2023-2024学年江苏省常州市“教学研究合作联盟”高二上数学期末调研模拟试题含解析

2023-2024学年江苏省常州市“教学研究合作联盟”高二上数学期末调研模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知向量a→=(1，1，k)，A. B.C. D.2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c＝1，B＝45°，cosA＝，则b等于（）A. B.C. D.3．已知F是抛物线x2＝y的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到x轴的距离为（）A. B.C.1 D.4．直线在y轴上的截距为（）A. B.C. D.5．已知数列中，前项和为，且点在直线上，则=A. B.C. D.6．已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，则的最大值为（）A. B.C. D.7．下列命题错误的是（）A，B.命题“”的否定是“”C.设，则“且”是“”的必要不充分条件D.设，则“”是“”的必要不充分条件8．按照小李的阅读速度，他看完《三国演义》需要40个小时.2021年12月20日，他开始阅读《三国演义》，当天他读了20分钟，从第二天开始，他每天阅读此书的时间比前一天增加10分钟，则他恰好读完《三国演义》的日期为（）A.2022年1月8日 B.2022年1月9日C.2022年1月10日 D.2022年1月11日9．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线上.若为钝角三角形，则的取值范围是A. B.C. D.10．对任意实数，在以下命题中，正确的个数有（）①若，则；②若，则；③若，则；④若，则A. B.C. D.11．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记{两次的点数均为奇数}，{两次的点数之和为8}，则（）A. B.C. D.12．若曲线与曲线在公共点处有公共切线，则实数（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知P是椭圆的上顶点，过原点的直线l交C于A，B两点，若的面积为，则l的斜率为____________14．若正四棱柱的底面边长为5，侧棱长为4，则此正四棱柱的体积为______15．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是__________16．已知曲线，则曲线在点处的切线方程为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知圆M的圆心在直线上，且圆心在第一象限，半径为3，圆M被直线截得的弦长为4.（1）求圆M的方程；（2）设P是直线上的动点，证明：以MP为直径的圆必过定点，并求所有定点的坐标.18．（12分）已知三角形的三个顶点是，，（1）求边上的中线所在直线的方程；（2）求边上的高所在直线的方程19．（12分）已知函数.（1）求的单调区间；（2）求在区间上的最值.20．（12分）已知为各项均为正数的等比数列，且，（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列前n项和21．（12分）圆过点A(1，－2)，B(－1，4)，求：（1）周长最小的圆的方程；（2）圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程22．（10分）如图①，直角梯形中，，，点，分别在，上，，，将四边形沿折起，使得点，分别到达点，的位置，如图②，平面平面，.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据向量的坐标运算和向量垂直数量积为0可解.【详解】解：根据题意，易得a→∵与两向量互相垂直，∴0+2+k+2=0，解得.故选：D2、C【解析】先由cosA的值求出，进而求出，用正弦定理求出b的值.【详解】因为cosA＝，所以，所以由正弦定理：，得：.故选：C3、B【解析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出，的中点纵坐标，求出线段的中点到轴的距离【详解】解：抛物线的焦点准线方程，设，，，解得，线段的中点纵坐标为，线段的中点到轴的距离为，故选：B【点睛】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离，属于基础题4、D【解析】将代入直线方程求y值即可.【详解】令，则，得.所以直线在y轴上的截距为.故选：D5、C【解析】点在一次函数上的图象上，，数列为等差数列，其中首项为，公差为，，数列的前项和，，故选C考点：1、等差数列；2、数列求和6、B【解析】不妨设点为第一象限的交点，结合椭圆与双曲线的定义得到，进而结合余弦定理得到，即，令然后结合三角函数即可求出结果.【详解】不妨设点为第一象限的交点，则由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得，所以，因此，即，所以，即，令因此，其中，所以当时，有最大值，最大值为，故选：B.【点睛】一、椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)二、双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)7、C【解析】根据题意，对四个选项一一进行分析，举出例子当时，，即可判断A选项；根据特称命题的否定为全称命题，可判断B选项；根据充分条件和必要条件的定义，即可判断CD选项.