2019年考研数三真题及解析

—1—4)4))(-、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(1)当X(A)l.(B)2.(C)3.(2)已知方程X5-5x+k=0有3个不同的实根，则k的取值范围是((A)(-oo,-4).(8)(4,+oo).(C)j-4,4!.(D)(-4,4).(A)1,0,1.(B)1,0,2.(C)2,1,3.(D)2,1,4.(4)若Σnun绝对收敛，三五条件收敛，则()(A)LUnVn条件收敛.n=1(C)L(un+vJ收敛.(B)Lunvn绝对收敛.(D)L(Un+vJ发散.(5)设A是4阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若线性方程组Ax=0的基础解系中只有2个向量，则r(A*)=()(A)O.(B)l.(C)2.(D)3.(6)设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵．若A2+A=2E,且IAI=4,则二次型xTAx的规范形为()(A)Yi+y;+y;.(B)Yi+y;-y;·(C)Yi-y;-Y.(D)-Yi-y;-Y.(7)设A,B为随机事件，则P(A)=P(B)的充分必要条件是()(A)P(AUB)=P(A)+P(B).(B)P(AB)=P(A)P(B).(C)P(AB)=P(BA).(D)P(AB)=P(AB).(A)与µ尤关，而与矿有关(B)与µ有关，而与矿无关(C)与µ,,矿都有关(D)与µ,,矿都无关(9)!吧[1:2+2:3+…+n(n1+1)r=(10)曲线y=xsinx+2cosx(-EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up2(卫),2)<X<的拐点坐标为(11)已知函数f(x)=『…t,则fx汀(x)dx=.—2—(12)以PA、PB分别表示A、B两个商品的价格，设商品A的需求函数QA=500-P：PA凡+2PJ,则当pA=10,凡=20时，商品A的需求量对自身价格的弹性'YJAA('YJAA>0)=(13)已知矩阵A=[指:矿-:(14)设随机变散X的概率密度为f(x)=\了0<X<数学期望，则PjF(X)>E(X)-1}=(15)(本题满分10分）EQ\*jc3\*hps26\o\al(\s\up1(亡),xex)X>0,X求J'(x)'并求f(x)的极值(16)(本题满分10分）设函数f(U,V)具有2阶连续偏导数，函数g(X,y)=xy-f(X+y,X-y).求、+(17)(本题满分10分）设函数y(x)是微分方程y'-xy=1eξ满足条件y(l)=的特解2五(I)求y(x);(II)设平面区域D=l(x,y)11x2,0yy(x)f,求D绕x轴旋转所得旋转体的体积—3—(18)(本题满分10分）求曲线y=e-xsinx(x;::0)与x轴之间图形的面积(19)(本题满分10分）设an=L1Xn'\厅二Σdx(n=0,1,2,···).(I)证明数列冈nl单调递减，且an=EQ\*jc3\*hps27\o\al(\s\up8(n),n)EQ\*jc3\*hps27\o\al(\s\up9(l),2)an-2(n=2'3'...);a—.an->a:>an-1(20)(本题满分11分）已知向扯绢I:«1=也与Il:P1=[aJP,=[1+[)J若向量组I与II等价，求a的取值，并将P皿四归a,+(21)(本题满分11分)(-2-21(2已知矩阵A=2-2与B=0002o()求xy;(Ⅱ)求可逆矩阵P,使得P-'AP=B.。相似(22)(本题满分11分)设随机变量X与Y相互独立,X服从参数为1的指数分布,Y的概率分布为PY=-}=PPY=1}=1-p(0＜P＜1)·令Z=X()求Z的概率密度；(Ⅱ)P为何值时,X与Z不相关；(Ⅲ)X与Z是否相互独立？(23)(本题满分11分)设总体X的概率密度为f(x；2)=A(-)2 e202,0,x≥μ，x＜μ，其中μ是已知参数0是未知参数,A是常数.X,X2，…,xn是来自总体X的简单随机样本()求A(Ⅱ)求2的最大似然估计量 4u"I=O,且nuu"I=O,且nun绝对收敛，由比较判别法可知Un也绝对收敛.一、选择题Cl)C解tanx的麦克劳林展开式为工++o(x3),3故x—tanx~--x3,则k=3.故应选C.CZ)D解设f(x)=工5—5x+k,则厂(x)=5①5'令fICx)=O,得x=土1.当X<-l时，f,(x)>O;当-l<x<l时，_f'(x)<O;当X>l时，fI(x)>0.又limf(x)=+=,limf(x)=--=,结合单调性知，f(-l)>O,f(l)<O时才有三个根，x-十立，飞--=且三个实根分别在区间(--oo,-1),(-1,1),(1,-f=)上，即八—1)=—1+5+k>O,J(l)=l-5+k<O,则-4<k<4.故应选D.(3)D解由薇分方程通解形式可知，y=CC1+C2x)e一工为齐次方程的通解，y=e父为非齐次方程的特解，-1为特征方程入2+a入+b=0的二重根，且l+a+b=c,a2—4b=O,1且l+a+b=c,a2—4b=O,由此解得a=Z,b=l,c=4.故应选D.(4)B解因为limn-而当Σ二条件收敛时,艺vn的敛散性不定.n-1如果令)in=(-厅及)in=时都是条件收敛，n=(-1)"发散，收敛，可知(un+l!n)的敛散性是不确定的.则C、D都不正确.