2024届河北衡水武邑中学数学高二上期末学业水平测试模拟试题含解析

2024届河北衡水武邑中学数学高二上期末学业水平测试模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合M＝{0，x}，N＝{1,2}，若M∩N＝{2}，则M∪N＝()A.{0，x,1,2} B.{2,0,1,2}C.{0,1,2} D.不能确定2．已知直线与直线垂直，则实数（）A.10 B.C.5 D.3．下列函数的求导正确的是（）A. B.C. D.4．经过两点直线的倾斜角是（）A. B.C. D.5．若向量则（）A. B.3C. D.6．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线分别交双曲线的左、右两支于，，且，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.7．某研究所为了研究近几年中国留学生回国人数的情况，对2014至2018年留学生回国人数进行了统计，数据如下表：年份20142015201620172018年份代码12345留学生回国人数/万36.540.943.348.151.9根据上述统计数据求得留学生回国人数（单位：万）与年份代码满足的线性回归方程为，利用回归方程预测年留学生回国人数为（）A.63.14万 B.64.72万C.66.81万 D.66.94万8．如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到直线的距离为（）A. B.C. D.9．已知椭圆的左右焦点分别为，直线与C相交于M，N两点（其中M在第一象限），若M，，N，四点共圆，且直线倾斜角不小于，则椭圆C的离心率e的取值范围是（）A. B.C. D.10．倾斜角为45°，在y轴上的截距为2022的直线方程是（）A. B.C. D.11．等比数列的前项和为，若，则（）A. B.8C.1或 D.或12．已知命题,命题,，则下列命题中为真命题的是A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某中学拟从4月16号至30号期间，选择连续两天举行春季运动会，从已往的气象记录中随机抽取一个年份，记录天气结果如下：日期161718192021222324252627282930天气晴阴雨阴阴晴阴晴雨雨阴晴晴晴雨估计运动会期间不下雨的概率为_____________.14．如图，在长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，点P，Q分别是棱BC，CD上的动点，BC＝4，CD＝3，CC'＝2，直线CC'与平面PQC'所成的角为30°，则△PQC'的面积的最小值是__15．设，向量，，，且，，则___________.16．某工厂年前加紧手套生产，设该工厂连续5天生产的手套数依次为，，，，（单位：万只），若这组数据，，，，的方差为4，且，，，，的平均数为8，则该工厂这5天平均每天生产手套______万只三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）（1）求函数的单调区间.（2）用向量方法证明：已知直线l，a和平面，，，，求证：.18．（12分）已知函数f(x)=x-mlnx-m.（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)有最小值g(m)，证明：g(m)在上恒成立.19．（12分）设AB是过抛物线焦点F的弦，若，，求证：（1）；（2）（为弦AB的倾斜角）20．（12分）已知抛物线C：上一点与焦点F的距离为（1）求和p的值；（2）直线l：与C相交于A，B两点，求直线AM，BM的斜率之积21．（12分）如图，在空间直角坐标系中有长方体，且，，点E在棱AB上移动.（1）证明：；（2）当E为AB的中点时，求直线AC与平面所成角的正弦值.22．（10分）已知在△中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.（1）求角C的大小；（2）若，求△的面积S的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】集合M＝{0，x}，N＝{1,2}，若M∩N＝{2}，则.所以.故选C.点睛：集合的交集即为由两个集合的公共元素组成的集合，集合的并集即由两集合的所有元素组成.2、B【解析】根据两直线垂直，列出方程，即可求解.【详解】由题意，直线与直线垂直，可得，解得.故选：B.3、B【解析】对各个选项进行导数运算验证即可.【详解】，故A错误；，故B正确；，故C错误；，故D错误.故选：B4、B【解析】求出直线的斜率后可得倾斜角【详解】经过两点的直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，则，又，所以.故选：B5、D【解析】先求得，然后根据空间向量模的坐标运算求得【详解】由于向量，，所以.故故选：D6、D【解析】直线的斜率为，计算，，利用余弦定理得到，化简知，得到答案【详解】由题意知直线的斜率为，，又，由双曲线定义知，，.由余弦定理：，，即，即，解得.故双曲线渐近线的方程为.