【工程力学】工程力学静力学实例

3232静力学工程实例分析例1屋架如图a所示。A处为固定铰链支座，B处为滚动支座，搁在光滑的水平面上。屋架自重P在ACq。试画出屋架的受力图。解:(1)取屋架为争论对象，除去约束并画出其简图。Pq。(3)画约束反力。因AA，但方向不能确定，可用两个大小未

FAx

F

表示。NB屋架的受力图如图b所示。2图aABDEDBAEKIIIBP(1)试分别画出各B;(2)画出销钉BI;(3)画出杆AB、滑轮I、II、钢绳和重物作为一个系统时的受力图。解:取杆BD为争论对象(B处为没有销钉的孔)由于杆BD为二力杆故在铰链中心DB处分别受F 、DBF 两力的作用，其中F 为销钉给孔B的约束反力，其受力图如图b所示。BD BDAB(BAFA的作用;CFCxFCy表示；B处受有销钉给孔BFBxFByAB1-23c取杆DE为争论对象。其上共有 D、K、C、E四处受力，D处受二力杆给它的约束反力F” (F”DB

=-FDB

);K处受钢绳的拉力FK

，铰链C受到反作用力

F” F”Cx

(F”Cx

=-F ，CxF”=-FCy

);E为固定铰链其约束反力可用两个正交分力F 与FEx Ey

D1-23d所示。I(BF”F”F”F

)外，1 K K K还有销钉B对孔B的约束反力F ,及F 受力图如图1e所示(亦可依据三力平衡汇交定理，确定B1x B1yB取轮II为争论对象，其上受三段钢绳拉力F、F 及F，其中F”=-F

II的受力图如图1 B 2 1 11-23fBDB、ABI都有力作用。二力杆 DB对它的约束反力为

F” (F”BD

=-FBD

F” 、BxF” (F”By

=-FBx

F”By

=-FBy

I给销钉B的约束反力为F”B1x

F”B1y

(F”B1x

B1x、F”

);另外还受到钢绳对销钉BF”F”F

)。其受力图如图g所示。B1y

B1y

B B BB、C、D力，故可不画。系统的外力除主动力P外，还有约束反力F 与F 、F 。其受力图如图h所示。A Ex Ey当取销钉BIBIF”F”F”

外还受到二力杆BD及杆AB在B处对它的约束反力F” 及F”F”。B 1 K其受力图如图i所示。

BD Bx By当取杆AB、滑轮I、IIB)一起为争论对象时，此时可将此系统刚化为一BIAB、钢绳之间的作用与反作用力，都是作用在同一刚体上的成对内力，PFA

、F” 及F 、FBD Cx

KF”。K其受力图如下图。此题较难，是由于销钉B与四个物体连接，销钉B与每个连接物体之间都有作用与反作用关系，故BBB1-23e1-23i。以后凡遇到销钉与三个以上物体连接时，都应留意上述问题。读者DBBABB1-23b1-23c且说明各力之间的作用力与反作用力关系。1例3 图a所示机构的自重不计。圆轮上的销子A放在摇杆BC上的光滑导槽内。圆轮上作用一力偶，其力偶矩为M=21kN·m，OA=r=O.5m。图示位置时OA与OB垂直,α=30°，且系统平衡。求作用于摇杆BC12MO、B21解:MAO1O反力FoFO

FM

1相反，AAFAA

bF

F等值且反向。由力偶平衡条件O1 AM=0，M-FrsinαO1 A解得FMF= 1 (a)A 30BCMFF2-23cF”2 A B AF必组成力偶，由平衡条件B2 M=0,-M+2

