法求下列各方程的根：

(1)x2=361；(2)2y2-72=0；(3)5a2-1=0；(4)-8m2+36=0．

【变式2】解下列方程：

(1)（2015•东西湖区校级模拟）(2x+3)2-25=0；(2)（2014秋•滨州校级期末）（1﹣2x）2=x2﹣6x+9.

一元二次方程及其解法（一）直接开平方法—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题

1.若是关于x的一元二次方程，则()A．p≠1B．p≠0且p≠1C．p≠0D．p≠0且p≠12．（2015•江岸区校级模拟）如果x=﹣3是一元二次方程ax2=c的一个根，那么该方程的另一个根是（）A．3B．-3C．0D．13．已知m是方程的一个根，则代数式的值等于()A．-1B．0C．1D．24．若，是方程的两根，则的值是()A．8B．4C．2D．05．若为方程式的一根，为方程式的一根，且、都是正数，则之值为何?()A．5B．6C．D．6．已知方程有一个根是-a(a≠0)，则下列代数式的值恒为常数的是()A．abB．C．a+bD．a-b二、填空题7.方程(2x+1)(x-3)＝x2+1化成一般形式为________，二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________．8．（1）关于x的方程是一元二次方程，则m；（2）关于x的方程是一元一次方程，则m.9．下列关于x的方程中是一元二次方程的是________(只填序号)．(1)x2+1＝0；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)(x-2)(x-3)＝5.10．下列哪些数是方程的根?答案：.0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．11．已知关于x的方程x2-4x-p2+2p+2＝0的一个根为p，则p＝________．12．（2014秋•营山县校级月考）若方程（x﹣4）2=a有实数解，则a的取值范围是________．三、解答题13．（2014•济宁）若一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，求的值．14.用直接开平方法解下列方程．(1)；(2)．15．教材或资料会出现这样的题目：把方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．现把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答．(1)下列式子中，有哪几个是方程所化的一元二次方程的一般形式?(答案只写序号)________．①；②；③；④；⑤.(2)方程化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有什么关系?一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（基础）【学习目标】1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力.【要点梳理】

知识点一、一元二次方程的解法---配方法

1．配方法解一元二次方程：

(1)配方法解一元二次方程：

将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.

(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.

(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：

①把原方程化为的形式；

②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.

要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式．

知识点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．

【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程1.（2014•岱岳区校级模拟）用配方法解方程：2x2+3x﹣1=0．

举一反三：

【变式】用配方法解方程.

(1)x2-4x-2=0；(2)x2+6x+8=0.

类型二、配方法在代数中的应用2．若代数式，，则的值（）Ａ．一定是负数 Ｂ．一定是正数 Ｃ．一定不是负数 Ｄ．一定不是正数3．（2014•甘肃模拟）用配方法证明：二次三项式﹣8x2+12x﹣5的值一定小于0．举一反三：【变式】求代数式x2+8x+17的最小值4．已知，求的值．一元二次方程的解法（二）配方法—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题

1.（2015•滨州）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10=0时，下列变形正确的为（）A．（x+3）2=1B．（x﹣3）2=1C．（x+3）2=19D．（x﹣3）2=192．下列各式是完全平方式的是（）A．B．C．D．3．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是（）A．3B．-3C．D．以上都不对4．用配方法将二次三项式a2-4a+5变形，结果是（）A．（a-2）2+1B．（a+2）2-1C．（a+2）2+1D．（a-2）2-15．把方程x2+3=4x配方，得（）A．（x-2）2=7B．（x+2）2=21C．（x-2）2=1D．（x+2）2=26．用配方法解方程x2+4x=10的根为（）A．2±B．-2±C．-2+D．2-二、填空题7．（1）x2+4x+=（x+）2；（2）x2-6x+=（x-）2；（3）x2+8x+=（x+）2.8．若，那么m＝________．9．若是一个完全平方式，则m的值是________．10．求代数式2x2-7x+2的最小值为.11．（2014•资阳二模）当x=时，代数式﹣x2﹣2x有最大值，其最大值为．12．已知a2+b2-10a-6b+34=0，则的值为．三、解答题13.用配方法解方程（1）（2）14.（2014秋•西城区校级期中）已知a2+b2﹣4a+6b+13=0，求a+b的值．15．已知a，b，c是△ABC的三边，且．(1)求a，b，c的值；(2)判断三角形的形状．一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法—知识讲解（基础）【学习目标】1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2.正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3.通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式

一元二次方程，当时，.