再判断汇)in的敛散性：由于EQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up0(l),n)im=IEQ\*jc3\*hps17\o\al(\s\up7(U),n)"nII飞弝=O,且nun绝对收敛，由比较判别法可知区汇））n是绝对收敛的．故应选B.n=l(5)A解由线性方程组Ax=O的基础解系中只有2个向械，则2=4—r(A),故r(A)=2.由于当r(A)<n—l时(n为A的阶数），r(A*）=0.故应选A.(6)C解设入是A的特征值，根据A2+A=ZE得：入2+入2,解得入-l或—2.）A是3阶实对称矩阵，则A有3个特征值且A的3个特征值的积为IAI的值，故A的三个特征值的积为1,-2,-2,正惯性指数为1,负惯性指数为2,故二次型xTAx的规范形为Yi—丈—丈．故应选C.(7)C解由P(AB)=P(BA)得p(AB)=p(A)-p(AB)=p(BA)=p(B)—P(AB)台P(A)=PCB).故应选C.(8)A解由X-N(伈矿Y-N(µ,矿汃且相互独立，X-Y则E(X—Y)=O,D(X-Y)=DX+DY=2扎得———-N(O,l),屈σ我6迈6迈6故P{IX-YI<l}=P{三仁飞三上}=2cI>(上）-1与矿有关，与µ我6迈6迈6故应选A(9)e-1EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up8(1),勹)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up8(11),丁了)＋…＋EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up8(11),厂言)寸n=!式气飞叶＋（了忙]=e=e-1．=e(IO)(六:,-2)解y'=sEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(.),1)nx+xcosx-2sEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(.),i)n冗=xcosx-s1nx,y=cosx-Xs1nx-COSX=—xs1nx.令y"=O,得x1=O,x2=穴，再判断X1,X2两点的左右两侧二阶导数是否异号；在X1左侧y"<o,右侧y"<o,故(0,2)不是拐点；Xz左侧y"<O,x2右侧区间丘EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up0(竺),2)）内y">o,所以拐点为（六'—2).故应填（六'-2).(11)1—(1(11)1—解由分部积分法：『x2f(x)dx=EQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up8(I),J)Cx)dx3=EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up6(1),了)x汀ex)IEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up7(1),o)—EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up6(1),了)∫x3J'(x)dx,CD又八1)=『五了尸dt=O,J'(x)=扣(1)-3EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up9(l),0)xa汇了-dx=-EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(_!_),3)＝飞./i丁了，代入CD式：·EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(上),4)『0五言了dx4·EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up6(2),3)Cl+x4)EQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up9(3),2)1EQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up9(1),。)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up6(1),飞)(1-2迈（、4_丿3（、4_丿3故应填EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up0(—),18)(1-2仍）.(12)0.4解当PB=20时，QA=500—P$—20PA+2.202=1300一20PA-P$,QA忠2PA(PA+10)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up1(—),QA)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up1(——),dPA)所以7AA|PA=10=0.4.故应填0.4.(13)1解由题意得—1。1a2-1—1。1a2-1。—1。1a2-1。。a。1。\\.1Ia-.1Ia要使Ax=b有无穷多解，则应使r(A)=r(不)<3,当az—1=a—1=O,即a=1时，r(A)=r(A)=2<3.故应填1.