北京市2022-2023学年上学期高一期末数学试题汇编-05集合的基本运算（含解析）

第第页北京市2022-2023学年上学期高一期末数学试题汇编-05集合的基本运算（含解析）北京市2022-2023学年上学期高一期末数学试题汇编-05集合的基本运算

一、单选题

1．（2023秋·北京平谷·高一统考期末）已知集合，集合．则集合（）

A．B．

C．D．

2．（2023秋·北京顺义·高一统考期末）已知集合，，则（）

A．B．C．D．

3．（2023秋·北京昌平·高一统考期末）已知集合都是的子集，中都至少含有两个元素，且满足：

①对于任意，若，则；

②对于任意，若，则.

若中含有4个元素，则中含有元素的个数是（）

A．5B．6C．7D．8

4．（2023秋·北京丰台·高一统考期末）已知集合，，则（）

A．B．C．D．

5．（2023秋·北京·高一北京师大附中校考期末）已知集合，若（）

A．B．

C．D．

6．（2023秋·北京东城·高一统考期末）已知集合，则（）

A．B．C．D．

7．（2023秋·北京怀柔·高一统考期末）已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为（）

A．B．C．D．

8．（2023秋·北京大兴·高一统考期末）若集合，则下列结论正确的是（）

A．B．C．D．

9．（2023秋·北京·高一校考期末）已知集合，，则（）

A．B．

C．D．

二、解答题

10．（2023春·北京密云·高一统考期末）已知集合（且），，且．若对任意，当时，存在，使得，则称是的元完美子集．

(1)判断下列集合是否是的3元完美子集，并说明理由；

①；

②．

(2)若是的3元完美子集，求的最小值．

11．（2023春·北京朝阳·高一统考期末）设，已知由自然数组成的集合，集合，，…，是的互不相同的非空子集，定义数表：

，其中，设，令是，，…，中的最大值．

(1)若，，且，求，，及；

(2)若，集合，，…，中的元素个数均相同，若，求的最小值；

(3)若，，集合，，…，中的元素个数均为3，且，求证：的最小值为3．

12．（2023秋·北京平谷·高一统考期末）设A是正整数集的非空子集，称集合，且为集合A的生成集．

(1)当时，写出集合A的生成集B；

(2)若A是由5个正整数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；

(3)判断是否存在4个正整数构成的集合A，使其生成集，并说明理由．

13．（2023秋·北京朝阳·高一统考期末）设全集，集合A是U的真子集．设正整数，若集合A满足如下三个性质，则称A为U的子集：

①；

②，若，则；

③，若，则．

(1)当时，判断是否为U的子集，说明理由；

(2)当时，若A为U的子集，求证：；

(3)当时，若A为U的子集，求集合A．

14．（2023秋·北京顺义·高一统考期末）已知是非空数集，如果对任意，都有，则称是封闭集.

(1)判断集合是否为封闭集，并说明理由；

(2)判断以下两个命题的真假，并说明理由；

命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集；

命题：若非空集合是封闭集，且，则也是封闭集；

(3)若非空集合是封闭集合，且为全体实数集，求证：不是封闭集.

15．（2023秋·北京丰台·高一统考期末）已知集合．若集合A是U的含有个元素的子集，且A中的所有元素之和为0，则称A为U的“k元零子集”．将U的所有“k元零子集”的个数记为．

(1)写出U的所有“2元零子集”；

(2)求证：当，且时，；

(3)求的值．

16．（2023秋·北京东城·高一统考期末）对于非空数集A，若其最大元素为M，最小元素为m，则称集合A的幅值为，若集合A中只有一个元素，则.

(1)若，求；

(2)若，，求的最大值，并写出取最大值时的一组；

(3)若集合的非空真子集两两元素个数均不相同，且，求n的最大值.

17．（2023秋·北京石景山·高一统考期末）已知全集，若集合，.

（1）若，求，；

（2）若，求实数的取值范围.

三、填空题

18．（2023秋·北京朝阳·高一统考期末）已知集合，集合，则．

19．（2023秋·北京石景山·高一统考期末）设为非空实数集满足：对任意给定的（可以相同），都有，，，则称为幸运集.

