2024届四川乐山市数学高二上期末监测试题含解析

2024届四川乐山市数学高二上期末监测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知点是抛物线的焦点，点为抛物线上的任意一点，为平面上点，则的最小值为A.3 B.2C.4 D.2．如果向量，，共面，则实数的值是（）A. B.C. D.3．已知命题：，命题：，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4．将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（）A. B.C. D.5．设满足则的最大值为A. B.2C.4 D.166．若等比数列的前n项和，则r的值为（）A. B.C. D.7．如图，在三棱锥中，，，，点在平面内，且，设异面直线与所成角为，则的最大值为（）A. B.C. D.8．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一.指的是：已知动点与两定点的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，其中，定点为轴上一点，定点的坐标为，若点，则的最小值为（）A. B.C. D.9．已知直线与圆相交于两点，当的面积最大时，的值是（）A. B.C. D.10．设等比数列，有下列四个命题：①{a②是等比数列；③是等比数列；④lgan其中正确命题的个数是（）A.1 B.2C.3 D.411．如图，在棱长为2的正方体中，点P在截面上（含边界），则线段的最小值等于（）A. B.C. D.12．若，则的值为（）A.或 B.或C.1 D.－1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知定点，点在直线上运动，则，两点的最短距离为________14．设函数为奇函数，当时，，则_______15．双曲线的离心率为，则它的一个焦点到一条渐近线的距离为______16．若a，b，c都为正数，，且，，成等比数列，则的最大值为____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知点和直线.（1）求以为圆心，且与直线相切的圆的方程；（2）过直线上一点作圆的切线，其中为切点，求四边形PAMB的面积的最小值.18．（12分）已知椭圆F：经过点且离心率为，直线和是分别过椭圆F的左、右焦点的两条动直线，它们与椭圆分别相交于点A、B和C、D，O为坐标原点，直线AB和直线CD相交于M．记直线的斜率分别为，且（1）求椭圆F的标准方程（2）是否存在定点P，Q，使得为定值．若存在，请求出P、Q的坐标，若不存在，请说明理由19．（12分）已知椭圆的离心率为，短轴长为（1）求椭圆的标准方程；（2）已知，A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点A作斜率为的直线交椭圆于另一点E，连接EP并延长交椭圆于另一点F，记直线BF的斜率为．若，求直线EF的方程20．（12分）自2021年秋季起，江西省普通高中起始年级全面实施新课程改革，为了迎接新高考，某校举行物理和化学等选科考试，其中600名学生化学成绩（满分100分）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组．已知图中前三个组的频率依次构成等差数列，第一组和第五组的频率相同（1）求a，b的值；（2）估算高分（大于等于80分）人数；（3）估计这600名学生化学成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数（中位数精确到0.1）21．（12分）如图1，已知矩形ABCD，，，E，F分别为AB，CD的中点，将ABCD卷成一个圆柱，使得BC与AD重合（如图2），MNGH为圆柱的轴截面，且平面平面MNGH，NG与曲线DE交于点P（1）证明：平面平面MNGH；（2）判断平面PAE与平面PDH夹角与的大小，并说明理由22．（10分）某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限（单位：年）与失效费（单位：万元）的统计数据如下表所示：使用年限（单位：年）1234567失效费（单位：万元）2.903.303.604.404.805.205.90（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系．请用相关系数加以说明；（精确到0.01）（2）求出关于的线性回归方程，并估算该种机械设备使用8年的失效费参考公式：相关系数线性回归方程中斜率和截距最小二乘估计计算公式：，参考数据：，，

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】作垂直准线于点，根据抛物线的定义，得到，当三点共线时，的值最小，进而可得出结果.【详解】如图，作垂直准线于点，由题意可得，显然，当三点共线时，的值最小；因为，，准线，所以当三点共线时，，所以.故选A【点睛】本题主要考查抛物线上任一点到两定点距离的和的最值问题，熟记抛物线的定义与性质即可，属于常考题型.2、B【解析】设，由空间向量的坐标运算可得出方程组，即可解得的值.【详解】由于向量，，共面，设，可得，解得.故选：B.3、B【解析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】因为命题：或，命题：，所以是的必要不充分条件，故选：B4、A【解析】根据三角函数图象的变换，由逆向变换即可求解.【详解】由已知的函数逆向变换，第一步，向左平移个单位长度，得到的图象；第二步，图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，即的图象.故.故选：A5、C【解析】可行域如图,则直线过点A(0,1)取最大值2,则的最大值为4,选C.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.6、B【解析】利用成等比数列来求得.