2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：．

①当时，原方程有两个不等的实数根；

②当时，原方程有两个相等的实数根；

③当时，原方程没有实数根.

3.用公式法解一元二次方程的步骤

用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：

①把一元二次方程化为一般形式；

②确定a、b、c的值（要注意符号）；

③求出的值；

④若，则利用公式求出原方程的解；

若，则原方程无实根.

要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：.①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：.②当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：.③当时，右端是负数．因此，方程没有实根.

要点二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤

（1）将方程右边化为0；

（2）将方程左边分解为两个一次式的积；

（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；

（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.

2.常用的因式分解法

提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：

（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1.用公式法解下列方程．(1)x2+3x+1=0；(2)；(3)2x2+3x-1=0．举一反三：【变式】用公式法解方程：（2014•武汉模拟）x2﹣3x﹣2=0．2．用公式法解下列方程：(1)（2014•武汉模拟）2x2+x=2；(2)（2014秋•开县期末）3x2﹣6x﹣2=0；（3）（2015•黄陂区校级模拟）x2﹣3x﹣7=0．举一反三：【变式】用公式法解下列方程：；类型二、因式分解法解一元二次方程3．用因式分解法解下列方程：(1)3(x+2)2＝2(x+2)；(2)(2x+3)2-25＝0；（3）x（2x+1）=8x﹣3．4．解下列一元二次方程：(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0；(2)．举一反三：【变式】（1）（x+8）2-5(x+8)+6=0（2）5．探究下表中的奥秘，并完成填空：一元二次方程两个根二次三项式因式分解x2﹣2x+1=0x1=1，x2=1x2﹣2x+1=（x﹣1）（x﹣1）x2﹣3x+2=0x1=1，x2=2x2﹣3x+2=（x﹣1）（x﹣2）3x2+x﹣2=0x1=，x2=﹣13x2+x﹣2=3（x﹣）（x+1）2x2+5x+2=0x1=﹣，x2=﹣22x2+5x+2=2（x+）（x+2）4x2+13x+3=0x1=，x2=4x2+13x+3=4（x+）（x+）将你发现的结论一般化，并写出来．一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题

1．（2014•泗县校级模拟）下列方程适合用因式方程解法解的是（）A．x2﹣3x+2=0B．2x2=x+4C．（x﹣1）（x+2）=72D．x2﹣11x﹣10=02．方程的解是()A．B．C．，D．，3．一元二次方程的解是()A．；B．；C．；D．；4.方程x2-5x-6＝0的两根为()A．6和1B．6和-1C．2和3D．-2和35．方程(x-5)(x-6)＝x-5的解是()A．x＝5B．x＝5或x＝6C．x＝7D．x＝5或x＝76．已知，则的值为()A．2011B．2012C．2013D．2014二、填空题7．（2015•厦门）方程x2+x＝0的解是________；8．方程(x-1)(x+2)(x-3)＝0的根是________．9．请写一个两根分别是1和2的一元二次方程________．10．若方程x2-m＝0的根为整数，则m的值可以是________．(只填符合条件的一个即可)11．已知实数x、y满足，则________．12．已知y＝(x-5)(x+2)．(1)当x为值时，y的值为0；(2)当x为值时，y的值为5.三、解答题13．（2014秋•宝坻区校级期末）解方程（1）2（x﹣3）2=8（直接开平方法）（2）4x2﹣6x﹣3=0（运用公式法）（3）（2x﹣3）2=5（2x﹣3）（运用分解因式法）（4）（x+8）（x+1）=﹣12（运用适当的方法）14.用因式分解法解方程（1）x2-6x-16＝0．（2）(2x+1)2+3(2x+1)+2＝0．15．(1)利用求根公式完成下表：方程的值的符号（填＞0，=0，＜0），的关系（填“相等”“不等”或“不存在”）(2)请观察上表，结合的符号，归纳出一元二次方程的根的情况．(3)利用上面的结论解答下题．当m取什么值时，关于x的一元二次方程(m-2)x2+(2m+1)x+m-2＝0，①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有实数根．一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解（基础）【学习目标】1.会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；2.掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.【要点梳理】知识点一、一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.要点诠释：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况.2.一元二次方程根的判别式的逆用在方程中，（1）方程有两个不相等的实数根﹥0；（2）方程有两个相等的实数根=0；（3）方程没有实数根﹤0.要点诠释：（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；（2）若一元二次方程有两个实数根则≥0.知识点二、一元二次方程的根与系数的关系1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩．(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.设一元二次方程的两根为、，则①当△≥0且时，两根同号．当△≥0且，时，两根同为正数；当△≥0且，时，两根同为负数．②当△＞0且时，两根异号．当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大．要点诠释：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）．【典型例题】类型一、一元二次方程根的判别式的应用1．不解方程，判断下列方程的根的情况：(1)

