高三北师大版数学（理）一轮导学案 12.3 模拟方法-概率的应用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学案62几何概型导学目标：1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.2.了解几何概型的意义．自主梳理1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．在几何概型中，事件A的概率计算公式P(A)＝____________________________________________________________________.求试验中几何概型的概率,关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解．3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点:(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；（2）等可能性:每个结果的发生具有等可能性．4．古典概型与几何概型的区别（1)相同点：基本事件发生的可能性都是________；(2）不同点：古典概型的基本事件是有限个,是可数的；几何概型的基本事件是________，是不可数的．自我检测1．(2011·南阳调研）在长为12cm的线段AB上任取一点M，并且以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于36cm2与A.eq\f(1,4） B.eq\f(1，3） C。eq\f(4,27） D。eq\f(4，15）2．(2011·福建)如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点,若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于(）A.eq\f(1，4） B。eq\f(1，3） C.eq\f（1，2) D.eq\f（2,3）3.如图所示，A是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A′,连接AA′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为()A。eq\f（1，2） B。eq\f（\r(3),2）C。eq\f（1，3) D.eq\f(1，4）4．(2010·湖南)在区间［－1，2]上随机取一个数x,则｜x｜≤1的概率为________．5．(2011·江西)小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于eq\f(1,2）,则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于eq\f(1,4），则去打篮球；否则,在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．探究点一与长度有关的几何概型例1国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30min长的磁带上，从开始30s处起,有10s长的一段内容包含两间谍犯罪的信息．后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了,该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯罪的内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大?变式迁移1在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦,则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________．探究点二与角度有关的几何概型例2（2011·承德模拟)如图所示，在等腰Rt△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM,与线段AB交于点M，求AM〈AC的概率．变式迁移2若将例2题目改为：“在等腰Rt△ACB中，在斜边AB上任取一点M,求AM的长小于AC的长的概率”，答案还一样吗?探究点三与面积有关的几何概型例3两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．变式迁移3甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时,求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．分类讨论与数形结合思想的应用例（12分）已知函数f（x）＝x2－2ax＋b2，a，b∈R。（1)若a从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b从集合{0,1,2｝中任取一个元素，求方程f(x)＝0有两个不相等实根的概率；(2）若a从区间［0，2］中任取一个数，b从区间[0,3］中任取一个数，求方程f(x）＝0没有实根的概率．多角度审题本题第（1)问是古典概型问题，第(2）问是几何概型问题，解决此问题的关键是将已知的两个条件转化为线性约束条件，从而转化成平面区域中的面积型几何概型问题．【答题模板】解(1）∵a取集合｛0,1，2,3}中任一个元素，b取集合｛0，1，2}中任一个元素，∴a，b的取值的情况有（0，0)，（0，1)，(0,2），(1，0)，(1，1），(1,2)，(2，0)，(2，1），(2,2)，(3,0），(3，1)，（3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值，即基本事件总数为12。[3分］设“方程f(x)＝0有两个不相等的实根”为事件A，当a≥0，b≥0时,方程f（x)＝0有两个不相等实根的充要条件为a〉b.当a〉b时，a，b取值的情况有（1，0），（2,0），(2,1)，(3,0)，（3，1)，(3,2），即A包含的基本事件数为6，∴方程f(x）＝0有两个不相等实根的概率为P(A）＝eq\f(6，12）＝eq\f（1，2）。[6分］（2)∵a从区间[0，2］中任取一个数,b从区间［0,3]中任取一个数，则试验的全部结果构成区域Ω＝｛（a,b）｜0≤a≤2，0≤b≤3},这是一个矩形区域，其面积SΩ＝2×3＝6。