故答案选D【点睛】本题考查了双曲线的渐近线，与圆的关系，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.7、D【解析】先求出样本点的中心，代入线性回归方程即可求出，再将代入线性回归方程即可得到结果【详解】由题意知：，，所以样本点的中心为，所以，解得：，可得线性回归方程为，年对应的年份代码为，令，则，所以预测2022年留学生回国人数为66.94万，故选：D.8、C【解析】连接，，，，在平面中，作，为垂足，将两平行线的距离转化成点到直线的距离，结合余弦定理即同角三角函数基本关系，求得，因此可得，进而可得直线到直线的距离；【详解】解：如图，连接，，，，在平面中，作，为垂足，因为，分别为，的中点，因为，，所以，所以，同理，所以四边形是平行四边形，所以，所以即为直线到直线的距离，在三角形中，由余弦定理得因为，所以是锐角，所以，在直角三角形中，，故直线到直线的距离为；故选：C9、B【解析】设椭圆的半焦距为c，由椭圆的中心对称性和圆的性质得以为直径的圆与椭圆C有公共点，则有以，再根据直线倾斜角不小于得，由椭圆的定义得，由此可求得椭圆离心率的范围.【详解】解：设椭圆的半焦距为c，由椭圆的中心对称性和M，，N，四点共圆得，四边形必为一个矩形，即以为直径的圆与椭圆C有公共点，所以，所以，所以，因为直线倾斜角不小于，所以直线倾斜角不小于，所以，化简得，，因为，所以，所以，，又，因为，所以，所以，所以，所以.故选：B.10、A【解析】根据直线斜率与倾斜角的关系，结合直线斜截式方程进行求解即可.【详解】因为直线的倾斜角为45°，所以该直线的斜率为，又因为该直线在y轴上的截距为2022，所以该直线的方程为：，故选：A11、C【解析】根据等比数列的前项和公式及等比数列通项公式即可求解.【详解】设等比数列的公比为，则因为，所以，即，解得或，所以或.故选：C.12、D【解析】命题是假命题，命题是真命题，根据复合命题的真值表可判断真假.【详解】因为，故命题是假命题，又命题是真命题，故为假，为假，为假，为真命题，故选D.【点睛】复合命题的真假判断有如下规律：（1）或：一真比真，全假才假；（2）且：全真才真，一假比假；（3）：真假相反.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】以每相邻两天为一个基本事件，求出试验的基本事件数，再求出两天都不下雨的基本事件数，利用古典概率公式计算作答.【详解】依题意，以每相邻两天为一个基本事件，如16号与17号、17号与18号为不同的两个基本事件，则从4月16号至30号期间，共有14个基本事件，它们等可能，其中相邻两天不下雨有16与17，19与20，20与21，21与22，22与23，26与27，27与28，28与29，共8个不同结果，所以运动会期间不下雨的概率为.故答案为：14、8【解析】设三棱锥C﹣C′PQ的高为h，CQ＝x，CP＝y，由体积法求得的关系，由直线CC’与平面C’PQ成的角为30°，得到xy≥8，再由VC﹣C′PQ＝VC′﹣CPQ，能求出△PQC'的面积的最小值【详解】解：设三棱锥C﹣C′PQ的高为h，CQ＝x，CP＝y，由长方体性质知两两垂直，所以，，，，，所以，由得，所以，∵直线CC’与平面C’PQ成的角为30°，∴h＝2，∴，，∴xy≥8，再由体积可知：VC﹣C′PQ＝VC′﹣CPQ，得，S△C′PQ＝xy，∴△PQC'的面积的最小值是8故答案为：815、3【解析】利用向量平行和向量垂直的性质列出方程组，求出，，再由空间向量坐标运算法则求出，由此能求出【详解】解：设，，向量，，，且，，，解得，，所以，，，故答案为：16、2【解析】结合方差、平均数的公式列方程，化简求得正确答案.【详解】依题意设，则，.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）的单调减区间为和，单调增区间为；（2）证明见解析.【解析】（1）求出导函数，由得增区间，由得减区间；（2）说明直线方向向量与平行的法向量垂直后可得【详解】（1）解：定义域为R，，，解得，.当或时，，当时，.所以的单调减区间为和，单调增区间为.（2）证明：在直线a上取非零向量，因为，所以是直线l的方向向量，设是平面的一个法向量，因为，所以.又，所以.18、（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调区间.（2）根据（1）的结论可得函数的最小值，再利用导数可证不等式.【小问1详解】函数的定义域为，且，当时，在上恒成立，所以此时在上为增函数，当时，由，解得，由，解得，所以在上为减函数，在上为增函数，综上：当时，在上为增函数，当时，在上为减函数，在上为增函数；【小问2详解】由（1）知:当时，在上为增函数，无最小值.当时，在上上为减函数，在上为增函数，所以，即，则，由，解得，由，解得，所以在上为增函数，在上为减函数，所以，即在上恒成立.19、（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）设直线的方程为，代入，再利用韦达定理，即可得到结论；（2）由抛物线的定义，结合余弦函数的定义，即可得到的长，同理可得的长，两式相乘即可证明；【小问1详解】证明：由题意设直线的方程为，代入，可得，所以；【小问2详解】证明：如图，不妨设弦AB的倾斜角为锐角，作垂直于抛物线准线,垂足为M,N,由抛物线的定义可得，所以，同理可得，,所以，当为直角或钝角时，同理可证明，故.20、（1）（2）【解析】（1）结合抛物线的定义以及点坐标求得以及.（2）求得的坐标，由此求得直线AM，BM的斜率之积.【小问1详解】依题意抛物线C：上一点与焦点F的距离为，根据抛物线的定义可知，将点坐标代入抛物线方程得.【小问2详解】由（1）得抛物线方程为，，不妨设A在B下方，所以.21、（1）证明见解析（2）【解析】（1）设，求出，，利用向量法能求出；（2）求出平面的法向量，利用向量法能求出直线与平