①集合为幸运集；②集合为幸运集；

③若集合、为幸运集，则为幸运集；④若集合为幸运集，则一定有；

其中正确结论的序号是

参考答案：

1．C

【分析】已知集合、集合，由集合的基本运算，直接求解.

【详解】集合，集合，则集合.

故选：C

2．C

【分析】根据交集的概念，直接求解，即可得出结果.

【详解】因为，，所以.

故选：C.

3．C

【分析】令且，，根据已知条件确定可能元素，进而写出且时的可能元素，讨论、，结合确定的关系，即可得集合A、B并求出并集中元素个数.

【详解】令且，，如下表行列分别表示，

集合可能元素如下：

-

--

---

----

则，

若，不妨令，下表行列分别表示，

-

--

---

----

-----

------

由，而，且，显然中元素超过4个，不合题设；

若，则，下表行列分别表示，

-

--

---

----

-----

由，而，且，

要使中元素不超过4个，只需，

此时，

显然，即，则，即且，故，

所以，即，

而，故，共7个元素.

故选：C

【点睛】关键点点睛：令且，，结合已知写出可能元素，由且时的可能元素且研究的关系.

4．D

【分析】利用集合的并集运算求解.

【详解】解：因为集合，，

所以，

故选：D

5．B

【分析】利用交集的定义运算即得.

【详解】因为，

则.

故选：B.

6．A

【分析】根据交集的定义，即可求解.

【详解】因为，

所以.

故选：A

7．C

【分析】题中阴影部分表示的集合为，求解即可.

【详解】因为集合，集合，

而题中阴影部分表示的集合为，

则.

故选：C.

8．C

【分析】根据元素与集合的关系可判断A，求出可判断BC；求出可判断D.

【详解】，，，故A错误；

，所以，故B错误，C正确；

，故D错误.

故选：C.

9．A

【分析】求解不等式，明确集合的元素，根据集合交集运算，可得答案.

【详解】由，则，即，由，则，即，

，

故选：A.

10．(1)不是的3元完美子集，是的3元完美子集，理由见解析

(2)

【分析】（1）理解3元完美子集的定义，并判断两个集合是否满足完美子集的定义；

（2）分别设，，以及时，判断是否存在3元完美子集，并比较最小值，

即可求解.

【详解】（1）①因为，且，

所以不是的3元完美子集；

②因为，且，

而，

是的3元完美子集．

（2）不妨设．

若，则，且，

则集合的元素个数大于3个，这与3元完美子集矛盾；

若，则，而，符合题意，

此时，即,

此时．

若，则，于是，，若存在3元完美子集，

则或，即，所以．

综上，的最小值是12．

【点睛】关键点点睛：本题考查有关集合新定义的综合应用，本题的关键是理解3元完美子集的定义.

11．(1)，

(2)4

(3)见解析

【分析】（1）根据和即可求解，

（2）将问题转化为至少有3个元素个数相同的非空子集．分别对中的元素个数进行列举讨论，即可求解，

（3）由的定义以及，即可结合，，…，中的元素个数均为3，进行求解.

【详解】（1）根据和可得，故，

（2）设使得，

则，所以．

所以至少有3个元素个数相同的非空子集．

当时，，其非空子集只有自身，不符题意．

当时，，其非空子集只有，不符题意．

当时，，元素个数为1的非空子集有，

元素个数为2的非空子集有．

当时，，不符题意．

当时，，不符题意．

当时，，令，

则，．

所以的最小值为

（3）由题可知，，记为集合中的元素个数，

则为数表第列之和．

因为是数表第行之和，

所以．

因为，所以．

所以．

当，

时，

，

．

所以的最小值为.

【点睛】求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.

对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.

12．(1)；

(2)4；

(3)不存在，理由见解析.

【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解；

（2）设，且，利用生成集的定义即可求解；

（3）假设存在集合，可得，，，，然后结合条件说明即得.

