2024届湖北省宜宜昌市部分示范高中教学协作体高二上数学期末考试模拟试题含解析

2024届湖北省宜宜昌市部分示范高中教学协作体高二上数学期末考试模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之栗五斗羊主曰：“我羊食半马”马主曰：“我马食半牛”今欲哀偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求赔偿5斗栗羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还栗a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是A.a，b，c依次成公比为2的等比数列，且B.a，b，c依次成公比为2的等比数列，且C.a，b，c依次成公比为的等比数列，且D.a，b，c依次成公比为的等比数列，且2．已知，设函数，若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（）A. B.C. D.3．设，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B.C. D.4．已知椭圆的左右焦点分别为，直线与C相交于M，N两点（其中M在第一象限），若M，，N，四点共圆，且直线倾斜角不小于，则椭圆C的离心率e的取值范围是（）A. B.C. D.5．若将双曲线绕其对称中心顺时针旋转120°后可得到某一函数的图象，且该函数在区间上存在最小值，则双曲线C的离心率为（）A. B.C.2 D.6．学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n位同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在（单位：元）内，其中支出在（单位：元）内的同学有67人，其频率分布直方图如图所示，则n的值为（）A.100 B.120C.130 D.3907．已知为等比数列的前n项和，，，则（）A.30 B.C. D.30或8．即空气质量指数，越小，表明空气质量越好，当不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某市3月1日到12日的统计数据.则下列叙述正确的是A.这天的的中位数是B.天中超过天空气质量为“优良”C.从3月4日到9日，空气质量越来越好D.这天的的平均值为9．已知等比数列的前项和为，公比为，则（）A. B.C. D.10．函数的导函数为（）A. B.C. D.11．已知实数满足方程，则的最大值为（）A.3 B.2C. D.12．双曲线的离心率是，则双曲线的渐近线方程是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，已知正方形边长为，长方形中，，平面与平面互相垂直，是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______14．某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，依据以往成绩估算该同学在物理、化学、政治科目等级中达的概率分别为假设各门科目考试的结果互不影响，则该同学等级考至多有1门学科没有获得的概率为___________.15．直线与直线平行，则m的值是__________16．某学生到某工厂进行劳动实践，利用打印技术制作模型.如图，该模型为一个大圆柱中挖去一个小圆柱后剩余部分（两个圆柱底面圆的圆心重合），大圆柱的轴截面是边长为的正方形，小圆柱的侧面积是大圆柱侧面积的一半，打印所用原料的密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.（取）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）椭圆：（）的离心率为，递增直线过椭圆的左焦点，且与椭圆交于两点，若，求直线的斜率.18．（12分）在等比数列{}中，（1），，求；（2），，求的值.19．（12分）在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，记点的轨迹为.（1）求的方程；（2）已知，是经过圆上一点且与相切的两条直线，斜率分别为，，直线的斜率为，求证：为定值.20．（12分）如图，在直三棱柱中，平面侧面，且.（1）求证：；（2）若直线与平面所成的角为，请问在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在请求出的位置，不存在请说明理由.21．（12分）已知圆，直线的斜率为2，且过点（1）判断与的位置关系；（2）若圆，求圆与圆的公共弦长22．（10分）如图，在多面体ABCEF中，和均为等边三角形，D是AC的中点，（1）证明：（2）若平面平面ACE，求二面角余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由条件知，，依次成公比为的等比数列，三者之和为50升，根据等比数列的前n项和，即故答案为D.2、D【解析】由题设易知上恒成立，而在上，讨论、，结合导数研究的最值，由不等式恒成立求的取值范围.【详解】由时，在上；由时，在上递减，值域为；令且，则，当时，，即递增，值域为，满足题设；当时，在上，即递减，在上，即递增，此时值域为；当，即时存在，而在中，此时，不合题设；所以，此时要使的不等式恒成立，只需，即，可得；综上，关于的不等式恒成立，则的取值范围为.故选：D【点睛】关键点点睛：由题设易知上，只需在上恒有即可.3、A【解析】构造函数，求导判断其单调性即可【详解】令，，令得，，当时，，单调递增，，，，，，，故选：A4、B【解析】设椭圆的半焦距为c，由椭圆的中心对称性和圆的性质得以为直径的圆与椭圆C有公共点，则有以，再根据直线倾斜角不小于得，由椭圆的定义得，由此可求得椭圆离心率的范围.