利用直观模型让数学学习化难为易-从数形结合的数字化教学案例谈起

利用直观模型让数学学习化难为易——从数形结合的数字化教学案例谈起摘要：本文对中日韩等小学数学教材中有关数形结合与建模内容进行分析，结合数的认识与计算教学案例阐述如何利用直观模型帮助学生建立数感并理解算理，总结化繁为简的数学思想和教学方法，指出了建模教学中应用信息技术的价值和注意事项。关键词：直观模型；数形结合；小学数学教学；数字化教学二百 八208百一二百 八208百一0<6U数5在小学生的认知结构中，数和形两者紧密联系、互相依赖、互相促进。数形结合可以将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使代数问题几何化或使几何问题代数化，为问题的解决提供简捷、明快的途径。通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含以形助数和以数解形两个方面。利用它，可使复杂问题简单化，抽象问题具体化。希尔伯特在《直观几何》一书中指出，图形可以帮助学生发现、描述研究的问题，寻求解决问题的思路，理解和记忆得到的结果。现代脑科学研究证明，直觉图象能力的大小和右脑对图象的感知能力密切相关。一个对图象感知能力强的人，他的直觉图象能力就强，右脑也就更灵活。哈莫尔说：“右脑的图象思维能力是惊人的，调动右脑思维的积极性是科学思维的关键所在。”因此，在日常教学中，应结合具体内容，有意识地引导学生见数想形、因形思数，使数与形结合，培养学生数形相互转化的意识。综观国内外小学数学教学（中日韩等教材），渗透数形结合思想方法的内容比比皆是。小学数学教科书中涉及的直观模型主要有小棒模型、方块模型、计数器模型、数线模型、点子图、分数墙、方格纸和线段图等。笔者以这些模型的应用为线索，谈如何将信息技术融入小学数学教学。

一、利用直观模型理解数的意义和组成数感是关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感，有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，培养学生的数感是义务教育阶段数学教育的一项重要目标。只有为学生提供充分的可感知的现实背景，才能使学生真正理解数的概念。（-）利用小棒图理解数的组成从日本的教材来看，他们的小学教师是用小棒图帮助学生学习数的组成（如图1）。*本却强w。数字三力、linuilm图1用小棒图学习数的组成

