2024届北师大万宁附中数学高二上期末学业水平测试模拟试题含解析

2024届北师大万宁附中数学高二上期末学业水平测试模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若圆与圆有且仅有一条公切线，则（）A.－23 B.－3C.－12 D.－132．已知实数x，y满足，则的最大值为（）A. B.C.2 D.13．执行如图所示的程序框图，则输出S的值是（）A. B.C. D.4．若直线与互相平行，且过点，则直线的方程为（）A. B.C. D.5．已知抛物线的焦点坐标是，则抛物线的标准方程为A. B.C. D.6．在空间直角坐标系下，点关于平面的对称点的坐标为（）A. B.C. D.7．已知，，则在上的投影向量为（）A.1 B.C. D.8．已知点到直线的距离为1，则m的值为（）A.或 B.或15C.5或 D.5或159．丹麦数学家琴生（Jensen）是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，在上恒成立，则称函数在上为“凹函数”.则下列函数在上是“凹函数”的是（）A. B.C. D.10．如图，是函数的部分图象，且关于直线对称，则（）A. B.C. D.11．已知正实数x，y满足4x+3y＝4，则的最小值为（）A. B.C. D.12．已知直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1平行于l2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．下列说法中，正确的有_________（填序号）.①“”是“方程表示椭圆”的必要而不充分条件；②若：，则：；③“，”的否定是“，”；④若命题“”为假命题，则命题一定是假命题；⑤是直线：和直线：垂直的充要条件.14．已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且．若，则外接圆面积的最小值为______15．设等差数列，前项和分别为，，若对任意自然数都有，则的值为______.16．若椭圆W：的离心率是，则m=___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知直线l过定点（1）若直线l与直线垂直，求直线l的方程；（2）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程18．（12分）某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，出现故障时需1名工人进行维修，且每台机器是否出现故障是相互独立的，每台机器出现故障的概率为（1）若出现故障的机器台数为X，求X的分布列；（2）已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资，每台机器不出现故障或出现故障时能及时维修，都产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该厂在雇佣维修工人时，要保证在任何时刻多台机器同时出现故障能及时进行维修的概率不小于90%，雇佣几名工人使该厂每月获利最大？19．（12分）浙江省新高考采用“3+3”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，另外考生根据自己实际需要在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门科目中自选3门参加考试．下面是某校高一200名学生在一次检测中的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]，画出频率分布直方图如下图所示（1）求频率分布直方图中的值；（2）由频率分布直方图，求物理、化学、生物三科总分成绩的第60百分位数；（3）若小明决定从“物理、化学、生物、政治、技术”五门学科中选择三门作为自己的选考科目，求小明选中“技术”的概率20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，圆O以原点为圆心，且经过点.（1）求圆O的方程；（2）若直线与圆O交于两点A，B，求弦长.21．（12分）2017年5月27日当今世界围棋排名第一的柯洁在与的人机大战中中盘弃子认输，至此柯洁与的三场比赛全部结束，柯洁三战全负，这次人机大战再次引发全民对围棋的关注，某学校社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了100名学生进行调查，根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图（如图所示），将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”.（1）请根据已知条件完成下面列联表，并据此资料你是否有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关？非围棋迷围棋迷合计男女1055合计（2）为了进一步了解“围棋迷”的围棋水平，从“围棋迷”中按性别分层抽样抽取5名学生组队参加校际交流赛，首轮该校需派两名学生出赛，若从5名学生中随机抽取2人出赛，求2人恰好一男一女的概率.参考数据:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822．（10分）近年来，我国电子商务蓬勃发展.2016年“618”期间，某网购平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统.从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0.6，对服务的满意率为0.75，其中对商品和服务都满意的交易为80次.（1）根据已知条件完成下面的列联表，并回答能否有的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”?对服务满意对服务不满意合计对商品满意80对商品不满意10合计200（2）若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和服务都满意的次数为随机变量，求的分布列和数学期望.临界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.89710.828的观测值：（其中）.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据两圆有且仅有一条公切线，得到两圆内切，从而可求出结果.【详解】因为圆，圆心为，半径为；圆可化为，圆心为，半径，又圆与圆有且仅有一条公切线，所以两圆内切，因此，即，解得.故选：A.2、A【解析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求出的最大值.【详解】作出可行域如图所示，由可知，此直线可用由直线平移得到，求的最大值，即直线的截距最大，当直线过直线的交点时取最大值，即故选：3、C【解析】按照程序框图的流程进行计算.