F rsinα=0A FFA 2 M =4M2 A B FOFFFA B F =F=F=

M1 =8kN0 B

302-23b、c Mi=01P1

=200kN，F

=300kN，F

=70kNF212R的大小和方向余弦、合力与基线OA的交点到点O的距离x以及合力作用线方程。212R解:先将力系向点OFRMo3-7b3-7a，有ABθ=∠ACB=arctanCB=16.7°主矢F ”在x、y轴上的投影为:RF ”= X=F-FRx 1 2

cosθ=232.9kNF ”=YRy

1

P-P2

sinθ=-670.1kN主矢F ”的大小为((X)2(Y)2F ”=R主矢F ”的方向余弦为RX

=709.4kNcos(FR

”,i)=

=0.3283”F”Rcos(F

Y”,j)=

=-0.9446R F ”R则有∠(F ”,i)=±70.84°R∠(F ”,j)=180°±19.16°R故主矢F 在第四象限内，与x轴的夹角为-70.48°RMo= O(F

)=-3

1

P-3.91

P=-2355kN·m2合力F 的大小和方向与主矢F ”一样。其作用线位置的x值可依据和力矩定理求得图c，即R RMo=Mo(F )=Mo(F )+Mo(F )R Rx Ry其中Mo(F )=0Rx故Mo=Mo(F )=F ·xRy Rx解得3-14P=700kNP

=200kN，1 2l2mAB4mP6m。试问：33P应为多少?33P=180kNA、B解:3要使起重机不翻倒，应使作用在起重机上的全部力满足平衡条件。起重机所受的力有:载荷的重力12P12

,以及轨道的约束反力F F3和A。BM F3和A。BB3P值是所允许的最小值。3

B(F)=0B=0。MB

P(6+2)+2P

P(12-2)=0-21P 1 PP-213min=8(10P

1)=75kNM

2=0A

B(F)=0。在临界1BF1B

=0P值是所允许的最大值。3M3A

P(6-2)-2

P=02PP 13max= 4

=350kN起重机实际工作时不允许处于极限状态，要使起重机不会翻倒，平衡荷重应在这两者之间，即75kN<P<350kN3和AP=180kNF和A3

P

、P3 P2、、B以1及A F F2、、B以1及A MA(F)=0，

3

F·4=0(a)12B--+BY312A=0,-PPPF+F12B--+BY312A(a)解得

14P=F 2=B

2P14

4P3

=870kN代人式(b)得

AF=2lOkNAM2A我们利用多余的不独立方程乏 B(F)=0，来校验以上计算结果是否正确。取2AM3B(F)=0，3

F·4=01求得18P2P=F 3 1=A 4

10P2

=210结果一样，说明计算无误。6aIABBA、BOA=R,AB=l。如M;(2)轴承O;(3)连杆AB;(4)冲头给导轨的侧压力。解:N首先以冲头为争论对象。冲头受冲压阻力F、导轨反力FN受力如图3-17b所示，为一平面汇交力系。设连杆与铅直线间的夹角为α,按图示坐标轴列平衡方程

FB

作用，=O,N

-Fsinα=0 (a)BY=O，F-YB

cosα=0 (b)由式(b)得

FBF=cosBFFB

3-17c)。代入式(a)得Rl2R2F=l2R2NF。N再以轮IIMF以及轴承的A反力F 、FOx

(图3-17d)。按图示坐标轴列平衡方程O

Fcosα·R-M=0 (c)AY F

=0,

F +FOx

sinα=0 (d)=0, +Oy

cosα=0 (e)A

M=FRF =-FOx A

sinα

=-F Rll2R2

F =-FOy

cosα=-FFOx

、F 的方向与图示假设的方向相反。Oy此题也可先取整个系统为争论对象，再取冲头为争论对象，列平衡方程求解。请读者自解，并作比较。例7 齿轮传动机构如图3-19a所示。齿轮I的半径为r,自重P。齿轮II的半径为R=2r，其上固结一1IIIII与IIIP=2P。齿轮压力角为α=20°，被提升的物体C重为P=2OP。2 1 1求:(1)保持物C1M;(2A、B解:先取轮II、III及重物C3-1gbF可沿节圆的切向nFF。列平衡方程r=0F FBx rYY

