高三北师大版数学（理）一轮复习小题专项集训（11）不等式 含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精小题专项集训（十一)不等式（时间:40分钟满分：75分)一、选择题（每小题5分,共50分）1．“a＋c＞b＋d"是“a＞b且c＞d”的（）．A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析“a＋c＞b＋d"/⇒“a＞b且c＞d”,∴“充分性不成立"，“a＞b且c＞d"⇒“a＋c＞b＋d"．∴必要性成立．答案A2．不等式eq\f（x＋5，x－12）≥2的解集是（)．A。eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(－3，\f（1，2))）B.eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(－\f(1,2),3)）C.eq\b\lc\［\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,2），1）)∪（1，3］D。eq\b\lc\［\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(1，2）,1)）∪(1，3］解析首先x≠1，在这个条件下根据不等式的性质，原不等式可以化为x＋5≥2(x－1)2，即2x2－5x－3≤0，即(2x＋1)·(x－3）≤0，解得－eq\f（1，2)≤x≤3，故原不等式的解集是eq\b\lc\［\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)）∪（1，3]．答案D3．设a，b，c是互不相等的正数,则下列不等式中不恒成立的是 （）．A．|a－b｜≤｜a－c｜＋|b－c|B．a2＋eq\f(1,a2)≥a＋eq\f（1,a)C．｜a－b｜＋eq\f(1，a－b）≥2D.eq\r(a＋3）－eq\r(a＋1）≤eq\r（a＋2)－eq\r（a)解析本题考查了不等式的性质及不等式的证明．∵｜a－b｜＝|（a－c）＋（c－b)|≤｜a－c|＋|b－c｜，∴｜a－b|≤｜a－c｜＋|b－c｜恒成立；∵a2＋eq\f(1，a2）－eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f（1,a))）＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（a＋\f(1,a）－2)）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（a＋\f（1，a)＋1)）≥0，∴a2＋eq\f（1,a2)≥a＋eq\f（1，a）恒成立；∵当a>b时,有｜a－b｜＋eq\f(1，a－b)≥2成立;当a≤b时，|a－b｜＋eq\f(1，a－b）≥2不一定成立，故应选C.可以证明不等式eq\r（a＋3)－eq\r(a＋1)≤eq\r(a＋2)－eq\r(a）也恒成立．答案C4．（2013·济宁模拟）设函数f（x）＝xm＋ax的导函数f′(x）＝2x＋1，则不等式f(－x）〈6的解集是 (）．A．{x｜－2〈x〈3} B．{x｜－3〈x〈2}C．｛x|x〉3，或x〈－2} D．{x｜x〉2,或x<－3｝解析由于f(x）＝xm＋ax的导函数f′（x)＝2x＋1，所以f(x)＝x2＋x，于是f(－x)〈6，即x2－x－6<0,解得－2〈x〈3。答案A5．若变量x,y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤1,,x＋y≥0,,x－y－2≤0，）)则z＝x－2y的最大值是()．A．4 B．3 C．2 D．1解析如图,画出约束条件表示的可行域，当直线z＝x－2y经过x＋y＝0与x－y－2＝0的交点A（1，－1）时，z取到最大值3,故选B。答案B6．不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为 (）．A．[－1,4] B．（－∞,－2］∪[5,＋∞）C．（－∞，－1]∪[4,＋∞) D．[－2,5]解析因为x2－2x＋5＝(x－1）2＋4的最小值为4，所以要使x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4,解得－1≤a≤4，故选A.答案A7．设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是 （）．A．6 B．4eq\r（2) C．2eq\r(6) D．8解析2a＋2b≥2eq\r（2a＋b)＝4eq\r（2)，当且仅当2a＝2b，即a＝b时等号成立．故选B。答案B8．若a≥0，b≥0，且当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x≥0，,y≥0，，x＋y≤1））时，恒有ax＋by≤1，则以a，b为坐标的点P（a，b)所形成的平面区域的面积是 （)．A。eq\f(1,2) B。eq\f(π，4) C．1 D。eq\f(π，2）解析由题意可得，当x＝0时,by≤1恒成立,b＝0时，by≤1显然恒成立；b≠0时，可得y≤eq\f（1,b)恒成立，解得0〈b≤1，所以0≤b≤1；同理可得0≤a≤1。所以点P(a，b）确定的平面区域是一个边长为1的正方形，故面积为1。答案C9．在“家电下乡”活动中,某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元,可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为 ()．A．2000元 B．2200元C．2400元 D．2800元解析设需用甲型货车x辆,乙型货车y辆，由题目条件可得约束条件为eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(20x＋10y≥100，，0≤x≤4，,0≤y≤8,)）目标函数z＝400x＋300y，画图可知,当平移直线400x＋300y＝0过点(4,2）时，z取得最小值2200，故选B。答案B10．设x，y满足约束条件eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（3x－y－6≤0，,x－y＋2≥0，,x≥0，y≥0，))若目标函数z＝ax＋by（a>0,b〉0)的最大值为12，则ab的最大值为 （）．A．1 B。eq\f（1,2） C。eq\f(3，2) D．2解析不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（3x－y－6≤0,,x－y＋2≥0,,x≥0，y≥0）)所表示的可行域如图所示，当平行直线系ax＋by＝z过点A（4,6)时,目标函数z＝ax＋by(a>0,b〉0）取得最大值，z最大值＝4a＋6b＝12，∵4a＋6b＝12≥2eq\r（4a×6b），∴ab≤eq\f(3,2)。答案C二、填空题(每小题5分，共25分)11．若关于x的不等式m（x－1)>x2－x的解集为｛x|1〈x〈2｝，则实数m的值为________．解析由不等式的解集知1,2是方程m（x－1)＝x2－x的根,将2代入可得m＝2。答案212．若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．解析因为正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，所以由基本不等式得xy≥2eq\r（2)·eq\r(xy)＋6（当且仅当x＝3，y＝6时等号成立）,令eq\r(xy)＝t，得不等式t2－2eq\r（2）t－6≥0，解得t≤－eq\r(2)（舍去）或t≥3eq\r（2)，故xy的最小值为18.答案1813．已知－1〈x＋y〈4且2<x－y<3，则z＝2x－3y的取值范围是________．（答案用区间表示）解析根据已知条件画出可行域(如下图所示）．平移直线3y－2x＝0,当经过A点时，z＝2x－3y取得最大值；当平移到C点时，z＝2x－3y取得最小值，A点坐标满足方程组eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝3，,x＋y＝－1，））解得A(1,－2）．C点坐标满足方程组eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x－y＝2，,x＋y＝4，)）解得C(3，1)，代入直线z＝2x－3y中求得z的最大值为8，最小值为3，所以取值范围为(3,8）．答案（3,8)14．设常数a>0,若对任意正实数x，y不等式（x＋y）·eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1,x）＋\f(a，y）)）≥9恒成立，则a的最小值为________．解析(x＋y）eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，x)＋\f（a，y)))＝1＋a＋eq\f（y,x)＋eq\f（ax，y）≥1＋a＋2eq\r（a）＝(eq\r(a）＋1）2,当且仅当y＝eq\r(a）x时取等号．所以（x＋y）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，x）＋\f（a，y)))的最小值为（eq\r(a)＋1)2，于是（eq\r(a）＋1)2≥9,所以a≥4,故a的最小值为4.