【详解】（1）因为，所以，

所以；

（2）设，不妨设，

因为，

所以中元素个数大于等于4个，

又，则，此时中元素个数等于4个，

所以生成集B中元素个数的最小值为4；

（3）不存在，理由如下：

假设存在4个正整数构成的集合，使其生成集，

不妨设，则集合A的生成集由组成，

又，

所以，

若，又，则，故，

若，又，则，故，

所以，又，则，而，

所以不成立，

所以假设不成立，

故不存在4个正整数构成的集合A，使其生成集.

【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.

13．(1)不是U的子集；

(2)证明见解析；

(3)集合.

【分析】（1）取，由不满足性质②可得不是U的子集；

（2）通过反证法，分别假设，的情况，由不满足子集的性质，可证明出；

（3）由（2）得，，，，再分别假设，，，四种情况，由不满足子集的性质，可得出，再根据性质②和性质③，依次凑出8~23每个数值是否满足条件即可.

【详解】（1）当时，，，，

取，则，但，不满足性质②，

所以不是U的子集.

（2）当时，A为U的子集，

则；

假设，设，即

取，则，但，不满足性质②，

所以，；

假设，

取，，且，则，

再取，，则，

再取，，且，

但与性质①矛盾，

所以.

（3）由（2）得，当时，若A为U的子集，，，，

所以当时，，

若A为U的子集，，，；

若，取，，则，，

再取，，则，与矛盾，

则，；

若，取，，则，与矛盾，则，；

若，取，，则，与矛盾，则，；

若，取，，则，与矛盾，则，；

取，，则，；

取，，则；

取，，则，；

取，，则；

取，，则，；

综上所述，集合.

【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.

14．(1)集合都是封闭集，理由见解析；

(2)命题为假命题，命题q为真命题，理由见解析；

(3)见解析.

【分析】(1)根据封闭集的定义判断即可；

(2)对命题举反例说明即可；

对于命题：设，由是封闭集，可得，从而判断为正确；

(3)根据题意，令，只需证明不是封闭集即可，取中的即可证明.

【详解】（1）解：对于集合因为，

所以是封闭集；

对于集合，因为，，，

所以集合是封闭集；

（2）解：对命题：令，

则集合是封闭集，如，但不是封闭集，故错误；

对于命题：设，则有，又因为集合是封闭集，

所以，

同理可得，

所以，

所以是封闭集，故正确；

（3）证明：因为非空集合是封闭集合，且

所以，

假设是封闭集，

由(2)的命题可知：若非空集合是封闭集，且，则也是封闭集，

又因为，

所以不是封闭集.

得证.

15．(1)；

(2)详见解析；

(3)31

【分析】（1）根据“k元零子集”的定义列举；

（2）根据“k元零子集”的定义列举；

（3）由（2）的结论求解.

【详解】（1）解：因为，

所以U的所有“2元零子集”是；

（2）当时，1元零子集是，则；

当时，2元零子集是，则；

当时，3元零子集是，则；

当时，4元零子集是

，则；

当时，5元零子集是

，则；

当时，6元零子集是

，则；

当时，7元零子集是

，则；

当时，，8元零子集是，则，

故当，且时，；

（3）由（2）知：，

.

16．(1)

(2)的最大值为，

(3)n的最大值为11

【分析】（1）根据新定义即可求出；

（2）由，且要使得取到最大，则只需中元素不同且7,8,9分布在3个集合中，4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分布在3个集合中这样差值才会最大，总体才会有最大值.

（3）要n的值最大，则集合的幅值最小，且是集合的两两元素个数均不相同的非空真子集，故对集合中元素分析列出方程解出即可.

【详解】（1）由集合知，，

所以.

（2）因为，，

由此可知集合中各有3个元素，且完全不相同，

根据定义要让取到最大值，

则只需中元素不同且7,8,9分布在3个集合中，

4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分布在3个集合中

这样差值才会最大，总体才会有最大值，所以的最大值为，

所以有一组满足题意，

（3）要n的值最大，则集合的幅值要尽量最小，故幅值最小从0开始，接下来为，

因为是集合的两两元素个数均不相同的非空真子集，

不妨设是集合中只有一