2022-2023学年北京顺义区牛栏山一中高三(上)期中数学试卷及答案

2022北京牛栏山一中高三（上）期中数学一、选择题共10小题，每小题4分，共分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．Tx0x2=S=x−2x1S1.已知集合，，则（）()()(−2)(−1,0)1,2A.B.C.D.D.()，b=(4)，c()，则ab)（）a2.设A.()1,4B.2−C.533.下列每组双曲线中渐近线都为y=x是（）3x2x2x2y22y2−−y2=1，y2−=1=1−−=1，−x2=1=3A.C.B.D.33623y2x2x2y2x2y=1，−=1，y2−x2393962y22=1b0)的左焦点，则双曲线的虚轴长为（4.抛物线y2=8x的准线过双曲线x2−）bA.8B.23C.2D.43()=()+()，(+)=()()，()+(+)=．下列fxxf1f2f1x2fxfxfxfπx05.给出三个等式：1212函数中不满足任何一个等式的是（）．()=()=efxxfxxA.C.B.D.()=fxx()=fxtanx()6.已知a和b是两个互相垂直的单位向量，cabR，则=1是c和a夹角为的（）4A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件7.圆C:x=1上的点P到直线+sin=4R)的距离为d，点P和在变化过程中，d2+y2的最小值为（）A.1B.2C.3D.48.在平行四边形ABCD中，E是边CD的中点，AE与交于点F．若AB=a，=b，则AF=（）12331A.a+bB.aC.a+bD.a+b4434433()=fxsin2x图象上存在两点()，()()满足，则下列结论成立的是Ps,tQr,tt0r−s=9.函数6（）61263fs+=fs+=A.B.D.2123fs−=−fs−=−C.662()3C:x2+y2=4x2y2，则下列说法正确的有几个（）10.已知曲线（1）C关于原点对称；（2）C只有两条对称轴；（3）曲线C上点到原点最大距离是1；（4）曲线C所围成图形的总面积小于A.1B.2π；C.3D.4二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．=()tan=______．a=(,sin，b)，若a//b，则()++CD=12.如图，正六边形的边长为1，______．44()=++bsinx−()是奇函数，则有序实数对(a,b)可以是______ab0fxasinx13.若x,xa,()=()=fxt使有两个不同的零点，则的取值范围是______．fx满足存在tRa14.若函数15.已知圆2x,x.x2+y=16和定点P(0)，动点M在圆上，Q为PM中点，O为坐标原点．则下面说法正2确的是______．①点Q②若到原点的最大距离是4；是等腰三角形，则其周长为10；的轨迹是一个圆；③点Qπ④的最大值是．6三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．2()=fx−−(2−2)．3xsinxx16.已知函数（1）求函数()的单调增区间；fx3（2）若()在−,mm−−2)，求值．fxm3上的值域为的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，且有cosAsincosCcossinC=+17.设（1）求角A的大小；（2）从下列条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使条件①：AB边上的高为3；唯一确定，并求的面积．条件②：a条件③：a==x7，b=3；7，sinB=C．218.椭圆:+y2=1．4D(2)两点之间距离d的最大值和最小值；（1）点C是椭圆上任意一点，求点C与点PPAy与轴交于点M，直（2）A和B分别为椭圆的右顶点和上顶点．为椭圆上第三象限点．直线22PNNBxN+．线与轴交于点．求x22y2()，左顶点为D，右焦点为F．=()1a0的焦点在轴上，且经过点xE219.