人大四版微积分第5章不定积分

第五章不定积分§5.1、不定积分的概念§5.2、不定积分的性质§5.3、基本积分公式§5.4、换元积分法§5.5、分部积分法§5.6、综合杂例§5.1不定积分的概念一、原函数二、不定积分的概念三、不定积分的几何意义一、原函数例定义5.1原函数存在定理：简言之：连续函数一定有原函数.问题：(1)原函数是否唯一？例（为任意常数）(2)若不唯一它们之间有什么联系？定理关于原函数的说明：（1）若，则对于任意常数，（2）若和都是的原函数则（为任意常数）证（为任意常数）任意常数积分号被积函数不定积分的定义：被积表达式积分变量定义5.2原函数二、不定积分的概念三、不定积分的几何意义显然，求不定积分得到一积分曲线族,横坐标处,任一曲线的切线有相同的斜率.0xy在同一性质1

求不定积分与求导数（或微分）互为逆运算

§5.2不定积分的性质§5.3基本积分公式利用积分性质和基本积分公式能计算的不定积分是非常有限的．因此，有必要进一步研究其它的积分法则，本节把复合函数的求导法则反过来用于不定积分，而得到一种基本的积分法，称为换元积分法．利用这种方法通过适当的变量代换，可以把某些不定积分化为积分公式表中所列的积分，从而达到计算的目的.换元积分法有两种类型，下面分别进行介绍．§5.4不定积分的换元积分法特征：第一类换元公式（凑微分法）可导,则有设具有原函数,第一类换元积分法？例1.求不定积分解：例2.求不定积分解：例3.求不定积分解：例4.求不定积分解：因为类似，原式=由

类似，第二换元积分法有根式解决方法消去根式,困难即则回代根据被积函数f(x)形式，选择不同的变量代换，如：第二种换元积分法

1.根式换元法当被积函数中含简单根式例题：2.三角换元法一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令例4.求下列积分解令辅助三角形

回代例5.求不定积分例6.求不定积分复习上节推导的8个常用的积分公式新课引入（A)一.求下列不定积分：解：（公式法）（凑微分法）(公式法与凑微分法都不能直接运用)§5.5分部积分法析：转化新课讲授一.分部积分公式：二.关键：恰当选取u和确定v.如何选取u:(反对幂三指)根据反对幂三指法，f(x)与g(x)谁排前面就选谁为u.使用分部积分公式，若选f(x)=u,则v≠g(x)注：而v'=g(x).例题与练习(A)例1.求下列不定积分解：解：解：例题与练习(A)练习1.求下列不定积分解：常用解题技巧(Ⅰ)多次使用分部积分法则解：(B)练习.求(B)例5.常用解题技巧(Ⅱ)还原法(C)例6.解：(C)练习：Ⅲ与换元法相结合(C)练习.求不定积分解：常用解题技巧(C)§5.6综合杂例

一、有理函数的不定积分二、分段函数的原函数三、其它例子多项式函数:有理函数:时,为假分式;时,为真分式有理函数相除多项式+真分式例如：一、有理函数的积分例如：解：例1.求不定积分解：例2.求不定积分有理函数多项式+真分式任一有理真分式在在实数域内，均可唯一分解成下面四种部分分式之和：分解若这四种部分分式的积分可以解决，有理函数积分就解决了.若有理真分式分母中含有因式那么分式中含有若有理真分式分母中含有因式那么分式中含有说明

通常所说的“求不定积分”，是指怎样用初等函数把这个不定积分（或原函数）表示出来，在这种意义下，并不是任何初等函数的不定积分都能“求出”来的.如换句话说,这些不定积分的结果已不再是初等函数,数学上讲，“初等函数集合对不定积分运算不封闭”.二、分段函数