［8分]设“方程f（x）＝0没有实根”为事件B，则事件B所构成的区域为M＝{(a,b)|0≤a≤2，0≤b≤3，a<b｝，即图中阴影部分的梯形，其面积SM＝6－eq\f（1，2)×2×2＝4.［10分］由几何概型的概率计算公式可得方程f(x)＝0没有实根的概率为P(B)＝eq\f（SM，SΩ）＝eq\f(4，6)＝eq\f（2,3).[12分]【突破思维障碍】1．古典概型和几何概型的区别在于试验的全部结果是否有限，因此到底选用哪一种模型，关键是对试验的确认和分析．2．用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”．【易错点剖析】1．计算古典概型的概率时，列举基本事件应不重不漏．2．计算几何概型的概率时，区域的几何度量要准确无误．1．几何概型：若一个试验具有两个特征:①每次试验的结果是无限多个,且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；②每次试验的各种结果是等可能的．那么这样的试验称为几何概型．2．由概率的几何定义可知，在几何概型中,“等可能”一词应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内的可能性大小仅与该区域的几何度量成正比,而与该区域的位置与形状无关．3．几何概型的概率公式:设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A所对应的区域用A表示(A⊆Ω)，则P(A)＝eq\f(A的度量，Ω的度量）。(满分：75分）一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2009·辽宁）ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为()A。eq\f（π,4) B．1－eq\f（π,4) C.eq\f(π，8） D．1－eq\f（π,8)2．(2011·天津和平区模拟)在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P,则△PBC的面积大于eq\f（S，4)的概率是()A。eq\f（1，4） B.eq\f(1,2） C。eq\f（3,4） D。eq\f（2，3）3．（2010·青岛模拟）如右图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sinx(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分,向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是()A。eq\f(1，π) B。eq\f（2,π) C。eq\f(3,π） D.eq\f（π,4）4．已知函数f(x）＝x2＋bx＋c，其中0≤b≤4，0≤c≤4。记函数f(x）满足eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(f2≤12,f－1≤3)）的事件为A，则事件A的概率为()A.eq\f（5，8) B。eq\f(1，2) C。eq\f(3，8) D.eq\f（1,4）5．(2011·滨州模拟）在区域eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＋y－\r（2）≤0，，x－y＋\r（2）≥0，,y≥0))内任取一点P，则点P落在单位圆x2＋y2＝1内的概率为（）A.eq\f（π,2) B。eq\f（π,8） C.eq\f（π，6） D.eq\f(π，4）二、填空题(每小题4分，共12分）6．(2010·陕西)从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y）,则点M落在阴影部分的概率为________．7．如图所示，半径为10cm的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1cm的小圆．现将半径为1cm8．（2011·济南模拟）在可行域内任取一点，规则如程序框图所示，则能输出数对（x，y)的概率是________．三、解答题（共38分）9．(12分)已知等腰Rt△ABC中，∠C＝90°.（1）在线段BC上任取一点M，求使∠CAM〈30°的概率；（2）在∠CAB内任作射线AM，求使∠CAM<30°的概率．10．（12分）甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．设甲乙两艘轮船停靠泊位的时间分别是4小时和6小时,求有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间的概率．11．(14分）已知函数f(x)＝－x2＋ax－b。(1）若a，b都是从0，1，2，3，4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率；(2)若a，b都是从区间[0,4］任取的一个数，求f(1)〉0成立时的概率．学案62几何概型自主梳理2.eq\f(构成事件A的区域长度面积或体积，试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积)4．（1）相等的(2）无限个自我检测1．A［∵AM2∈[36，81],∴AM∈[6，9］，∴P＝eq\f（9－6，12)＝eq\f(3,12)＝eq\f（1，4）。］2．C[这是一道几何概型的概率问题，点Q取自△ABE内部的概率为eq\f(S△ABE,S矩形ABCD）＝eq\f(\f(1,2）·｜AB｜·｜AD｜,|AB|·｜AD|）＝eq\f(1，2).故选C.］3．C［当∠A′OA＝eq\f（π,3）时，AA′＝OA,∴P＝eq\f(\f(2，3）π，2π)＝eq\f(1，3)。]4。eq\f（2，3）解析由｜x｜≤1，得－1≤x≤1。由几何概型的概率求法知，所求的概率P＝eq\f(区间[－1，1］的长度,区间[－1,2］的长度)＝eq\f（2，3）.5。eq\f(13,16)解析∵去看电影的概率P1＝eq\f（π×12－π×\f（1，2)2，π×12)＝eq\f(3,4),去打篮球的概率P2＝eq\f(π×\f（1,4）2，π×12)＝eq\f(1,16)，∴不在家看书的概率为P＝eq\f（3，4）＋eq\f（1,16)＝eq\f（13，16）.课堂活动区例1解题导引解决概率问题先判断概型，本题属于几何概型，满足两个条件：基本事件的无限性和每个基本事件发生的等可能性，需要抓住它的本质特征，即与长度有关．