【详解】解：对于A，当时，，，故A正确；对于B，根据特称命题的否定为全称命题，得“”的否定是“”，故B正确；对于C，当且时，成立；当时，却不一定有且，如，因此“且”是“”的充分不必要条件，故C错误；对于D，因为当时，有可能等于0，当时，必有，所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确.故选：C.8、B【解析】由等差数列前n项和列不等式求解即可.【详解】由题知，每天的读书时间为等差数列，首项为20，公差为10，记n天读完.则40小时=2400分钟，令，得或（舍去），故，即第21天刚好读完，日期为2022年1月9日.故选：B9、C【解析】根据双曲线的几何性质，结合余弦定理分别讨论当为钝角时的取值范围，根据双曲线的对称性，可以只考虑点在双曲线上第一象限部分即可.【详解】由题：双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，必有，若为钝角三角形，根据双曲线的对称性不妨考虑点在双曲线第一象限部分：当为钝角时，在中，设，有，，即，，所以；当时，所在直线方程，所以，，，根据图象可得要使，点向右上方移动，此时，综上所述：的取值范围是.故选：C【点睛】此题考查双曲线中焦点三角形相关计算，关键在于根据几何意义结合特殊情况分类讨论，体现数形结合思想.10、B【解析】直接利用不等式的基本性质判断.【详解】①因为，则，根据不等式性质得，故正确；②当时，，而，故错误；③因为，所以，即，故正确；④当时，，故错误；故选：B11、B【解析】利用条件概率公式进行求解.【详解】，其中表示：两次点数均为奇数，且两次点数之和为8，共有两种情况，即，故，而，所以，故选：B12、A【解析】设公共点为，根据导数的几何意义可得出关于、的方程组，即可解得实数、的值.【详解】设公共点为，的导数为，曲线在处的切线斜率，的导数为，曲线在处的切线斜率，因为两曲线在公共点处有公共切线，所以，且，，所以，即解得，所以，解得，故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】设出直线AB的方程，联立椭圆方程得到A点横坐标满足，再利用，解方程即可得到答案.【详解】设直线AB的方程为：，，由，得，所以，又所以，解得.故答案为：14、100【解析】根据棱柱体积公式直接可得.【详解】故答案为：10015、【解析】根据投影向量概念求解即可.【详解】因为空间向量，，所以，，所以向量在向量上投影向量为：，故答案为：.16、【解析】利用导数求出切线的斜率即得解.【详解】解：由题得，所以切线的斜率为，所以切线的方程为即.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）证明见解析，定点和.【解析】(1)根据给定条件设出圆心坐标，再结合点到直线距离公式计算作答.(2)设点，求出圆的方程，结合方程求出其定点.【小问1详解】因圆M的圆心在直线上，且圆心在第一象限，设圆心，且，圆心到直线的距离为，又由解得，从而，而，解得，所以圆M的方程为.【小问2详解】由(1)知：，设点，，设动圆上任意一点当与点P，M都不重合时，，有，当与点P，M之一重合时，对应为零向量，也成立，，，，化简得：，由，解得或，所以以MP为直径的圆必过定点和.【点睛】方法点睛：待定系数法求圆的方程，由题设条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式18、（1）；（2）【解析】（1）先求出BC的中点坐标，再利用两点式求出直线的方程；（2）先求出BC边上的高所在直线的斜率，再利用点斜式求出直线的方程.【详解】（1）设线段的中点为因为，，所以的中点，所以边上的中线所在直线的方程为，即（2）因为，，所以边所在直线的斜率，所以边上的高所在直线的斜率为，所以边上的高所在直线的方程为，即【点睛】本题主要考查直线方程的求法，属于基础题.19、（1）在、上是增函数，在上是减函数；（2）在区间，上的最大值为2，最小值为【解析】（1）求导，根据导数和函数的单调性的关系即可求出单调区间；（2）根据（1）可知，函数在，、上为增函数，在上为减函数，求出端点值和极值，比较即可求出最值【小问1详解】根据题意，由于，，得到，，在、上是增函数，当时，在上是减函数；【小问2详解】由（1）可知，函数在，，上为增函数，在上为减函数，，（1），，，在区间，上的最大值为2，最小值为20、（1）（2）【解析】(1)利用基本量法，求出首项和公比，即可求解.(2)利用错位相减法，即可求解.【小问1详解】设等比数列公比为【小问2详解】21、（1）x2＋(y－1)2＝10；（2）(x－3)2＋(y－2)2＝20.【解析】（1）根据当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小进行求解即可；（2）根据垂径定理，通过解方程组求出圆心坐标，进而可以求出圆的方程.【详解】解：（1）当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即AB中点(0，1)为圆心，半径r＝|AB|＝.故圆的方程为x2＋(y－1)2＝10；（2）由于AB的斜率为k＝－3，则AB的垂直平分线的斜率为，AB的垂直平分线的方程是y－1＝x，即x－3y＋3＝0.由解得即圆心坐标是C(3，2)又r＝|AC|＝＝2.所以圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.22、（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据，，，，易证，再根据平面平面，，得到平面，进而得到，再利用线面垂直的判定定理证明平面即可；（2）根据（1）知，，两两垂直，以，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，分别求得平面的一个法向量和平面