【详解】解：设椭圆的半焦距为c，由椭圆的中心对称性和M，，N，四点共圆得，四边形必为一个矩形，即以为直径的圆与椭圆C有公共点，所以，所以，所以，因为直线倾斜角不小于，所以直线倾斜角不小于，所以，化简得，，因为，所以，所以，，又，因为，所以，所以，所以，所以.故选：B.5、C【解析】由题意，可知双曲线的一条渐近线的倾斜角为120°，再确定参数的正负即可求解.【详解】双曲线，令，则，显然，则一条渐近线方程为，绕其对称中心顺时针旋转120°后可得到某一函数的图象，则渐近线就需要旋转到与坐标轴重合，故渐近线方程的倾斜角为120°，即，该函数在区间上存在最小值，可知，所以，所以.故选：C6、A【解析】根据小矩形的面积之和，算出位于10～30的2组数的频率之和为0.33,从而得到位于30～50的数据的频率之和为1-0.33=0.67，再由频率计算公式即可算出样本容量的值.【详解】位于10～20、20～30的小矩形的面积分别为位于10～20、20～30的据的频率分别为0.1、0.23可得位于10～30的前3组数的频率之和为0.1+0.23=0.33由此可得位于30～50数据的频率之和为1-0.33=0.67∵支出在[30,50)的同学有67人,即位于30～50的频数为67，∴根据频率计算公式，可得解之得.故选：A7、A【解析】利用等比数列基本量代换代入，列方程组，即可求解.【详解】由得，则等比数列的公比，则得，令，则即，解得或（舍去），，则故选：A8、C【解析】这12天的AQI指数值的中位数是，故A不正确；这12天中，空气质量为“优良”的有95，85，77，67，72，92共6天，故B不正确；；从4日到9日，空气质量越来越好，，故C正确；这12天的指数值的平均值为110，故D不正确.故选C9、D【解析】利用等比数列的求和公式可求得的值.【详解】由等比数列的求和公式可得，解得.故选：D.10、B【解析】利用复合函数求导法则即可求导.【详解】，故选：B.11、D【解析】将方程化为，由圆的几何性质可得答案.【详解】将方程变形为，则圆心坐标为，半径，则圆上的点的横坐标的范围为：则x的最大值是故选：D.12、B【解析】利用双曲线的离心率，以及渐近线中，关系，结合找关系即可【详解】解：，又因为在双曲线中，，所以，故，所以双曲线的渐近线方程为，故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，求出，后可求异面直线所成角的余弦值.【详解】长方形可得，因为平面与平面互相垂直，平面平面，平面，故平面，故可建立如图所示的空间直角坐标系，则，故，，故.故答案为：14、【解析】考虑3门或者2门两种情况，计算概率得到答案.【详解】.故答案为：.15、【解析】利用直线的平行条件即得.详解】∵直线与直线平行，∴，∴.故答案为：.16、4500【解析】根据题意可知大圆柱底面圆的半径，两圆柱的高，设小圆柱的底面圆的半径为，再根据小圆柱的侧面积是大圆柱侧面积的一半，求出小圆柱的底面圆的半径，然后求出该模型的体积，从而可得出答案.【详解】解：根据题意可知大圆柱的底面圆的半径，两圆柱的高，设小圆柱的底面圆的半径为，则有，即，解得，所以该模型的体积为，所以制作该模型所需原料的质量为.故答案为：4500.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、1【解析】根据离心率写出，设出直线为，把直线的方程与椭圆进行联立消，写出韦达定理，再利用，即可解出，进而求出直线的斜率.【详解】，.设递增直线的方程为，把直线的方程与椭圆进行联立：.①，②.③.把③代入①中得④.把④代入②中得...18、（1）（2）【解析】（1）直接利用等比数列的求和公式求解即可，（2）由已知条件结合等比数的性质可得，从而可求得答案，或直接利用等比数列的求和公式化简求解【小问1详解】.【小问2详解】方法1：.∴.方法2：，整理得：又19、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）根据双曲线的定义可得答案；（2）设，过点的的切线方程为，联立此直线与双曲线的方程消元，然后由可得，即可得到，然后可证明.【小问1详解】因为，所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，所以，，所以，所以的方程为【小问2详解】设，则，设过点的切线方程为，联立可得由可得，所以所以20、（1）证明见解析（2）存在，点E为线段中点【解析】(1)通过作辅助线结合面面垂直的性质证明侧面，从而证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标,再求相关的向量坐标，求平面的法向量，利用向量的夹角公式求得答案.【小问1详解】证明：连接交于点，因，则由平面侧面，且平面侧面，得平面，又平面，所以三棱柱是直三棱柱，则底面ABC，所以.又，从而侧面，又侧面，故.【小问2详解】由(1).平面，则直线与平面所成的角,所以，又，所以假设在线段上是否存在一点E，使得二面角的大小为,由是直三棱柱，所以以点A为原点，以AC、所在直线分别为x，z轴,以过A点和AC垂直的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，且设，，得所以，设平面的一个法向量，由，得：，取,由(1)知平面，所以平面的一个法向量,所以，解得,∴点E为线段中点时，二面角的大小为.21、（1）与相切；（2）【解析】（1）求出圆C的圆心坐标，半径和直线l的方程，根据圆心到直线的距离即可判断直线与圆的位置关系；（2）圆与圆的方程相减，可求出公共弦所在的直线方程，然后根据圆M的圆心到公共弦所在直线的距离及圆M的半径即可求出公共弦长.【小问1详解】由圆，可得，所以圆心为，半径，直线的方程为，即因为圆心到的距离为，所以与相切【小问2详解】联立方程可得，作差可得，即，即公共弦所在直线的方程为易知圆的半径，圆心到直线的距离为，则公共弦长22、（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得到、，即可得到平面，再根据，即可得证；（2）由面面垂直的性质得到平面，建立