解包含两个间谍谈话录音的部分在30s和40s之间，当按错键的时刻在这段时间之内时，部分被擦掉,当按错键的时刻在0到30s之间时全部被擦掉，即在0到40s之间，即0到eq\f（2，3)min之间的时间段内按错键时含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉，而0到30min之间的时间段内任一时刻按错键的可能性是相等的，所以按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间段长度有关,符合几何概型的条件．记A＝{按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉｝，A的发生就是在0到eq\f（2,3）min时间段内按错键．P(A）＝eq\f(\f（2，3），30)＝eq\f(1,45).变式迁移1eq\f(1,2）解析记“弦长超过圆内接等边三角形的边长"为事件A，如图所示，不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦,当弦为CD时，就是等边三角形的边长，弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF，由几何概型的概率公式得P（A)＝eq\f（\f(1，2）×2,2)＝eq\f（1,2).例2解题导引如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率公式为P（A)＝eq\f（构成事件A的角度,试验的全部结果所构成区域的角度).解在AB上取AC′＝AC，连接CC′，则∠ACC′＝eq\f(180°－45°,2）＝67.5°。设A＝｛在∠ACB内部作出一条射线CM，与线段AB交于点M，AM<AC｝，则μΩ＝90°，μA＝67.5°，P（A)＝eq\f(μA,μΩ）＝eq\f(67.5°,90°）＝eq\f（3，4）.变式迁移2解不一样，这时M点可取遍AC′（长度与AC相等)上的点，故此事件的概率应为eq\f（AC′长度,AB长度)＝eq\f(\r(2），2）.例3解题导引解决此题的关键是将已知的两个条件转化为线性约束条件，从而转化成平面区域中与面积有关的几何概型问题．对于几何概型的应用题,关键是构造出随机事件A对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率，根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的一点,便可构造出度量区域．解设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人能在约定的时间范围内相见．当且仅当|x－y｜≤eq\f(2，3).两人在约定时间内到达约见地点的所有可能结果可用图中的单位正方形内（包括边界）的点来表示，两人在约定时间内相见的所有可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)的点来表示．因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率,即P＝eq\f（S阴影部分，S单位正方形）＝eq\f(1－\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1，3）)）2,12)＝eq\f(8，9)。变式迁移3解设甲、乙两船到达时间分别为x、y，则0≤x≤24，0≤y≤24且y－x≥4或y－x≤－4.作出区域eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（0≤x≤24,,0≤y≤24，,y－x≥4或y－x≤－4。））设“两船无需等待码头空出”为事件A，则P（A）＝eq\f(S阴影部分,S正方形)＝eq\f（2×\f(1，2）×20×20,24×24)＝eq\f（25,36）。课后练习区1．B[当以O为圆心，1为半径作圆,则圆与长方形的公共区域内的点满足到点O的距离小于或等于1，故所求事件的概率为P(A)＝eq\f（μA,μΩ）＝eq\f(S长方形－S半圆，S长方形)＝1－eq\f(π,4）.］2．C[由于△ABC、△PBC有公共底边BC,所以只需P位于线段BA靠近B的四分之一分点E与A之间，即构成一个几何概型,∴所求的概率为eq\f（｜AE|,｜AB｜)＝eq\f(3,4）.]3．A[S矩形OABC＝2π，S阴影＝eq\i\in（0,π,）sinxdx＝2，由几何概型概率公式得P＝eq\f(2,2π)＝eq\f（1，π).]4．A[满足0≤b≤4,0≤c≤4的区域的面积为4×4＝16，由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（f2≤12,f－1≤3）)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＋c≤8，－b＋c≤2）），其表示的区域如图中阴影部分所示，其面积为eq\f（1，2）×(2＋4）×2＋eq\f（1，2）×2×4＝10，故事件A的概率为eq\f（10,16)＝eq\f（5,8）.]5．D[区域为△ABC内部（含边界），则概率为P＝eq\f（S半圆,S△ABC)＝eq\f(\f(π，2），\f（1,2）×2\r(2）×\r（2))＝eq\f(π，4).］6.eq\f（1，3)解析阴影部分的面积为S＝ʃeq\o\al（1，0）3x2dx＝x3|eq\o\al（1,0）＝1，所以点M落在阴影区域的概率为eq\f(1,3）.7。eq\f(77，81）解析由题意知，硬币的中心应落在距圆心2～9cm的圆环上，圆环的面积为π×92－π×22＝77π，故所求概率为eq\f(77π,81π）＝eq\f（77，81）.8.eq\f（π，4)解析根据题意易知输出数对（x,y)的概率即为满足x2＋y2≤eq\f（1,2)的平面区域与不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（－1≤x＋y≤1,,－1≤x－y≤1))所表示的平面区域面积的比，即P（A）＝eq\f（π×\f（1，2)，2)＝eq\f(π，4）.9．解(1)设CM＝x，则0<x<a(不妨设BC＝a)．若∠CAM〈30°，则0〈x<eq\f(\r(3），3)a，故∠CAM<30°的概率为P(A）＝eq\f（区间\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(0，\f（\r(3）,3）a