F By

P=02 M (F)=0,P2B r

-FR=O

Ftanα=rF

,且α=20°解出PF=r

=Ftanα=3.64PR 1 r 1F =F

=3.64P,F =P+P+F=32PBx r

1 By 2 1再取轮I为争论对象，受力如图3-19c所示。列方程

F +FAx

”=0Y=0,FAy1M1

+F”-P=0(F)=0，M-F”r=0A解得F =-FAx r

”=-3.64P，F =P-F”=-9P,1 Ay 1 11M=F”r=10Pr118图aAcBC用铰链CAB用铰链固结于地基，D、EP=60kNP=20kN，其作用线通过点C;12P2

=10kNF=10kN。尺寸如下图。D、EPAB反力。解:P、P、P1 2

F和铰链AB的约束反力F 、FAx Ay

、F 、BxF aByA21X F21

F ByF

P-6

P=o(a)=0,F+

-Ax

=0(b)YY

F +F 2Ay By2

P-2P=0(c)以上三个方程包含四个末知数，欲求得全部解答，必需再补充一个独立的方程。F

、F F和Cx Cy E和

的作用。另外还有重力P和铰链B处的约束反力F 、FBx By

功的作用，如图b所示。于是可列出三个独立的平衡方程。为了削减方程中的未如量数目，承受力矩方程，即 M (F)=0,6FC By

-lOFBx

-4(P+FE

)=O(d)这时又消灭了一个未知数F 。为求得该力的大小，可再考虑吊车梁的平衡。EPP1 2示。为求得F ”可列如下方程E

FD

FE

c M (F)=0,8F

”-4P-2P

=0 (e)

F”=12.5kNE

D E 1 2F ”=77.5kNBy将F 和FBy

的值代入式(d)得F =17.5kNBx

F =7.5kNAx

F =72.5kNAy例9在图aPDC=CE=AC=CB=2lRr,且R=2r=l,θ=45:A、EBD解:应依据与待求量，选取适当的系统为争论对象，并列适当的平衡方程;尽量能使一个方程解出一个未知量。先取整体为争论对象，其受力图如图3-2la所示。列平衡方程。FMFE(F)=0A·X F

52·2l+P2l=0(a)2F=0Y F

cos45°+AF

=0(b)Ex=0 sin45°+A

-P=0(c)Ey由式(a)解得

2528F= (b)、(c)8A13PF =P-Fsin45°=Ey A 8BDDCEDCE3-2lbMCF P F 5P

(F)=0

F ·cos45°·2l+FDB

·l-FEY

·2l (d)2其中 = 2K

Ex=8

;代人上式，得3 2P8F 3 2P8DB210在图aF2

F=20OOND=400mmR=300mm,皮2α和β,α=30°,β=60b)，其它尺寸如下图。求皮带拉力和轴承反力。解:F、F1 2

FF

、F F、Ax Az Bx、和F 。轴受空间任意力系作用，选坐标轴如下图，列出平衡方程:Bz=0，Fsin30°+Fsin60°+F +Y1 2 Y=0，0=0Z=0,-Fcos30°-Fcos60°-F+F +F =01 2 Az BzM (F)x

=0,

Fcos30°×2OO+1

Fcos6O°×2002-F×200+FBz

×400=0M (F)=0，FR-D(F

-F)=0yM(F) F

2 2 1F F=0,z

sin30°×200+1

sin60°×200-2

×400=0Bz又有F=2F2 1联立上述方程，解得F=300ON,F1 2

=600ONF =-1004N,FAx Az

=9397NF =3348N，FBx BzY

=-1799NF F此题中，平衡方程

之下，才能解出上述6个末1如量。例11车床主轴如图aFx=4.25kNFy=6.8kN,主切削力(切F=17kNFFCF=0.36FCz τ r r τR=5Omm1件的半径为r=30mmmm:(1F及F;(2)径向轴承AB;(3)三爪卡盘E在Or解:先取主轴、卡盘、齿轮以及工件系统为争论对象，受力如图a所示，为一空间任意力系。取坐标系Axyz如下图，列平衡方程:=0，Bx

