2024届江苏省泰州市数学高二上期末教学质量检测试题含解析

2024届江苏省泰州市数学高二上期末教学质量检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则b的值为（）A. B.C. D.2．曲线在点处的切线方程是（）A. B.C. D.3．双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A. B.2C. D.4．已知为偶函数，且，则___________.5．（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为A. B.C. D.6．已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则（）A. B.C. D.7．若复数，则（）A B.C. D.8．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类以及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（）A.4 B.5C.6 D.79．刘老师在课堂中与学生探究某个圆时，有四位同学分别给出了一个结论.甲：该圆经过点.乙：该圆半径为.丙：该圆的圆心为.丁：该圆经过点，如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（）A.甲 B.乙C.丙 D.丁10．如图，平行六面体中，为的中点，，，，则（）A. B.C. D.11．已知等比数列满足，，则（）A.21 B.42C.63 D.8412．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,点是原点,若;则的面积为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在下列所示电路图中，下列说法正确的是____(填序号)（1）如图①所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件；（2）如图②所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件；（3）如图③所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件；（4）如图④所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件14．求值______.15．已知一组样本数据5、6、a、6、8的极差为5，若，则其方差为________.16．观察式子：，，，由此归纳，可猜测一般性的结论为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知.(1)讨论的单调性；(2)当有最大值，且最大值大于时，求取值范围.18．（12分）已知是函数的一个极值点.（1）求实数的值；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.19．（12分）已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）（1）求的值；（2）是否存在常数，使得对于定义域内的任意，恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由20．（12分）如图，四棱锥中，侧面是边长为4的正三角形，且与底面垂直，底面是菱形，且，为的中点（1）求证：；（2）求点到平面的距离21．（12分）已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍，且经过点.（1）求的标准方程；（2）的右顶点为，过右焦点的直线与交于不同的两点，，求面积的最大值.22．（10分）某消费者协会在3月15号举行了以“携手共治，畅享消费”为主题的大型宣传咨询服务活动，着力提升消费者维权意识，组织方从参加活动的群众中随机抽取120名群众，按年龄将这120名群众分成5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）求图中m的值；（2）估算这120名群众的年龄的中位数（结果精确到0.1）；（3）已知第1组群众中男性有2人，组织方要从第1组中随机抽取2名群众组成维权志愿者服务队，求恰有一名女性的概率.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】由题意求出蒙日圆方程，再由两圆只有一个交点可知两圆相切，从而列方程可求出b的值【详解】由题意可得椭圆的蒙日圆的半径，所以蒙日圆方程为，因为圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，所以两圆相切，所以，解得，故选：B2、B【解析】求导，得到曲线在点处的斜率，写出切线方程.【详解】因为，所以曲线在点处斜率为4，所以曲线在点处的切线方程是，即，故选：B3、A【解析】根据点到直线距离公式进行求解即可.【详解】由双曲线的标准方程可知：，该双曲线的焦点坐标为：，双曲线的渐近线方程为：，所以焦点到渐近线的距离为：，故选：A4、8【解析】由已知条件中的偶函数即可计算出结果，【详解】为偶函数，且，.故答案为：85、A【解析】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，整理可得，即即，从而，则椭圆的离心率，故选A.【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.6、C【解析】对函数求导，利用导数的几何意义结合垂直关系计算作答.【详解】函数定义域为，求导得，于是得函数的图象在点处切线的斜率，而直线的斜率为，依题意，，即，解得，所以.故选：C7、A【解析】根据复数的乘法运算即可求解.【详解】由，故选：A8、C【解析】按照分层抽样的定义进行抽取.