高三北师大版数学（理）一轮导学案 13.5 复数2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学案72数系的扩充与复数的引入导学目标:1.理解复数的基本概念.2。理解复数相等的充要条件。3.了解复数的代数表示法及其几何意义。4.会进行复数代数形式的四则运算。5。了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．自主梳理1．数系的扩充数系扩充的脉络是:________→________→________，用集合符号表示为________⊆________⊆________,实际上前者是后者的真子集．2．复数的有关概念(1)复数的概念形如a＋bi（a，b∈R）的数叫复数,其中a，b分别是它的________和________．若________，则a＋bi为实数，若________,则a＋bi为虚数，若________________，则a＋bi为纯虚数．（2）复数相等：a＋bi＝c＋di⇔____________(a,b，c，d∈R)．(3）共轭复数:a＋bi与c＋di共轭⇔____________(a，b,c,d∈R）．(4)复平面建立直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平面．______叫做实轴，______叫做虚轴．实轴上的点表示________；除原点外，虚轴上的点都表示________;各象限内的点都表示____________．复数集C和复平面内________组成的集合是一一对应的,复数集C与复平面内所有以________为起点的向量组成的集合也是一一对应的．(5）复数的模向量eq\o（OZ,\s\up6（→))的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作______或________,即|z｜＝|a＋bi|＝____________。3．复数的运算（1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c,d∈R），则①加法：z1＋z2＝(a＋bi）＋（c＋di)＝______________;②减法：z1－z2＝(a＋bi）－（c＋di)＝________________；③乘法：z1·z2＝（a＋bi)·(c＋di）＝________________；④除法：eq\f(z1,z2）＝eq\f（a＋bi，c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di）＝________________________（c＋di≠0）．（2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C,有z1＋z2＝________，（z1＋z2)＋z3＝______________________。自我检测1．（2011·山东)复数z＝eq\f（2－i,2＋i)（i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为（)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．（2011·广东)设复数z满足(1＋i)z＝2，其中i为虚数单位,则z等于（）A．1＋i B．1－iC．2＋2i D．2－2i3．(2011·大纲全国)复数z＝1＋i，eq\x\to(z）为z的共轭复数，则zeq\x\to(z)－z－1等于（）A．－2i B．－iC．i D．2i4．(2011·重庆)复数eq\f（i2＋i3＋i4,1－i）等于(）A．－eq\f（1,2)－eq\f(1，2)i B．－eq\f（1，2)＋eq\f(1,2）iC。eq\f（1，2）－eq\f(1,2）i D。eq\f(1，2)＋eq\f（1，2）i5．（2011·江苏)设复数z满足i（z＋1)＝－3＋2i（i为虚数单位),则z的实部是________.探究点一复数的基本概念例1设m∈R,复数z＝(2＋i）m2－3（1＋i)m－2（1－i)．（1)若z为实数，则m＝________；（2)若z为纯虚数,则m＝________.变式迁移1已知复数z＝eq\f(a2－7a＋6，a2－1）＋（a2－5a－6)i（a∈R），试求实数a分别取什么值时,z分别为:（1)实数;(2)虚数；（3)纯虚数．探究点二复数的四则运算例2(2010·全国Ⅱ）复数eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（3－i,1＋i)））2等于（）A．－3－4i B．－3＋4i C．3－4i D．3＋4i变式迁移2计算：(1）eq\f（－1＋i2＋i，i3);(2)eq\f(1＋2i2＋31－i，2＋i）；(3）eq\f（1－\r(3）i,\r(3）＋i2).