F+F Ax

F=0zY=0，FBy

-Fy=0Z Z FBz

+F+F +F=0r Az zM(F)x

=0，-(488+76)FBz

-76

F+388F=0r zM yM(F)

=0，

FR-

Fr=0zF F F F=0，(488+76)z

-76Bx

-30

+388 =0y x又，按题意有

F=0.36Fr 以上共有七个方程，可解出全部7个未知量，即F=10.2kN,F

=3.67kNF =15.64kN,FAx AzF =-1.19kN,FBx

=-31.87kN=6.8kN,FBz

=11.2kN36FOxFOyFOz、yM 、M 、M，如下图。yx z取坐标轴系Oxyz如图，列平衡方程=0，F -FOx xY=0，F YZZ=0，F

F=0yF=0M(F)x

Oz=0,Mx

z+1OOF=0zM(F)x

=0,M

-30F=0y zM(F)x

=0，Mz

+1OOFx

-30

F=0y求解上述方程，得F =4.25kN,FOx

=6.8kN,FOz

=-17kNM =-1.7kN·m，M =0.51kN·m，M =-0.22kN·mx y z6(4-32)所示的形式。为使解题简36下。：刨床的急回机构如下图。曲柄：刨床的急回机构如下图。曲柄OA的一端A与滑块用铰链连接。当曲柄OA以ω绕固定轴O转动时，滑块在摇杆B上滑动，并带动摇杆B绕固定轴摇摆。设曲柄长OA=r，两轴间距离比O=l。试求：当曲柄在水平位置时摇杆的。解：选取曲柄端点A为动点，把x”y”固定在摇杆B上。A确实定运动是以点O为圆心的圆周运动，确定速度的大小和方向都是的，它的大小等于r，而方向与曲柄OA垂直；是沿B方向的直线运动，的方向是的，即沿B；则是摇杆绕轴的摇摆，是杆B上与点A重合的那一点的速度，它的方向垂直于B，也是的。共计有四个要素。由于的大小和方向都，因此，这是一个速度分解的问题。如下图做出速度平行四边形。由其中的直角三角形可求得又所以设摇杆在此瞬时的为，则其中由此得出此瞬时摇杆的为::例二::...：如下图，半径为R，偏心距为e的凸轮，以匀ωO轴转动，杆AB能在滑槽中上下平移，杆的端点A始终与凸轮接触，且OAB成始终线。试求：在图示位置时，杆AB的速度。解：AB作平移，各点速度一样，因此只要求出其上任一点的速度即可。选取杆AB的端点A为动点，随凸轮一起绕O轴转动。点A确实定运动是直线运动确定速度方向沿AB；是以凸轮中心C为圆心的圆周运动，方向沿凸轮圆周的切线；则是凸轮绕O轴的转动，为凸轮上与杆端A点重合的那一点的速度，它的方向垂直于OA，它的大小为 。依据速度合成定理，己知四个要素，即可做出速度平行四边形，如下图。由三角关系求得杆确实定速度为::例三::...：矿砂从传送带A落到另一传送带B上，如下图。站在地面上观看矿砂下落的速度为 ，方向与铅直线成 角。传送带B水平传动速度 。试求：矿砂相对于传送带B的速度。解：选矿砂M为动点，固定在传送带B上。矿砂相对地面的速度为确定速度；应为上与动点相重合的那一点的速度。可设想为无限大，由于它作平移，各点速度都等于。于是等于动点M的。由速度合成定理知，三种速度形成平行四边形，确定速度必需是对角线，因此做出的速度平行四边形如下图。依据几何关系求得与间的夹角为::例四::...：圆盘半径为R，以绕水平轴CD转动，支承CD的框架又以绕铅直的AB轴转动，如下图。圆盘垂直于CDCD与AB的交点O处。试求：当连线OM在水平位置时，圆盘边缘上的点M确实定速度。解：选点M为动点，与框架固结。M的是以O为圆心，在铅直平面内的圆周运动，垂直于OM，方向朝下，大小为M的为上与动点M相重合的那一点的速度，是绕z轴以转动的上该点的速度，因此速度矢在水平面内，垂直于半径OM。于是垂直。依据点的速度合成定理得式中的β为与铅直线间的夹角。::科氏加速度::...::科氏加速度::...科氏加速度是1832年由科利奥里觉察的，因而命名为科利奥里加速度，简称科氏加速度。科氏加速度在自然现象中是有所表现的。地球绕地轴转动，地球上物略去不计；但是在某些状况下，却必需赐予考虑。例如，在北半球，河水向北流淌时，河水的科氏加速度”向西，即指向左侧，如下图。由动力学可知，有必对右岸有反作用力。北半球的江河，其右岸都受有较明显的冲刷，这是地理学中的一项规律。::例一::...ωO的叶片匀速流淌，如下图。如曲线AB在点C的曲率半径为ρ，通过点C的法线与半径间所夹的角为φ，CO=r。试求：气体微团在点C的。解：取气体微团为动点，固定在工作轮上，固定于地面。因作转动，故气体微团C的为相对、牵连和科氏加速度三项的合成。现分别求这三项加速度。：等于上的点C的加速度。因工作轮匀速转动，故只有向心加速度，即方向如下图。：由于气体微团相对于叶片作匀速曲线运动，故只有，即方向如下图。：由大小为