已知椭圆C:+a4（1）求椭圆C的离心率和（2）已知直线的面积；y=+1与椭圆交于A，B两点．过点B作直线y=4的垂线，垂足为G．判断直线CAG是否经过定点?若存在，求出这个定点；若不存在，请说明理由．x()=−+(+)xax2的一个极值点．20.已知x1=是函数fx1+xa（1）求值；（2）判断()的单调性；fx（3）是否存在实数，使得关于的不等式的解集为()直接写出的取值范围．?mxf(x)mma1aaN3（N且NN*）各项均为整数，且满足i−i1=1对任意21.已知有限数列A：，，…，2i=2，3，…，N成立．记S(A)aa2=+++aN．1a=3N=6，求SA()能取到的最大值；（1）若，1（2）若N=2022，求证：S(A)0；（3）若S(A)=100N()使得Nak100．=Na1k（这里A中存在k参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.【答案】C【分析】由并集的定义直接求解.Sx2x1=−T=x0x2，∴S=−2x2.Tx【详解】，故选：C2.【答案】B【详解】根据平面向量数量积坐标运算求解即可.a=2()，b=(3,4)c=(2)，，【点睛】因为()()a+bc=ac+bc=3−4+−9+8=−2所以.故选：B3.【答案】A【分析】依次求出各双曲线的渐近线方程即可求解.x2−y2=1x的焦点在轴上，【详解】因为双曲线33a=3，b1=，其渐近线方程为=yx，3x2且双曲线a=1，b=y2−=1的焦点在y轴上，3，33其渐近线方程为y=x，所以选项A正确；3x2y2−=1的焦点在轴上，x因为双曲线623a=6，b=2，其渐近线方程为y=x，3y2−x2=1的焦点在y=3，b=1，但双曲线轴上，a3x，所以选项B错误；=1的焦点在3其渐近线方程为y=y2x2−y轴上，因为双曲线393a=3，b=3，其渐近线方程为=yx，3x2y2−=1的焦点在轴上，a=3，b=3，x但双曲线39其渐近线方程为y=3x，所以选项C错误；x2y2−=1的焦点在轴上，x因为双曲线623a=6，b=2，其渐近线方程为y=x，3y2−x2=3的焦点在y轴上，a=b=1，但双曲线y=x其渐近线方程为故选：A.，所以选项D错误.4.【答案】Bc【分析】先求出抛物线的准线，从而可得双曲线的，根据a,b,c的关系可得答案.【详解】因为抛物线y=8x的准线为x=2，所以由题意可知双曲线的左焦点为(0)，−2因为1b+2=4，所以b=323.，所以双曲线的虚轴长为故选：B.5.【答案】Dfxx=fx+f(x)即可；【分析】对于A，利用对数的运算法则检验()()1122fx+x=fxfx对于B，利用指数的运算法则检验()()()即可；1212fx+fπ+x=0对于C，利用三角函数诱导公式检验()()即可；对于D，举反例逐一判断三个等式即可.fx=x【详解】对于A，因为()(fxx，所以)==1212f1=+=()+()，故不满足f2A12题意；对于Bf(x)=ex(+)=x+xf1x2exx2=()()，故不满足题意；eefxfx，所以121B12()=fxx()+(+)=+(+)=−=，故C不满足题fxfπxsinxsinπxsinxsinx0对于C，所以意；对于D，因为f(x)=tanx，ππx=,x=0fxx()=tan0fx=()+()=fxtan+tan01=所以令，则，故12121244()()+()；fxf21fxx12πππx=,x=0fx(+)=xtan=fxfx()()=tantan00=令，则，故121212444(+)()()；f1xfxfx212ππ4π()+(+)=fxfπxtan++=1+1=2()+(+)fxfπx令x=，则tanπ，故0；44fx=tanx不满足任何一个等式，故D满足题意.综上：()．故选：D.6.【答案】Aa,的取值，最后【分析】根据向量公式表示出c和a夹角的余弦值，再讨论夹角为时ac4根据充分条件和必要条件定义选出答案.()c=，a=1+)aaaaa2【详解】，a,c=，当=1时，cosa,c，即c和a夹角为,ac+1224=1是ca夹角为的充分不必要条件故和4故选：A7.