2024届陕西省汉滨区数学高二上期末联考试题含解析

2024届陕西省汉滨区数学高二上期末联考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．过坐标原点作直线的垂线，垂足为，则的取值范围是（）A. B.C. D.2．若数列满足，则（）A. B.C. D.3．若函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.4．已知双曲线，则“”是“双曲线的焦距大于4”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5．已知，则（）A. B.C. D.6．某城市2017年的空气质量状况如下表所示：污染指数3060100110130140概率其中污染指数时，空气质量为优；时，空气质量为良；时，空气质量为轻微污染，该城市2017年空气质量达到良或优的概率为（）A. B.C. D.7．已知数列是等差数列，其前n项和为，则下列说法错误的是（）A.数列一定是等比数列 B.数列一定是等差数列C.数列一定是等差数列 D.数列可能是常数数列8．圆与圆的位置关系为（）A.内切 B.外切C.相交 D.相离9．△ABC的两个顶点坐标A（-4，0），B（4，0），它的周长是18，则顶点C的轨迹方程是（）A. B.（y≠0）C. D.10．经过点且圆心是两直线与的交点的圆的方程为（）A. B.C. D.11．正三棱柱各棱长均为为棱的中点，则点到平面的距离为（）A. B.C. D.112．如图，在直三棱柱中，AB＝BC，，若棱上存在唯一的一点P满足，则（）A. B.1C. D.2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．向量，，若，且，则的值为______.14．已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线左支上点满足，则的面积为_________15．已知函数，若在定义域内有两个零点，那么实数a的取值范围为___________.16．已知几何体如图所示，其中四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长为1，点M在DG上，若直线MB与平面BEF所成的角为45°，则___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上.（1）求抛物线的标准方程；（2）过点的直线交抛物钱C于A，B两点，O为坐标原点，记直线OA，OB的斜率分别，，求证：为定值.18．（12分）如图，在长方体中，，，是棱的中点（1）求证：；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由19．（12分）已知椭圆C：的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2.（1）椭圆C的方程；（2）设直线l：交椭圆C于A，B两点，且，求m的值.20．（12分）已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，点在抛物线C上（1）求抛物线C的方程；（2）过抛物线C焦点F的直线l交抛物线于P，Q两点，若求直线l的方程21．（12分）如图在直三棱柱中，为的中点，为的中点，是中点，是与的交点，是与的交点.（1）求证：；（2）求证：平面；（3）求直线与平面的距离.22．（10分）已知椭圆的一个焦点坐标为，离心率为（1）求椭圆C的标准方程；（2）O为坐标原点，点P在椭圆C上，若的面积为，求点P的坐标

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】求出直线直线过的定点A，由题意可知垂足是落在以OA为直径的圆上，由此可利用的几何意义求得答案,【详解】直线，即，令，解得，即直线过定点,由过坐标原点作直线的垂线，垂足为，可知：落在以OA为直径的圆上，而以OA为直径的圆为，如图示：故可看作是圆上的点到原点距离的平方，而圆过原点，圆上点到原点的最远距离为，但将原点坐标代入直线中，不成立，即直线l不过原点，所以不可能和原点重合，故，故选：D2、C【解析】利用前项积与通项的关系可求得结果.【详解】由已知可得.故选：C.3、C【解析】根据极值点的意义,可知函数的导函数在上有且仅有一个零点.结合零点存在定理,即可求得的取值范围.【详解】函数则因为函数在上有且仅有一个极值点即在上有且仅有一个零点根据函数零点存在定理可知满足即可代入可得解得故选:C【点睛】本题考查了函数极值点的意义,函数零点存在定理的应用,属于中档题.4、A【解析】先找出“双曲线的焦距大于4”的充要条件，再进行判断即可【详解】若的焦距，则；若，则故选：A5、B【解析】根据基本初等函数的导数公式及求导法则求导函数即可.【详解】.故选：B.6、A【解析】根据互斥事件的和的概率公式求解即可.【详解】由表知空气质量为优的概率是，由互斥事件的和的概率公式知，空气质量为良的概率为，所以该城市2017年空气质量达到良或优的概率，故选：A【点睛】本题主要考查了互斥事件，互斥事件和的概率公式，属于中档题.7、B【解析】可根据已知条件，设出公差为，选项A，可借助等比数列的定义使用数列是等差数列，来进行判定；选项B，数列，可以取，即可判断；选项C，可设，表示出再进行判断；选项D，可采用换元，令，求得的关系即可判断.【详解】数列是等差数列，设公差为，选项A，数列是等差数列，那么为常数，又，则数列一定是等比数列，所以选项A正确；选项B，当时，数列不存在，故该选项错误；选项C，数列是等差数列，可设（A、B为常数），此时，，则为常数，故数列一定是等差数列，所以该选项正确；选项D，，则，当时，，此时数列可能是常数数列，故该选项正确.故选：B.8、B【解析】求出两圆的圆心距与半径之和、半径之差比较大小即可得出正确答案.【详解】由可得圆心为，半径，由可得圆心为，半径，所以圆心距为，所以两圆相外切，故选：B.9、D【解析】根据三角形的周长得出，再由椭圆的定义得顶点C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，去掉A，B，C共线的情况，可求得顶点C的轨迹方程.【详解】因为，所以，所以顶点C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，去掉A，B，C共线的情况，即，所以顶点C的轨迹方程是，故选：D.