例3（2011·唐山模拟）计算：eq\f(－2\r（3）＋i,1＋2\r(3)i）＋eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(\r（2)，1＋i）))2012＋eq\f(4－8i2－－4＋8i2,\r(11）－\r(7）i）.变式迁移3（1）（2010·四川)i是虚数单位,计算i＋i2＋i3等于()A．－1 B．1 C．－i D．(2)(2010·福建）i是虚数单位，（eq\f(1＋i,1－i))4等于（)A．i B．－i C．1 D．－1(3）i是虚数单位，eq\f(1＋i,1－i2)＋eq\f（1－i，1＋i2）等于（)A．i B．－i C．1 D．－1探究点三复数的点坐标表示例4如图所示，平行四边形OABC，顶点O,A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i,试求：(1）eq\o(AO,\s\up6（→））所表示的复数,eq\o(BC，\s\up6（→）)所表示的复数;(2）对角线eq\o（CA，\s\up6(→））所表示的复数；（3)求B点对应的复数．变式迁移4(2011·江苏苏北四市期末)复数z1＝3＋4i，z2＝0，z3＝c＋(2c－6)i在复平面内对应的点分别为A,B，C，若∠BAC是钝角，则实数c的取值范围为________________eq\a\vs4\al(1。复数a＋bi)eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（实数b＝0，虚数\o(→，\s\up7(b≠0))纯虚数a＝0）)2．乘法法则:（a＋bi)(c＋di）＝(ac－bd)＋(ad＋bc）i；除法法则：eq\f(a＋bi，c＋di）＝eq\f(a＋bic－di,c2＋d2）＝eq\f（ac＋bd,c2＋d2）＋eq\f（bc－ad，c2＋d2)i(c＋di≠0)．特别地：（a±bi）2＝a2±2abi－b2＝a2－b2±2abi，(a＋bi）(a－bi)＝a2＋b2。3．进行复数运算时,熟记以下结果有助于简化运算过程：(1）i4n＝1,i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0（n∈N);(2）（1＋i）2＝2i，(1－i)2＝－2i，eq\f（1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i，1＋i)＝－i.(满分：75分)一、选择题(每小题5分,共25分）1．（2011·江西)若z＝eq\f(1＋2i,i),则复数eq\x\to(z）等于（)A．－2－i B．－2＋iC．2－i D．2＋i2．（2010·北京）在复平面内，复数6＋5i,－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(）A．－4＋8i B．8＋2iC．2＋4i D．4＋i3．（2011·平顶山调研)若θ∈（eq\f（3π,4)，eq\f(5π，4）)，则复数（cosθ＋sinθ）＋（sinθ－cosθ）i在复平面内所对应的点在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限4．(2011·课标全国）复数eq\f(2＋i，1－2i）的共轭复数是(）A．－eq\f(3,5)i B.eq\f(3，5)iC．－i D．i5．下面四个命题：①0比－i大；②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；③x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1；④如果让实数a与ai对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．其中正确命题的个数是（)A．0 B．1 C．2 D．二、填空题(每小题4分，共12分）6．已知z1＝2＋i,z2＝1－3i，则复数eq\f(i＋z2，z1)的虚部为______．7．已知复数z1＝m＋2i，z2＝3－4i，若eq\f（z1，z2)为实数，则实数m＝________。8．(2011·上海九校联考）复数z＝x＋yi(x，y∈R）满足｜z－1｜＝x，则复数z对应的点Z（x，y)的轨迹方程为__________．三、解答题(共38分）9．(12分）已知|z｜－z＝1－2i，求复数z.10．(12分）（2011·上海）已知复数z1满足（z1－2）（1＋i）＝1－i（i为虚数单位）,复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数,求z2。11．(14分）已知m∈R,复数z＝eq\f（mm－2，m－1)＋(m2＋2m－3）i，当m为何值时,(1）z∈R;(2)z是纯虚数；（3)z对应的点位于复平面第二象限；(4)z对应的点在直线x＋y＋3＝0上．