【答案】Cx20+y0=1，根据点到直线距离公式表达出距离d，利用辅2【分析】设出P点坐标，并利用点在圆上得出助角公式化简d，进而得出d的最小值.【详解】解：由题意，在圆C:x2+y=1中，2圆心C(0)，半径r=1，cos+sin=4R)的距离为d(点P到直线(Px)，设00x20+y0=1，2xcos+ysin−4d=00，2+sin2d=xcos+ysin−4解得：00d=xcos+ysin−4在中，00sincosd=xcos+ysin−4=x20+y02sin+)−4tan==tan，，其中00d=x20+y0()()sin−4=sin−42∴当sin()=1时，d最小，d=1−4=3.故选：C.8.【答案】D【分析】设AF=AE(0)，根据B,F,DAB,表示出关系，即可解出结果.三点共线，即BF,BD共线，可设=，用AE=AD+DE=AD+AB.【详解】2设AF=AE(0)，BF=AF−AB=AD+AB−AB=AD+−1AB则,22B,F,DBF,BD又=−，且三点共线，则共线，R=，即AD+−1AB=AD−AB即，使得，22323==又AB,不共线，则有，解得，−1=−=2AF=AE=AD+AB=AB+AD=a+b.所以，3323333故选：D.9.【答案】B【分析】根据(),()()在()=上,可得出+=+Ps,tQr,tt0fxsin2x2r2s2k,kZ,再根联立r−s=,s得到的值,t0s缩小的取值范围进而代入,fs+,fs−.求值即可666【详解】解:由题知f(x)=sin2x=,T,()均在()=上Qr,tsin2s=sin2r=t0fxsin2x,,T=,644T02r−2s,22r+2s=+2k,kZ2r+2s=+2k故有:,两等式联立有r−s=6解得2s=+k,kZ,3t0,2s=+2k,kZ,11366333fs+=sin2s+=sin2s+=sin=sin++2k=,32fs−=sin2s−=sin2s−+2k−=0,66333综上选项B正确.故选:B10.【答案】C【分析】对于（12(−x,−y,(x,−y),(−x,y),(y,x)即可判断曲线C的对称情况；)对于（3对于（43）中的结论容易判断.3=上，则(−x,−y)也在该曲线上，所以曲4x2y【详解】对于（1(x,y)在曲线(2+y22C:x线C关于原点对称，故（）正确；对于（2(x,−y,−x,y,y,x)也都在该曲线上，所以曲线C)()(y=x对称，故xy关于轴、轴、（2）错误；对于（3(x2+y)3=4xy(x+y)2222222+y212+y1，所以曲线C上点到2，所以x，即x原点最大距离是1，故（3）正确；对于（43）得，曲线C所围成的图形落在圆O:x2+y=1内，且显然是圆内的部分图形，而圆O2=π，所以曲线Cπ所围成图形的总面积小于，故（4）正确；的面积为πr2342）错误，故说法正确的有3个.故选：C.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．【答案】1【分析】利用向量共线的坐标表示和同角三角函数基本关系式进行求解.sincos【详解】由题意，得cos=sin，则tan==1.故答案为：1.12.【答案】-1【分析】由正六边形性质，结合向量线性运算及数量积运算即可=,AD=2【详解】由正六边形性质，，()AB+BC+CD=AD=−DA,=−2160=1.故答案为：-1.()（答案不唯一）13.【答案】ab应该满足【分析】首先根据正弦函数和差角公式将原式化简整理，然后根据奇函数的定义得到参数，的条件，按等式关系选取答案即可.4422220f(x)=asinx++−=++sinx−bsinxasinxxbcosx【详解】已知，222222=(+)absinx+(−)abx，22若()是奇函数，则fxa−b=0即可，可以取a=1，b=1.故答案为：()（答案不唯一）(−)()x,xa,00,114.【答案】()=fx2【分析】画出函数的图象，观察图象即可得到答案.x,xax,xax,xa()=fx2【详解】如图所示，画出函数的图象.a−,0)()(结合图象可知，故答案为：(−,0)().15.