【点睛】本题考查椭圆的定义，由定义求得动点的轨迹方程，求解时，注意去掉不满足的点，属于基础题.10、B【解析】求出圆心坐标和半径后，直接写出圆的标准方程.【详解】由得，即所求圆的圆心坐标为.由该圆过点，得其半径为1，故圆的方程为.故选：B.【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.11、C【解析】建立空间直角坐标系，利用点面距公式求得正确答案.【详解】设分别是的中点，根据正三棱柱的性质可知两两垂直，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，，，.设平面的法向量为，则，故可设，所以点到平面的距离为.故选：C12、D【解析】设，构建空间直角坐标系，令且，求出，，再由向量垂直的坐标表示列方程，结合点P的唯一性有求参数a，即可得结果.【详解】由题设，构建如下图空间直角坐标系，若，则，，且，所以，，又存在唯一的一点P满足，所以，则，故，可得，此时，所以.故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据可求出，再根据向量垂直即可求出，即可得出答案.【详解】因为，，所以，解得，又因为，所以，解得，所以.故答案为：.14、3【解析】由双曲线方程可得，利用双曲线定义，以及直角三角形的勾股定理可得，由此求得答案.【详解】由双曲线的左、右焦点分别为，双曲线左支上点满足，可得:，则，且，故，所以，故，故答案为：315、【解析】先求定义域，再求导，针对分类讨论，结合单调性，极值，最值得到，研究其单调性及其零点，求出结果.【详解】定义域为，，当时，恒成立，在单调递减，不会有两个零点，故舍去；当时，在上，单调递增，在上，单调递减，故，又因为时，，时，，故要想在定义域内有两个零点，则，令，，，单调递增，又，故当时，.故答案为：16、##【解析】把该几何体补成一个正方体，如图，利用正方体的性质证明面面垂直得出直线MB与平面BEF所成的角，然后计算可得【详解】把该几何体补成一个正方体，如图，，连接，由平面，平面，得，同理，又正方形中，，，平面，所以平面，而平面，所以平面平面，所以平面内的直线在平面上的射影是，即是直线MB与平面BEF所成的角，，，，故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）证明见解析【解析】（1）将点代入抛物线方程即可求解；（2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，，将直线方程与抛物线方程联立利用韦达定理即可求出的值;当直线AB的斜率不存在时，由过点即可求出点和点的坐标,即可求出的值.【小问1详解】将点代入得，，∴抛物线的标准方程为.【小问2详解】当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，，将联立得，，由韦达定理得：，，，当直线AB的斜率不存在时，由直线过点,则，，，，综上所述可知，为定值为.18、(1)证明见解析（2）（3）存点，【解析】(1)先证明平面，由平面，可证明结论.(2)以分别为轴，建立空间直角坐标系,分别求出平面与平面的法向量，利用向量法求求解即可.(3)设，,则，则由向量法结合条件可得答案.【详解】（1）在长方体中，,又，所以平面又平面,所以.(2)以分别为轴，建立空间直角坐标系因为，，是棱的中点则则为平面的一个法向量.设为平面的一个法向量.,所以，即取，可得所以如图平面与平面夹角为锐角，所以平面与平面夹角的余弦值为.(3)设，，则由（2）平面的一个法向量设与平面所成角为则解得，取所以存在点，满足条件.19、（1）；（2）.【解析】（1）通过短轴的一个端点到右焦点的距离可知，进而利用离心率的值计算即得结论；（2）设，联立直线与椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，得到根与系数的关系，再利用弦长公式即可得出.【详解】解：（1）由题意可得，解得：，，椭圆C的方程为；（2）设，联立，得，，，，解得.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、韦达定理、弦长公式，属于中档题.20、（1）（2）或【解析】(1)把点的坐标代入方程即可；(2)设直线方程，解联立方程组，消未知数，得到一元二次方程，再利用韦达定理和已知条件求斜率.【小问1详解】因为抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，所以设抛物线方程为又因为点在抛物线C上，所以，解得，所以抛物线的方程为；【小问2详解】抛物线C的焦点为，当直线l的斜率不存在时，，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，设直线l交抛物线的两点坐标为，，由得，，，，由抛物线得定义可知，所以，解得，即，所以直线l的方程为或21、（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】（1）法一：通过建立空间直角坐标系，运用向量数量积证明，法二：通过线面垂直证明，法三:根据三垂线证明；（2）法一：通过建立空间直角坐标系，运用向量数量积证明，法二：通过面面平行证明线面平行；（3）法一：通过建立空间直角坐标系，运用向量方法求解，法二：运用等体积法求解.【小问1详解】证明：法一：在直三棱柱中，因为，以点为坐标原点，方向分别为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.因为，所以，所以所以，所以.法二：连接，在直三棱柱中，有面，面，所以，又，则，因为，所以面因为面，所以因为，所以四边形为正方形，所以因为，所以面因为面，所以.法三：用三垂线定理证明：连接，在直三棱柱中，有面因为面，所以，又，则，因为，所以面所以在平面内的射影为，因为四边形为正方形，所以，因此根据三垂线定理可知【小问2详解】证明：法一：因为为的中点，为的中点，为中点，是与的交点，所以、，依题意可知为重心，则，可得所以，，设为平面的法向量，则即取得则平面的一个法向量为.所以，则，因为平面，所以平面.法二：连接.在正方形中，为的中点，所以且，所以四边形是平行四边形，所以又为中点，所以四边形是矩形，所以且因为且，所以，所以四边形为平行四边形，所以.因为，平面平面平面平面，所以平面平面，平面，所以平面【小问3详解】法一：由（2）知平面的一个法向量，且平面，所以到平面的距离与