【详解】依题意，等比数列的前n项和，，，所以.故选：B7、D【解析】设线段的中点为，连接，过点在平面内作，垂足为点，证明出平面，然后以点为坐标原点，、、分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，其中，且，求出的最大值，利用空间向量法可求得的最大值.【详解】设线段的中点为，连接，，为的中点，则，，则，，同理可得，，，平面，过点在平面内作，垂足为点，因为，所以，为等边三角形，故为的中点，平面，平面，则，，，平面，以点为坐标原点，、、分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，因为是边长为的等边三角形，为的中点，则，则、、、，由于点在平面内，可设，其中，且，从而，因为，则，所以，，故当时，有最大值，即，故，即有最大值，所以，.故选：D.【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.8、D【解析】设，，根据和求出a的值，由，两点之间直线最短，可得的最小值为，根据坐标求出即可.【详解】设，，所以，由，所以，因为且，所以，整理可得，又动点M的轨迹是，所以，解得，所以，又，所以，因为，所以的最小值，当M在位置或时等号成立.故选：D9、C【解析】利用点到直线的距离公式和弦长公式可以求出的面积是关于的一个式子，即可求出答案.【详解】圆心到直线的距离，弦长为..当，即时，取得最大值.故选：C.10、C【解析】根据等比数列的性质对四个命题逐一分析，由此确定正确命题的个数.【详解】是等比数列可得（为定值）①为常数，故①正确②，故②正确③为常数，故③正确④不一定为常数，故④错误故选C.【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，属于基础题.11、B【解析】根据体积法求得到平面的距离即可得【详解】由题意的最小值就是到平面的距离正方体棱长为2，则，，设到平面的距离为，由得，解得故选：B12、B【解析】求出函数的导数，由方程求解即可.【详解】，，解得或，故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】线段最短，就是说的距离最小，此时直线和直线垂直，可先求的斜率，再求直线的方程，然后与直线联立求交点即可【详解】定点，点在直线上运动，当线段最短时，就是直线和直线垂直，的方程为：，它与联立解得，所以的坐标是，所以，故答案为：14、【解析】由奇函数的定义可得，代入解析式即可得解.【详解】函数为奇函数，当时，，所以.故答案为-1.【点睛】本题主要考查了奇函数的求值问题，属于基础题.15、【解析】根据双曲线离心率为，可得的值，进而可得双曲线焦点到一条渐近线的距离.【详解】由双曲线离心率为，得，即，故双曲线方程为，焦点坐标为，渐近线方程为：，故焦点到渐近线的距离为，故答案为：.16、【解析】由等比数列性质知，即可得，再利用基本不等式求解即可.【详解】由，，成等比数列，得，即又，则，所以，即，即所以，当且仅当时，等号成立，故的最大值为故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）利用到直线的距离求得半径，由此求得圆的方程.（2）结合到直线的距离来求得四边形面积的最小值.【小问1详解】圆的半径，圆的方程为.【小问2详解】由四边形的面积知，当时，面积最小.此时...18、（1）；（2）存在点，使得为定值.【解析】（1）设，，，结合条件即求；（2）由题可设直线方程，利用韦达定理法可得，再结合条件可得点的轨迹方程为，然后利用椭圆的定义即得结论.【小问1详解】设，，，椭圆方程为：，椭圆过点，，解得t=1，所以椭圆F的方程是【小问2详解】由题可得焦点的坐标分别为，当直线AB或CD的斜率不存在时，点M的坐标为或，当直线AB和CD的斜率都存在时，设斜率分别为，点，直线AB为，联立，得则，，同理可得，，因为，所以，化简得由题意，知，所以设点，则，所以，化简得，当直线或的斜率不存在时，点M的坐标为或，也满足此方程所以点在椭圆上，根据椭圆定义可知，存在定点，使得为定值【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用韦达定理法及题设条件求出点M的轨迹方程，再结合椭圆的定义，从而问题得到解决.19、（1）（2）【解析】（1）由离心率得关系，短轴求出，结合关系式解出，可得椭圆的标准方程；（2）设，，过EF的方程为，联立直线与椭圆方程得韦达定理，结合斜率定义和化简得，由在椭圆上代换得，联立韦达定理可求，进而得解；【小问1详解】由题意可得，，，又，解得所以椭圆的标准方程为；【小问2详解】由（1）得，，显然直线EF的斜率存在且不为0，设，，则，都不为和0设直线EF的方程为，由消去y得，显然，则，因为，所以，等式两边平方得①又因为，在椭圆上，所以，②将②代入①可得，即，所以，即，解得或（舍去，此时）所以直线EF的方程为20、（1）（2）90（3）平均值69.5；中位数69.4【解析】（1）由各矩形面积和为1列式即可；（2）由高分频率乘以600即可；（3）由平均数与中位数的估算方法列式即可.【小问1详解】由题意可知：解得小问2详解】高分的频率约为：故高分人数为：【小问3详解】平均值为，设中位数为x，则故中位数为69.421、（1）证明见解析（2）平面PAE与平面PDH夹角大于，理由见解析【解析】（1）由面面垂直证明，然后得证平面MNGH后可得面面垂直；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求出二面角的余弦可得结论【小问1详解】如图O，为圆柱上，下底面的中心，可知，，平面平面MNGH，所以是二面角的平面角，平面平面MNGH，所以，即，，平面MNGH，所以平面MNGH，因为平面PAE，所以平面平面MNGH；【小问2详解】因为，所以得，如图，以为坐标原点，以，,所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则可知，，，，，则，，，，设平面AEP的法向量为，