【答案】②③④【分析】利用求轨迹方程的方法求出点Q的轨迹，再根据点和圆的位置关系确定点Q到原点的最大距离，3再根据几何关系确定的周长，利用余弦定理结合基本不等式得到即可求出2的最大值.x+20=x2M(x,y),Q(x,y),【详解】设由中点坐标公式得,00y0=y2x=2x−20M(x,y)x在圆0+y=16上,22,所以所以因为0=2y020+y02=16,即2x−2)(2+()2y2=16,即x1(−)2+y2=4,x(−)x12+y2=4,所以点Q的轨迹是一个圆方程为0)为圆心,r=2是以为半径的圆,所以点Q到原点的最大距离是+r=1+2=3,故①错误；因为P(0)，所以OP=OM=4,为等腰三角形，若==2,则此时O,P,MM(4,0),若三点共线，不满足题意，若PM=OM=4,则M15),满足题意，所以的周长等于4+4+2=10，故②正确；(−)x12+y2=4,由以上过程可知Q的轨迹是一个圆,所以③正确；设=，当M(0)=0时，，不是最大角，(0)中，2PM6M不为cos=时，2+2−211212123=+=,88212=,当且仅当所以即=23时取得等号，π，故④正确.6故答案为：②③④.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．12−+k,kk+(Z)16.1）12（2））由诱导公式、二倍角公式和两角差的正弦公式，化简函数()为一个角的三角函数形式，fx然后结合正弦函数的性质求解；2x−m的范围，结合正弦函数的性质可求值．（2）求出3【小问12()f(x)=2cos−x−32x−sin2x=2xsinx−32x=sin2x−32x解：已知1233=2sin2x−cos2x=2sin2x−2−+2k2x−+2k增区间为：232−−+2k6+kx+k121212所以，函数()的单调增区间为−++(Z)fxk,kk.12【小问23，x−,mm−解：已知3−，32m−即，33因为，值域为−2)，2m−=m=.3212π17.1）（2）答案见解析.312A=.）注意到已知等式右边为sinB，可得（2）若选择①，结合（）只能求得.若选择②，结合（1）和正弦定理，可求得sinB.若选择③，结合（1）和正，余弦定理，可求得，c.【小问1由题2sincosA=sincosC+cossinC=sinB，因sinB0.12πA=，因A为三角形内角，所以A=.则3【小问2若选择①，设AB边上的高为=3，h=bsinA，得b=2.因题目条件不足，故无法唯一确定.则abc==若选择②，由正弦定理及（1sinAsinBsinC73332114.因=sinB=3213有sinB，又题目条件不足，故无法判断B为钝角还是锐1422角，则无法唯一确定.abc==，及sinB=C若选择③，由正弦定理，sinAsinBsinC则bc又由余弦定理及（，=1b2+c2−a210c2−71有cosA===，bc6c22得c1，b=3.=1213334=bcsinA=13=.此时唯一确定，22334综上选择③时，唯一确定，此时的面积为221=d，=118.1）d（2）1322281）设(y)，−0，计算得到d，根据二次函数的性质得到Cx,y1=−++3y00033最值.（2）过点P作PG⊥x轴于G，过点P作PH⊥y轴于H，设()，利用相似计算得到答案.Px,y11【小问102设(y)，−0，则Cx,y1+02=1，0042228d=CD=02+(y0−2)2=−3y02−4y+8=−3y++，0033228221y=−0==y=1时，d=1.当时，d，当0333【小问2如图所示：过点P作PG⊥x轴于G，过点P作PH⊥y()，Px,y11轴于H，设2222PMNB12+=+=+1=124219.1）e=；S=2+225（2）直线AG经过定点，理由见详解.2E2)==−2c）由椭圆C经过点，代入椭圆方程求得a28，结合c2a2b，解得的值，进而求得离心率和的面积；（2）由直线y=+1与椭圆C交于A，B两点，则说明斜率存在，所以分k=0，k0，进行讨论找出直线过得点.