学案72数系的扩充与复数的引入自主梳理1．自然数系有理数系实数系NQR2。（1)实部虚部b＝0b≠0a＝0且b≠0（2）a＝c，b＝d（3)a＝c，b＝－d(4)x轴y轴实数纯虚数非纯虚数所有的点原点O(5）|z｜|a＋bi|eq\r（a2＋b2）3．（1)①（a＋c）＋(b＋d)i②(a－c)＋(b－d）i③(ac－bd)＋(ad＋bc）i④eq\f(ac＋bd＋bc－adi，c2＋d2)(2)z2＋z1z1＋(z2＋z3）自我检测1．D［∵z＝eq\f(2－i，2＋i)＝eq\f(2－i2,2＋i2－i）＝eq\f(4－4i－1，5)＝eq\f（3,5)－eq\f(4,5)i，∴复数z对应的点的坐标为(eq\f(3,5)，－eq\f(4，5)），在第四象限．］2．B[方法一设z＝x＋yi,则(1＋i）（x＋yi）＝x－y＋（x＋y)i＝2，故应有eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x－y＝2，,x＋y＝0，)）解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝1，,y＝－1，)）故z＝1－i.方法二z＝eq\f(2,1＋i）＝eq\f（21－i,1＋i1－i)＝1－i。]3．B［∵z＝1＋i，∴eq\x\to（z）＝1－i，∴z·eq\x\to（z）＝｜z｜2＝2，∴z·eq\x\to（z）－z－1＝2－（1＋i)－1＝－i。]4．C[eq\f(i2＋i3＋i4，1－i）＝eq\f（－1－i＋1,1－i)＝eq\f(－i，1－i）＝eq\f(－i1＋i,1－i1＋i）＝eq\f(1－i,2）＝eq\f(1，2)－eq\f(1,2)i。］5．1解析设z＝a＋bi(a、b∈R)，由i(z＋1)＝－3＋2i,得－b＋（a＋1)i＝－3＋2i，∴a＋1＝2，∴a＝1.课堂活动区例1解题导引根据复数z为实数、虚数及纯虚数的概念，利用它们的充要条件可分别求出相应的m值．利用概念解题时,要看准实部与虚部．（1）1或2（2）－eq\f（1，2）解析z＝(2m2－3m－2)＋(m2－3(1)若z为实数，则m2－3m＋2＝0。∴m(2)若z为纯虚数，则eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（2m2－3m－2＝0，，m2－3m＋2≠0，))解得m＝－eq\f（1，2）。变式迁移1解(1)当z为实数时，则有eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a2－5a－6＝0，a2－1≠0）),∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1或a＝6,a≠±1）),∴a＝6,即a＝6时，z为实数．（2)当z为虚数时，则有a2－5a－6≠0且a2∴a≠－1且a≠6且a≠±1。∴a≠±1且a≠6.∴当a∈（－∞，－1）∪（－1，1)∪(1，6）∪(6,＋∞)时，z为虚数．（3）当z为纯虚数时，有eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a2－5a－6≠0,\f（a2－7a＋6,a2－1）＝0，a2－1≠0）),∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a≠－1且a≠6,a＝6，a≠±1））.∴不存在实数a使z为纯虚数．例2解题导引复数的加减运算类似于实数中的多项式的加减运算（合并同类项），复数的乘除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要注意i的幂的性质,区分（a＋bi）2＝a2＋2abi－b2与(a＋b）2＝a2＋2ab＋b2；在除法运算中，关键是“分母实数化"（分子、分母同乘以分母的共轭复数),此时要注意区分(a＋bi）(a－bi）＝a2＋b2与(a＋b)·（a－b）＝a2－b2，防止实数中的相关公式与复数运算混淆，造成计算失误．A[eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（3－i，1＋i）））2＝eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（\f(3－i1－i,2））)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（2－4i,2）))2＝（1－2i）2＝－3－4i.]变式迁移2解(1）eq\f(－1＋i2＋i，i3)＝eq\f(－3＋i,－i）＝－1－3i。（2)eq\f（1＋2i2＋31－i,2＋i）＝eq\f(－3＋4i＋3－3i，2＋i）＝eq\f（i,2＋i)＝eq\f(i2－i,5）＝eq\f(1,5)＋eq\f（2，5）i.