【详解】按照分层抽样的定义有，粮食类：植物油类：动物性食品类：果蔬类=4:1:3:2，抽20个出来，则粮食类8个，植物油类2个，动物性食品类6个，果蔬类4个，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是6个.故选：C.9、D【解析】分别假设甲、乙、丙、丁是错误的，看能否推出矛盾，进而推导出答案.【详解】假设甲的结论错误，根据丙和丁的结论，该圆的半径为6，与乙的结论矛盾；假设乙的结论错误，圆心到点的距离与圆心到点的距离不相等，不成立；假设丙的结论错误﹐点到点的距离大于，不成立；假设丁的结论错误，圆心到点的距离等于，成立.故选：D10、B【解析】先用向量与表示，然后用向量表示向量与，即可得解【详解】解：为的中点，故选：【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用，解决本题的关键是熟练运用向量的加法、减法及实数与向量的积的运算，属于基础题11、D【解析】设等比数列公比为q，根据给定条件求出即可计算作答.【详解】等比数列公比为q，由得：，即，而，解得，所以.故选：D12、C【解析】抛物线焦点为，准线方程为，由得或所以，故答案为C考点：1、抛物线的定义；2、直线与抛物线的位置关系二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、（1）（2）（3）【解析】充分不必要条件是该条件成立时，可推出结果，但结果不一定需要该条件成立；必要条件是有结果必须有这一条件，但是有这一条件还不够；充要条件是条件和结果可以互推；条件和结果没有互推关系的是既不充分也不必要条件【详解】（1）开关闭合，灯泡亮；而灯泡亮时，开关不一定闭合，所以开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件，选项（1）正确.（2）开关闭合，灯泡不一定亮；而灯泡亮时，开关必须闭合，所以开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件，选项（2）正确.（3）开关闭合，灯泡亮；而灯泡亮时，开关必须闭合，所以开关闭合是灯泡亮的充要条件，选项（3）正确.（4）开关闭合，灯泡不一定亮；而灯泡亮时，开关不一定闭合，所以开关闭合是灯泡亮的既不充分也不必要条件，选项（4）错误.故答案为（1）（2）（3）.14、【解析】将原式子变形为：，将代入变形后的式子得到结果即可.【详解】将代入变形后的式子得到结果为故答案为：15、2【解析】根据极差的定义可求得a的值，再根据方差公式可求得结果.【详解】因为该组数据的极差为5，，所以，解得.因为，所以该组数据的方差为故答案为：.16、【解析】根据规律，不等式的左边是个自然数倒数的平方的和，右边分母是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，由此可得结论【详解】解：观察可以发现，第个不等式左端有项，分子为1，分母依次为，，，，；右端分母为，分子成等差数列，首项为3，公差为2，因此第个不等式（）故答案为：（）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)时,在是单调递增；时,在单调递增，在单调递减.（2）.【解析】（Ⅰ）由,可分,两种情况来讨论；（II）由（I）知当时在无最大值,当时最大值为因此.令,则在是增函数,当时,,当时,因此a的取值范围是.试题解析：（Ⅰ）的定义域为,,若,则,在是单调递增；若,则当时,当时,所以在单调递增,在单调递减.（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时在无最大值,当时在取得最大值,最大值为因此.令,则在是增函数,,于是,当时,,当时,因此a取值范围是.考点：本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想.18、（1）3（2），【解析】（1）先求出函数的导数，根据极值点可得导数的零点，从而可求实数的值；（2）由（1）可得函数的单调性，从而可求最值.【小问1详解】，是的一个极值点,.，，此时，令，解剧或，令，解得，故为的极值点，故.【小问2详解】由（1）可得在上单调递增，在上单调递减，故在上为增函数，在上为减函数，.又19、（1）2；（2）存在，.【解析】（1）对函数求导，利用得的值；（2）讨论和分离参数，构造新函数求解最值即可求解【详解】解：（1），又由题意有（2）由（1）知，此时，由或，所以函数的单调减区间为和要恒成立，即①当时，，则要恒成立，令，再令，所以在内递减，所以当时，，故，所以在内递增，；②当时，lnx>0，则要恒成立，由①可知，当时，，所以内递增，所以当时，，故，所以在内递增，综合①②可得，即存在常数满足题意20、（1）证明见解析；（2）.【解析】(1)取的中点，连接，，，先证明平面，再由平面得，(2)等体积法求解.根据题目条件，先证明为三棱锥的高，再求出以为顶点，为底面的三棱锥的体积和以为顶点，为底面的三棱锥的体积，根据，求点到平面的距离.【详解】(1)证明：如图，取的中点，连接，，依题意可知，，均为正三角形，∴，又∵，∴平面又平面，∴(2)由(1)可知，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，即为三棱锥的高由题意得，∵为的中点，∴在中，，∴，，∴在中，边上的高，∴的面积的面积点到平面的距离即点到平面的距离设点到平面的距离为，由，得，即，解得，即点到平面的距离为21、（1）；（2）【解析】（1）利用已知条件，结合椭圆方程求出，即可得到椭圆方程（2）设出直线方程，联立椭圆与直线方程，利用韦达定理，弦长公式，列出三角形的面积，再利用基本不等式转化求解即可【详解】（1）解：由题意解得，，所以椭圆的标准方程为（2）点，右焦点，由题意知直线的斜率不为0，故设的方程为，，，联立方程得消去，整理得，∴，，，，当且仅当时等号成立，此时：，所以面积的最大值为【点睛】本题考查椭圆的性质和方程的求法，考查联立直线方程和椭圆方程消去未知数，运用韦达定理化简整理和运算能力，属于中档题22、（1）（2）（3）【解析】（1）由频率分布直方图中所有频率和为1求出；（