【小问1x22y2()+=()1a0经过点，E2由题意，椭圆C:a4424+2=1，解得a2=8a=22，可得ax2y2即椭圆C:+=1，84因为c2=a2−b2=8−4=4，即c=2，c22所以椭圆C的离心率为e===，a222又由左顶点为D，右焦点为F，所以D(22,0),F(2,0)，−112()S的面积为=y=2+222=2+2所以E2【小问2y=+1与椭圆由直线所以当k=0时，直线为C交于A，B两点y=1与椭圆交于A，B两点C22xy+=1由84x=6解得：y=1令(−6B(6，此时G(6,4)4−16(6)6k==所以AG−−46所以直线l:y1−=(x+6)452526=x+x=0y=，令即l:y45所以直线AG是经过定点2652同理若(6B(−6，则lAG:y=−x+45x=0y=令25所以直线AG是经过定点2当k0时，由直线y=+1与椭圆C交于A，B两点(x,yB(x,y)设1122y=+122联立方程组xy，+=1842+x2+4−6=0，−6整理得(2k−4kx+x=,xx=12则，122+2k+122k1233(+)xx12x1+2=12xx=所以122k1−41−2设点G(2,4)，所以kAG=1−41−4y−4=(x−2)y=(x−2)+4，AG的方程为12−12−−xy+4x4x−xy1−2y=212+4=121令x=0，可得1−24x−x(+4x−x−x===121=12121−21−23412k?−−(+)xx122k1−23325254x−x−x−xx−x1212125222，==1−21−25所以直线AG经过定点，25综上可得，直线AG经过定点.220.1）a=2（2）函数在()上单调递增，在(+)上单调递减.m(−,ln2（3）存在，）求导得到导函数，根据()=f10计算得到答案.−x(+)1x()=fx（2）求导得到，根据导数的正负得到单调区间.22（3）先证明(1+xx1x)，(+)1+x，计算得到()fx2，且f(x)+2，得到x+1答案.【小问11+1−xx1+x()=fx−x2+(+)1ax，则()=fx−+，(+)1x2xax+21+1−x1a2aa+2x，解得a=2.()=f1−+=−+=01(+)1x2xax+241+1−x12−x，x()=fx−+=(+)1x2x2x+2(+)21xx(0,1)时，f当，函数单调递增；x+)时，f(x)0，函数单调递减.(当故x=1是函数的极大值点，满足.【小问2−x(+)1x()=fx，2x0,1()时，f当当，函数单调递增；x()时，f(x)0，函数单调递减.【小问3(+)−+(+)xx1xx1x1+x()=fx−+(+)+xx12=+2，1+xx+()，易知x1x0，(x+)0，故f(x)2(+)−当.故m2，满足条件.1x+1xx+1x+)时，设g(x)=1+x)−，故g(x)=(x−1=−0，当gxg0=01x，即故()()(+)x，1x+12−1+x2(x+)x+()时，设()=(+)−()=1+xhx，−=hx1x当当当，121+x2−1+x(+)2x1x3()时，()=hx0，函数单调递增；2−1+x(+)2x1x+()时，()=hx0，函数单调递减；故h(x)h3)=4−20(+)1+x.1x，故1xx+11x1+x1+(+)+x+1x2x，()=fx+++222x+1x+1即()可以无限接近fxln2.m−,2.(综上所述：【点睛】本题考查了根据极值点求参数，利用导数求函数的单调区间，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中放缩的思想是解题的关键.21.1）2）证明见详解（3）证明见详解）根据题意结合累加法和等差数列求和运算求解；（2）根据（1）中结论，结合数的奇偶性分b=a−100）令【小问1，根据题意利用反证法证明.iii−i1=1，则i−i1=1或i−i1=−1，∵设m−,i2,...,N−1，即a−a=i1,2iN，ii1ia=(a−a)+(a−a)+...+(a−a)+a=a+(m+m+...+m)，iii1i1i−2211112i1当i2时，则SA=a+a+...+a=a+a+m+a+m+m+...+a+m+m+...+m故()()()(1)12N11111212N1=1N1m+(−)+(−)+