当小棒数量较多时，用实物小棒来演示显然比较麻烦。教师借助交互式电子白板，让学生拖动两大捆小棒表示2个百，再拖动8根小棒表示8个一，合起来就是208。这些内容的教学，如果利用传统的教学手段，虽然也能够推导出结论，但学生兴趣不高。改成课件动态展示进行教学，直观形象，可以让学习过程“看得见”，思考过程“看得见”。（二）用直观模型理解小数的单位学生在“小数的意义”的学习中，体会计数单位的拓展非常重要。在自然数范围内，“1”是最小的计数单位，其他计数单位以“1”为基础，满10个就记作一个新的计数单位，其他计数单位可以看作“1”的“聚集”，体现在数位顺序表中就是以“1”为基准，从右向左依次计数单位越来越大，永远没有最大的计数单位。小数则是以“1”为基础，是对“1”的“分解”，每次都是平均分成10份，产生新的计数单位。在数位顺序表中，仍以“1”为基础，从左向右，计数单位依次越来越小，永远没有最小的计数单位。教学时，教师通过利用多媒体课件动态演示，让学生看到对“1”的“分解”过程，进而直观地看到单位“越分越小”的过程。为了加深学生对知识的理解，教师还通过课件动态演示，展现由1到0.1、0.01、0.001的过程，让学生直观地看到小数是不断分解的过程（如图2）。1 0.1 0.01 0.001图2认识小数的计数单位再反向演示10个0.001是0.01,10个0.01是0.1,10个0.1是1,让学生直观感受相邻单位之间的十进关系，理解小数是十进制计数法向相反方向延伸的结果（如图3）。10.010.001图3体会相邻计数单位之间的关系10.010.001（三）借助数线模型理解小数的“稠密性”为了让学生感受小数的“稠密性”，教师通过课件动态演示，让学生找到0.1、0.01、1.4、1.44等小数在数线上的位置。应用信息技术开展这一课例的教学，其便捷性和直观性是传统教学很难比拟的（如图4）。图4体会小数的“稠密性'（四）借助分数墙理解等值分数分数墙也是一个非常好的直观模型。教师利用分数墙可以帮助学生理解分数单位之间的关系（如图5）。图5中，墙上每块“砖”上的分数，表示这块“砖”的长度；最长的是1,最短的是1/8。如果把相同长度的“砖”涂上相同的颜色，不同长度的“砖”的颜色又各不相同，那么颜色就可以帮助学习者区别“砖”的长短。搭起这堵“数墙”不仅方便，而且美观。上课时，教师可以通过课件演示让学生找到1与万相等的分数，借助模型教学培养学生的单位意识和数感。教师先引导学生观察，由土到土，由土到-1，由』到』分数单位及分数单位的个数是如6 2 8何变化。引导学生发现：1个1=2个土=3个』=41 2 4 6个百。1通过教师的课件演示，学生发现：万是把一个长方形平均分成2份中的1份，奇是把一个长方形平均分成4份中的2份，孑是把一个长方形6平均分成6份中的3份，g是把一个长方形平均8分成8份中的4份。教师利用“分数墙”让学生直观地看到，由土到*，分子、分母同时乘上2,就是每一份再平均分成2小份，所以全部是4小份，分子也就从1份变成了2份。同样的道理，由*到分子、分母同时乘上4,就是每一份再平8均分成4小份，所以全部是8小份，分子也就从1份变成了4份。二、利用直观模型理解算理和算法算理是四则运算的理论依据，它由数学概念、运算定律、运算性质等构成。运算法则是四则运算的基本程序和方法。运算是基于法则进行的，而法则又要满足运算定律。所以，算理为法则提供了理论依据，法则又使算理可操作化。（一）借助方块模型理解三位数加减法算理方块图结构整齐，便于操作，既可以通过学具操作进行自主探究，又可以通过课件演示化静为动。韩国小学数学教材中，就经常出现用小方块模型帮助学生理解三位数减三位数计算算理的例子（如图6）。图6利用方块模型理解算理上述案例中的计算过程，如果用实物模型来展示，学生看不到整个计算过程。如果利用信息技术来展示，就可以使计算过程“留痕”，让学生看到整个计算过程，看到计算结果是怎么来的，真正让学生做到“知其然又知其所以然”。（二）借助分数墙理解一个数除以分数的算理分数除法的难点就是算理的理解。为什么除以一个数等于乘这个数的倒数？教师可利用“分数墙”帮助学生理解“4-号=4x2”。在课件的辅助下，教师分两步引导学生思考。第一步，“一个一个”数，结合课件演示，1数出4里面一共有8个万（如图7）。第二步，“一1组一组”数，1里面有2个万，2里面有4个111—,3里面有6个云，4里面有8个云。一共是“4个2”,列式是4x2（如图8）。生有了直观、可靠的“形”的支撑，为多样化的方法打下良好的基础。在计算14x12的口算时，三年级下册教材呈现了三种常见的方法（如图9）。1411111111111113131313131313131313131314141414141414141414141414141414166161616161616161616161616161616161616161616161一个一个数4小日学校举行队列表演，一共有12行，每行有14人。我用右面的点子图表示队列。120»«»«000000000•••oooooeoooo*教师引导学生得出：4-1.=4x2。2上面的推导过程，通过分数单位的个数，引导学生数形结合，用图形语言刻画运算过程，可帮助学生直观理解四则运算的算理。教师组织学生参与“圈一圈”的活动，“几个几”的图象便跃然纸上，有利于学生表象的建立，使问题的数量关系更易于理解，使抽象的算理具体化。（三）用点子图帮助学生理解小数除以整数的算理“点子图”激发学生尝试和操作的欲望，学oooooooooooo0有多少人参加队列表演？圈一圈，算一算。二|佃6x2oooooooooooooooooooooooooooooooooooo10*10=100io*i[=4010X2=202崩二8I00+40+20+8=168图9借助点子图理解算理14*10=1402=282=16&笔者研读新加坡的教材后发现，该国也是用点子图帮助学生理解算理，例如用其演示7.75-5的计算过程一一直观、形象，很有借鉴价值。教学时，教师也可以通过演示Flash动画，让学生在动态变化中看到计数单位不断分解过程。三、信息技术运用中应注意的问题与常规教学手段相比，运用信息技术辅助教学，能较好地处理好大与小、远与近、动与静、快与慢、整与散、虚与实、局部与整体的关系，为小学数学学科的抽象性和逻辑性与小学生思维的具体形象性之间架起桥梁，有利于提高教学效率。但在应用信息技术方面也出现了不少问题，甚至有些已走入误区。主要表现在以下几个方面。（一）信息技术使用要"有度”以上述的小棒模型、方块模型、数线模型、分数墙为例来讲。一年级，主要通过小棒模型和方块模型帮助学生进行数的认识，刚开始应该让学生动手操作，从而形成几个“十”和几个“一”的表象。在学生形成清晰的表象之后，教师才可以通过课件的演示辅助学生理解数册组成知识。二年级，数线模型刚开始可以通过学生用的尺子来认识数的排列顺序，再逐渐过渡到数线模型。数线模型的应用不仅使抽象的“数”直观形象化，而且也有助于学生理解运算，使运算直观形象化：“加法”就是在数线上继续向右“数”，或者看作是向右平移若干个单位；“减法”就是在数线上先找到“被减数”，然后再向左“数”，或者看作是向左平移若干个单位；“乘法”就是在数线上几个几个地向右“数”，或者把一“线段”拉长几倍；“除法”就是在数线上先找到“被除数”，然后向左几个几个地“数”，如果恰好数到“0”，即“除尽”，数了几次，商就是几。当不能恰好数到“0”，就产生了“余数”。等学生到了四年级学习小数的意义时，教师可以通过课件的直观演示，让学生理解小数是不断“细分”的过程。在三年级初步认识分数时，教师可以让学生制作分数墙。等学生到了五年级，教师可以通过纸质版的分数墙让学生认识真分数、假分数，比较分数的大小，理解分数计算的算理。但当分数单位很小时，纸质版的分数墙就不好用了，这个时候就可以发挥信息技术的优势，通过课件的动态演示来帮助学生理解算理。（二）信息技术使用要“有情”教师是情绪管理者，机器是冰冷的，