可确定在图示平面内，并与垂直，指向如下图。它的依据加速度合成定理：将其投影到Ox”Oy”轴，得于是，的大小可按下式求得于是，的大小可按下式求得的方向可由其方向余弦确定。::例二::...：刨床的急回机构如下图。曲柄OA的一端A与滑块用铰链连接。当曲柄OAωO摇摆。设曲柄长OA=r，两轴间距离比O=l。B绕固定轴试求：摇杆B在如下图位置时的角加速度。解：动点和选择同§8-2节例一。由于作转动，因此加速度合成定理为由于 ，欲求摇杆B的角加速度a，只需求出即可。现在分别分析上式中的各项：O大小为A的切向加速度为垂直于A，假设指向如图；为，它的大小为方向如下图。在§8-2节例一中已求得 ，故有：因相对为直线，故沿A，大小未知。：由 知由§8-2于是有方向如下图。为了求得，应将加速度合成定理向x”轴投影：即或解得式中 ，故为负值。负号表示真实方向与图中假设的指向相反。摇杆B的角加速度负号表示与图示方向相反，α的真实转向应为逆时针转向。::例三::...：如下图平面机构中，曲柄OA=r，以匀 转动。套筒A可沿BC杆滑动，BC=DEBD=CE=l。试求：图示位置时，杆BD的和角加速度。解：由于DBCE为平行四边形，因而杆BC作平移。以套筒A为动点，确定速度=r度合成关系如上图所示。由图示几何关系解出

。以杆BC为动系，等于B点速度。其速因而杆BDω方向如图，大小为BC为曲线平移，与B点加速度一样，应分解为和定理，有

两项。由加速度合成其中而和为未知量，暂设和的指向如图以下图。将式〔1〕两端向y轴投影，得解出解得为正，说明所设指向正确。动系平移，点B的加速度等于，因而杆BD的角加速度方向如图，值为::例四::...：如下图凸轮机构中，凸轮以匀ω绕水平O轴转动，带动直杆AB沿铅直线上、下运动，且O，A，B共线。凸轮上与点A接触点为A”，图示瞬时凸轮上的A”的曲率半径为，点A”OA的夹角为θ，OA＝l。试求：该瞬时杆AB的速度和加速度。解：A”作为动点，动系固结在杆AB上，所看到的是不清楚的。因此取杆AB上的点AA的直线运动，是凸轮绕OA沿凸轮轮缘的运动。各速度矢的方向如图上图所示，由点的速度合成定理=