2x2+3x-4=0(2)ax2+bx=0(a≠0)举一反三：【变式】不解方程，判别方程根的情况：.2．（2015•本溪）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是．举一反三：【变式】m为任意实数，试说明关于x的方程x2-（m-1）x-3（m+3）=0恒有两个不相等的实数根.类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用3．已知方程的一个根是2，求另一个根及k的值．举一反三：【变式】已知方程的一个根是3，求它的另一根及的值．

4．（2015•咸宁）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题

1.下列方程，有实数根的是()A．2x2+x+1＝0B．x2+3x+21＝0C．x2-0.1x-1＝0D．2．一元二次方程有两个不相等的实数根，则满足的条件是（）A．B．C．D．3．（2015•贵港）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，则整数a的最大值为（）A．﹣1B．0C.1D.24．关于方程的两根的说法正确的是（）A.B.C.D.无实数根5．关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有实数解，则k的取值范围是（） A.k≥4 B.k≤4C.k＞4 D.k=46．一元二次方程的两根为、，则的值为（）．A．3B．6C．18D．24二、填空题7．（2015•酒泉）关于x的方程kx2﹣4x﹣=0有实数根，则k的取值范围是．8．已知3x2-2x-1=0的二根为x1，x2，则x1+x2=______，x1x2=______，_______，

x12+x22=_______，x1-x2=________．9．若方程的两根是x1、x2，则代数式的值是。10．设一元二次方程的两根分别为、，以、为根的一元二次方程是________．11．已知一元二次方程x2-6x+5-k=0的根的判别式△=4，则这个方程的根为_______．12．一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数为___．三、解答题13．当k为何值时，关于x的方程x2-(2k-1)x＝-k2+2k+3，(1)有两个不相等的实数根？(2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根?14.已知a，b，c是△ABC的三边长，且方程(a2+b2)x2-2cx+1＝0有两个相等的实数根．请你判断△ABC的形状．15．（2015•大庆）已知实数a，b是方程x2﹣x﹣1=0的两根，求+的值．一元二次方程的应用--知识讲解（基础）【学习目标】1.通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一般步骤；

2.通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.【要点梳理】要点一、列一元二次方程解应用题的一般步骤1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.

2.解决应用题的一般步骤：

审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；

设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；

列(根据题目中的等量关系，列出方程)；

解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）

答(写出答案，切忌答非所问).

要点诠释：列方程解实际问题的三个重要环节：

一是整体地、系统地审题；

二是把握问题中的等量关系；

三是正确求解方程并检验解的合理性.

要点二、一元二次方程应用题的主要类型1.数字问题(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、

千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：

100c+10b+a.

(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.

如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.

几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.

如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.

2.平均变化率问题

列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.

(1)增长率问题：

平均增长率公式为(a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)

(2)降低率问题：

平均降低率公式为(a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)

3.利息问题

(1)概念：

本金：顾客存入银行的钱叫本金.

利息：银行付给顾客的酬金叫利息.

本息和：本金和利息的和叫本息和.

期数：存入银行的时间叫期数.

利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.

(2)公式:

利息=本金×利率×期数

利息税=利息×税率

本金×(1+利率×期数)=本息和

本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时)

4.利润(销售)问题

利润(销售)问题中常用的等量关系：

利润=售价-进价(成本)