（3)eq\f（1－\r（3)i,\r(3)＋i2)＝eq\f（\r(3）＋i－i,\r（3)＋i2)＝eq\f(－i，\r（3）＋i)＝eq\f（－i\r(3）－i,4)＝－eq\f(1,4)－eq\f（\r（3），4）i。例3解题导引注意in（n∈N）的周期性，i4k＋1＝i，i4k＋2＝－1，i4k＋3＝－i，i4k＝1(其中k∈N），以及（1＋i）2＝2i，(1－i）2＝－2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f（1－i，1＋i)＝－i等运算结果在解题中的应用，运算的最后结果化为a＋bi（a，b∈R)的形式．解原式＝eq\f(－2\r(3）＋i1－2\r（3）i，12＋2\r(3）2)＋eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(\f(2,1＋i2）））1006＋eq\f（4－8i2－4－8i2,\r（11）－\r(7）i)＝eq\f（13i,13)＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1，i)））1006＋0＝i＋（－i）1006＝i＋i2＝i－1＝－1＋i。变式迁移3(1)A(2)C(3）D解析（1)i＋i2＋i3＝i＋（－1）＋(－i）＝－1.（2)（eq\f(1＋i,1－i))4＝［（eq\f（1＋i，1－i））2]2＝（eq\f（2i，－2i））2＝1。（3）eq\f(1＋i,1－i2)＋eq\f（1－i,1＋i2）＝eq\f(1＋i，－2i）＋eq\f（1－i，2i)＝eq\f(－1－i＋1－i,2i)＝eq\f（－2i,2i）＝－1。例4解题导引根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的,要求某个向量对应的复数,只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．解(1）∵eq\o（AO,\s\up6（→）)＝－eq\o(OA,\s\up6(→))，∴eq\o(AO，\s\up6（→)）所表示的复数为－3－2i。∵eq\o（BC，\s\up6（→）)＝eq\o（AO,\s\up6(→)），∴eq\o（BC，\s\up6（→））所表示的复数为－3－2i。(2）∵eq\o（CA,\s\up6(→)）＝eq\o(OA,\s\up6(→））－eq\o（OC,\s\up6(→))，∴eq\o(CA，\s\up6（→））所表示的复数为（3＋2i)－（－2＋4i）＝5－2i.（3）∵eq\o（OB,\s\up6(→）)＝eq\o（OA，\s\up6(→））＋eq\o（AB,\s\up6（→）)＝eq\o（OA,\s\up6(→）)＋eq\o(OC，\s\up6(→）），∴eq\o（OB,\s\up6（→)）表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i）＝1＋6i，即B点对应的复数为1＋6i.变式迁移4c>eq\f（49,11）且c≠9解析在复平面内三点坐标分别为A（3，4），B（0，0），C（c，2c－6）,由∠BAC是钝角得eq\o（AB,\s\up6(→））·eq\o(AC,\s\up6(→））〈0且B、A、C不共线，由（－3，－4)·（c－3，2c－10)<0，解得c>eq\f（49,11)，其中当c＝9时，eq\o(AC,\s\up6(→））＝(6，8)＝－2eq\o（AB,\s\up6（→)),三点共线，故c≠9.课后练习区1．D［∵z＝eq\f（1＋2i,i）＝eq\f（1＋2ii,－1）＝2－i，∴eq\x\to（z）＝2＋i.]2．C［复数6＋5i对应A点的坐标为（6,5)，－2＋3i对应B点的坐标为（－2，3)．由中点坐标公式知C点坐标为(2,4)，∴点C对应的复数为2＋4i。]3．B[由三角函数线知识得当θ∈（eq\f(3π，4)，eq\f（5π，4)）时，sinθ＋cosθ<0,sinθ－cosθ〉0,故选B.］4．C[方法一∵eq\f（2＋i，1－2i）＝eq\f(2＋i1＋2i，1－2i1＋2i）＝eq\f(2＋i＋4i－2,5）＝i，∴eq\f（2＋i,1－2i）的共轭复数为－i。方法二∵eq\f（2＋i，1－2i）＝eq\f(－2i2＋i,1－2i)＝eq\f(i1－2i，1－2i)＝i。∴eq\f（2＋i,1－2i）的共轭复数为－i。]5．A［(1）中实数与虚数不能比较大小；(2）两个复数互为共轭复数时其和为实数，但两个复数的和为实数时这两个复数不一定是共轭复数；(3)x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1是错误的，因为没有标明x，y是否是实数；(4）当a＝0时,没有纯虚数和它对应．]6．－1解析eq\f（i＋z2，z1)＝eq\f（i＋1－3i,2＋i)＝eq\f（1－2i2－i,5）＝－i，故虚部为－1。7．－eq\f(3，2)解析eq\f(z