解由随机变量X的概率密度f(工)=仁,O<工<2,可知X的分布函数sF(X)lEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up5(三),l,),X<Q,O毫工<2,EX∫工f(工)d工L2工·ξd工ξ,X2,P{F(X)>EX-1}=P{F（X)>EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(__),3)—1}=P卢4=P{X>寸示EQ\*jc3\*hps40\o\al(\s\up2(王),2)d工=EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(2),3).故应填—.3(15)解当X>O时，f,(工)=2工“ln工+1);当X<O时，f,(工)=ex(工+1).2工ln工=-…,所以f,(0)不存在.o+Xx-o+X+X综上f,(工)=|EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up7(2),e)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up5(工),x)1),EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up5(工),X)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up6(0),0),令f,(工)=0,得驻点工=—1,工=—.e当工<—1或O<工<一时，f,(工)<O;1当—I<x<O或x>—j'(x)>0.ee所以f(x)在区间(—邑-1)和(o且－）内单调减少，ee在区间(—1,0)和（上，十～e—1)=1————1)=1———=e'为f(O)=1.ee(16)解因为ag.+y,x-y),EQ\*jc3\*hps26\o\al(\s\up0(—),ax)=y-J(x+y,x—y)ag.+y,x-y),ag—=x—J.(x+y,x-y)+J,(x+y,x-y),agay臼＝—仁(x+y,x-y)—2儿(x+y,x—y)-几(x+y,x—y)'a2g=1—J••(x+y,x-y)十几(x+y,xa2ga戎ya2g 2J••(x+y,x—y)+2儿(x+y,x-y)—儿(x+y,xa2gay所以a2ga2ga2gEQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up2(—),ax2)+a戎Y+EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up1(-—),ay2)=1—3f••(x+y,x-y)—儿(x+y,x—y).(17)解CI)由一阶线性微分方程的通解公式，得y(x)=i心(C+f2EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up5(l),石)eξe-fx扛心）=eξ(石+C).因为y(l)=心，所以C=O.已从而y(x)=rx矿.(II)D绕x轴旋转所得旋转体的体积为V=f:rcy2(x)心=frcxex2dx=EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up0(王),2)exz1EQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up8(2),1)=EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up0(王),2)(e4—e).(18)解由题意，所求面积为-xes=I+=-xeSlllXdx=nΣ=-0(一1)"f1).亡sinx心，因为得所以-fe-xcosx心EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up8(n),)+l)π-fe-xcosx心e-xsinxdx.n21)兀尸sinxdx=(-1)•[e一（叶!),十e-nn2S=nΣ-EQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up8(eπ),e)六+EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up6(1),1))'11(19)解(I)a.+1-a.=fx"(x—1),Ji-=了dx.因为在积分区间[0,1]上，x"(x—1).jj二7o且不恒等于o,所以a.+1-a.<O,即{a.}单调减少.当n>2时，因为a.x"/1=了dxXn-2(l-X2)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up10(主),2)dx___x·汀二了dx=-EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up5(1),Xn-2(l-X2)EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up10(主),2)dx___x·汀二了dx=EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up0(二),3)5EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up7(i),0)x"一2/1二飞n-ln—1=a.-2—a.,所以n-l所以a.=-—an-2(n=2'3'…).n+ZcII)土－＝庄三.an-1n+2an一1n—lana,,因为{an}单调减少且a,,>O,所以——-<—-<l,n—lan