总利润=每件的利润×总件数

5.形积问题

此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.要点诠释：列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想.【典型例题】类型一、数字问题1．已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数是多少．举一反三：【变式】有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字少2，求这个两位数.类型二、平均变化率问题2．2010年5月中央召开了新疆工作座谈会，为实现新疆跨越式发展和长治久安，作出了重要战略决策部署．为此我市抓住机遇，加快发展，决定今年投入5亿元用于城市基础设施维护和建设，以后逐年增加，计划到2012年当年用于城市基础设施维护与建设资金达到8.45亿元．(1)求从2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率；(2)若2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率相同，预计我市这三年用于城市基础设施维护和建设资金共多少亿元?举一反三：【变式】某产品原来每件是600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两次降价的百分数相同，求平均每次降价率.类型三、利润（销售）问题3．（2015•乌鲁木齐）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？类型四、形积问题4．（2015•湖北）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？一元二次方程的应用—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．在一幅长80cm、宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是()．A．x2+130x-1400＝0B．x2-65x-350＝0C．x2-130x-1400＝0D．x2+65x-350＝02．为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10m2提高到12.1m2，若每年的年增长率相同，则年增长率为（）A．9%B．10%C．11%D．12%3．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个，设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是()．A．50(1+x)2＝182B．50+50(1+x)+50(1+x)2＝182C．50(1+2x)＝182D．50+50(1+x)+50(1+2x)＝1824．一个矩形的长是宽的3倍，若宽增加3cm，它就变成正方形.则矩形面积是()．A．B．C．D．5．为执行“两免一补”政策，某地区2010年投入教育经费2500万元，预计2012年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为x，则下列方程正确的是()．A．2500(1+x)2＝3600B．2500x2＝3600C．2500(1+x%)＝3600D．2500(1+x)+2500(1+x)2＝36006．（2014•咸宁）用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形，a的值不可能为（） A．20 B． 40 C． 100 D． 120二、填空题7．某商场销售额3月份为16万元，5月份25万元，该商场这两个月销售额的平均增长率是________．8．若两数的和是2，两数的平方和是74，则这两数为________．9．大连某小区准备在每两幢楼房之间开辟面积为300m2的一块长方形绿地，并且长比宽多10m，设长方形绿地的宽为xm，则可列方程为________．10．菱形ABCD的一条对角线长6，AB的长是方程x2-7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为________．11．（2015春•启东市月考）有一人发了某内容的短信，经过两轮发送后共有196人的手机上有了该短信，则每轮发送中平均一个人发送了人．12.小明家为响应节能减排号召，计划用两年时间，将家庭每年人均碳排放量由目前的3125kg降至2000kg(全球人均目标碳排放量)，则小明家未来两年人均碳排放量平均每年需降低的百分率是________．三、解答题13．用长12m的一根铁丝围成长方形．(1)如果长方形的面积为5m2，那么此时长方形的长是多少?宽是多少?如果面积是8m2呢?(2)能否围成面积是10m2的长方形?为什么?(3)能围成的长方形的最大面积是多少?14.从一块长80cm，宽60cm的长方形铁片中间截去一个小长方形，使剩下的长方形四周宽度一样，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半，求这个宽度．15．（2015•珠海）白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014年达到82.8公顷．（1）求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率；（2）若年增长率保持不变，2015年该镇绿地面积能否达到100公顷？《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：

通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

2.一元二次方程的一般式：

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．要点二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程一元一次方程2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解

法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.要点诠释：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：

(1)不解方程判定方程根的情况；

(2)根据参系数的性质确定根的范围；

(3)解与根有关的证明题．

2.一元二次方程根与系数的应用很多：

(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；

(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；

(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．要点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：

一是整体地、系统地审题；

二是把握问题中的等量关系；

三是正确求解方程并检验解的合理性.

2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.

3.解决应用题的一般步骤：

审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；

设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；

列(根据题目中的等量关系，列出方程)；

解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验(检验方程的解能否保证实际问题有意义）；

答(写出答案，切忌答非所问).

4.常见应用题型

数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.

要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A． B．C． D．举一反三：【变式】关于x的方程,当时为一元一次方程；当时为一元二次方程.类型二、一元二次方程的解法2．用适当的方法解一元二次方程(1)0.5x2-=0；(2)(x+a)2=；

(3)2x2-4x-1=0；(4)(1-)x2=(1+)x．

举一反三：【变式】解方程．(1)(3x-2)2+(2-3x)＝0；(2)2(t-1)2+t＝1.类型三、一元二次方程根的判别式的应用3．（2015•荆门）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+5﹣a=0有实数根，则a的取值范围是（） A．a≥1 B． a＞1 C． a≤1 D． a＜1类型四、一元二次方程的根与系数的关系4．已知x1、x2是关于x的方程的两个不相等的实数根，求t的取值范围；（2）设，求s关于t的函数关系式．举一反三：【变式】已知关于x的一元二次方程的两实数根为，．（1）求m的取值范围；（2）设，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．类型五、一元二次方程的应用5．如图所示，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，求所截去的小正方形的边长．举一反三：【变式】（2015春•启东市月考）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在欲砌50m长的墙，砌成一个面积300m2的矩形花园，则BC的长为多少m?6．某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元，空床可全部租出；若每床每晚提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了每晚获得1120元的利润，每床每晚应提高多少元?《一元二次方程》全章复习与巩固—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题

1.已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（）A.1 B.﹣1