【详解】，故输出S的值为.故选：C4、D【解析】由题意设直线的方程为，然后将点代入直线中，可求出的值，从而可得直线的方程【详解】因为直线与互相平行，所以设直线的方程为，因为直线过点，所以，得，所以直线的方程为，故选：D5、D【解析】根据抛物线的焦点坐标得到2p=4,进而得到方程.【详解】抛物线的焦点坐标是,即p=2,2p=4,故得到方程为.故答案为D.【点睛】这个题目考查了抛物线的标准方程的求法，题目较为简单.6、C【解析】根据空间坐标系中点的对称关系求解【详解】点关于平面的对称点的坐标为，故选：C7、C【解析】根据题意得，进而根据投影向量的概念求解即可.【详解】解：因为，，所以，所以，所以在上的投影向量为故选：C8、D【解析】利用点到直线距离公式即可得出.【详解】解：点到直线的距离为1，解得：m=15或5故选：D.9、B【解析】根据“凹函数”的定义逐项验证即可解出【详解】对A，，当时，，所以A错误；对B，，在上恒成立，所以B正确；对C，，，所以C错误；对D，，，因为，所以D错误故选：B10、C【解析】先根据条件确定为函数的极大值点，得到的值，再根据图像的单调性和导数几何意义得到和的正负即可判断.【详解】根据题意得，为函数部分函数的极大值点，所以，又因为函数在单调递增，由图像可知处切线斜率为锐角，根据导数的几何意义，所以，又因为函数在单调递增，由图像可知处切线斜率为钝角，根据导数的几何意义所以.即.故选：C.11、A【解析】将4x+3y＝4变形为含2x+1和3y+2的等式，即2(2x+1)+(3y+2)＝8，再由换元法、基本不等式换“1”的代换求解即可【详解】由正实数x，y满足4x+3y＝4，可得2(2x+1)+(3y+2)＝8，令a＝2x+1，b＝3y+2，可得2a+b＝8，∴，即，当且仅当时取等号，∴的最小值为.故选：A12、C【解析】利用两直线平行的等价条件求得m，再结合充分必要条件进行判断即可.【详解】由直线l1平行于l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1平行于l2”的充要条件，故选C.【点睛】本题考查两直线平行的条件，准确计算是关键，注意充分必要条件的判断是基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①【解析】根据椭圆方程的结构特征可判断①；注意到分式不等式分母不等于0可判断②；由全称命题的否定可判断③；根据复合命题的真假可判断④；由直线垂直的充要条件可判断⑤.【详解】①中，当时，方程为，表示圆，若方程表示椭圆，则，解得或，故①正确；②中，，故为：，而，故②不正确；③中，“，”的否定应为“，”，故③不正确；④中，若命题“”为假命题，有可能为真或为假，故④不正确；⑤中，，解得或，故是直线：和直线：垂直的充分不必要条件，故⑤不正确.故答案为：①14、【解析】利用二倍角公式求出，即可得到，再利用余弦定理及基本不等式求出的取值范围，再利用正弦定理求出外接圆的半径，即可求出外接圆的面积；【详解】解：因为，所以，解得或（舍去）．又为锐角三角形，所以．因为，当且仅当时等号成立，所以．外接圆的半径，故外接圆面积的最小值为故答案为：15、【解析】由等差数列的性质可得：．再利用已知即可得出【详解】由等差数列的性质可得：对于任意的都有，则故答案为：【点睛】本题考查了等差数列的性质，求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16、或【解析】按照椭圆的焦点在轴和在轴上两种情况分别求解，可得所求结果【详解】①当椭圆的焦点在轴上时，则有，由题意得，解得②当椭圆的焦点在轴上时，则有，由题意得，解得综上可得或故答案为或【点睛】解答本题的关键有两个：一个是注意分类讨论思想方法的运用，注意椭圆焦点所在的位置；二是解题时要分清椭圆方程中各个参数的几何意义，然后再根据离心率的定义求解三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）或【解析】(1)求出直线的斜率可得l的斜率，再借助直线点斜式方程即可得解.(2)按直线l是否过原点分类讨论计算作答.【小问1详解】直线的斜率为，于是得直线l的斜率，则，即，所以直线l的方程是：.【小问2详解】因直线l在两坐标轴上的截距相等，则当直线l过原点时，直线l的方程为：，即，当直线l不过原点时，设其方程为：，则有，解得，此时，直线l的方程为：，所以直线l的方程为：或.18、（1）答案见解析（2）雇佣3名【解析】（1）设出现故障的机器台数为X，由题意知，即可由二项分布求解；（2）设该厂雇佣n名工人，n可取0、1、2、3、4，先求出保证在任何时刻多台机器同时出现故障能及时进行维修的概率不小于90%需要至少3人，再分别计算3人，4人时的获利即可得解.【小问1详解】每台机器运行是否出现故障看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障的概率为，4台机器相当于4次独立试验设出现故障的机器台数为X，则，，，，，，则X的分布列为：X01234P【小问2详解】设该厂雇佣n名工人，n可取0、1、2、3、4，设“在任何时刻多台机器同时出现故障能及时进行维修”的概率为，则：n01234P1∵，∴至少要3名工人，才能保证在任何时刻多台机器同时出现故障时能及时进行维修的概率不小于90%当该厂雇佣3名工人时，设该厂获利为Y万元，则Y的所有可能取值为17，12，，，∴Y的分布列为：Y1712P∴，∴该厂获利的均值为16.9万元当该厂雇佣4名工人时，4台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率为100%，该厂获利的均值为万元∴若该厂要保证在任何时刻多台机器同时出现故障能及时进行维修的概率不小于90%时，雇佣3名工人使该厂每月获利最大19、（1）=0.005（2）232（3）【解析】（1）由频率和为1列方程求解即可，（2）由于前3组的频率和小于0.6，前4组的频率和大于0.6，所以三科总分成绩的第60百分位数在第4组内，设第60百分位数为，则0.45+0.0125×(−220)=0.6，从而可求得结果，（3）利用列举法求解即可【小问1详解】由(0.002+0.0095+0.011+0.0125+0.0075++0.0025)×20=1，解得=0.005【小问2详解】因为(0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.6，(0.002+0.0095+0.011+0.0125)×20=0.7>0.6，所以三科总分成绩的第60百分位数在[220，240)内，设第60百分位数为，则0.45+0.0125×(−220)=0.6，解得=232，即第60百分位数为232【小问3详解】将物理、化学、生物、政治、技术5门学科分别记作．则事件A表示小明选中“技术”，则，所以P(A)=20、（1）（2）【解析】（1）根据两点距离公式即可求半径，进而得圆方程；（2）根据直线与圆的弦长公式即可求解【小问1详解】由，所以圆O的方程为；【小问2详解】由点O到直线的距离为所以弦长21、(1)没有95%把握认为“围棋迷”与性别有关.(2).【解析】（1）由频率分布直方图求得频率与频数，填写列联表，计