福建省莆田四中2023-2024学年数学高二上期末教学质量检测模拟试题含解析

福建省莆田四中2023-2024学年数学高二上期末教学质量检测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数．若数列的前n项和为，且满足，，则的最大值为（）A.9 B.12C.20 D.2．若平面的一个法向量为，点，，，，到平面的距离为（）A.1 B.2C.3 D.43．已知实数满足，则的取值范围（）A.-1m B.-1m<0或0<mC.m或m-1 D.m1或m-14．已知是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限5．函数的值域为（）A. B.C. D.6．口袋中装有大小形状相同的红球3个，白球3个，小明从中不放回的逐一取球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为（）A.0.4 B.0.5C.0.6 D.0.757．为了更好地研究双曲线，某校高二年级的一位数学老师制作了一个如图所示的双曲线模型.已知该模型左、右两侧的两段曲线（曲线与曲线）为某双曲线（离心率为2）的一部分，曲线与曲线中间最窄处间的距离为，点与点，点与点均关于该双曲线的对称中心对称，且，则（）A. B.C. D.8．设村庄外围所在曲线的方程可用表示，村外一小路所在直线方程可用表示，则从村庄外围到小路的最短距离为（）A. B.C. D.9．若：，：，则为q的（）A.充分必要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件10．直线的倾斜角为A. B.C. D.11．已知函数对于任意的满足，其中是函数的导函数，则下列各式正确的是（）A. B.C. D.12．设、是椭圆：的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知蜥蜴的体温与阳光照射的关系可近似为，其中为蜥蜴的体温(单位：℃)为太阳落山后的时间(单位：)．当________时，蜥蜴体温的瞬时变化率为14．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为________15．已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线右支上，若线段PF的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，且直线PF的斜率为，则该双曲线的离心率是______16．银行一年定期的存款的利率为p，如果将a元存入银行一年定期，到期后将本利再存一年定期，到期后再存一年定期……，则10年后到期本利共________元三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知圆C的圆心在x轴上，且经过点，.（1）求圆C的标准方程；（2）过斜率为的直线与圆C相交于M，N，两点，求弦MN的长.18．（12分）已知圆.（1）若不过原点的直线与圆相切，且直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；（2）求与圆和直线都相切的最小圆的方程.19．（12分）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，且，，分别为，的中点（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）点在棱上，且，证明：平面20．（12分）已知的展开式中，只有第6项的二项式系数最大（1）求n的值；（2）求展开式中含的项21．（12分）已知圆，圆.（1）试判断圆C与圆M的位置关系，并说明理由；（2）若过点的直线l与圆C相切，求直线l的方程.22．（10分）已知，直线过且与交于两点，过点作直线的平行线交于点（1）求证：为定值，并求点的轨迹的方程；（2）设动直线与相切于点，且与直线交于点，在轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过定点？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】先得到及递推公式，要想最大，则分两种情况，负数且最小或为正数且最大，进而求出最大值.【详解】①，当时，，当时，②，所以①－②得：，整理得：，所以，或，当是公差为2的等差数列，且时，最小，最大，此时，所以，此时；当且是公差为2的等差数列时，最大，最大，此时，所以，此时综上：的最大值为20故选：C【点睛】方法点睛：数列相关的最值求解，要结合题干条件，使用不等式放缩，函数单调性或导函数等进行求解.2、B【解析】求出，点A到平面的距离：，由此能求出结果【详解】解：，，，，∴为平面的一条斜线，且∴点到平面的距离：故选：B.3、C【解析】把看成动点与所确定的直线的斜率，动点在所给曲线上.【详解】就是点，所确定的直线的斜率，而在上，因为，.故选：C4、D【解析】根据复数的几何意义即可确定复数所在象限【详解】复数在复平面内对应的点为则复数在复平面内对应的点位于第四象限故选：D5、C【解析】根据基本不等式即可求出【详解】因为，当且仅当时取等号，所以函数的值域为故选：C6、C【解析】求出第一次取得红球的事件、第一次取红球第二次取白球的事件概率，再利用条件概率公式计算作答.【详解】记“第一次取得红球”为事件A，“第二次取得白球”为事件B，则，，于是得，所以在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为0.6.故选：C7、D【解析】依题意以双曲线的对称中心为坐标原点建系，设双曲线的方程为，根据已知求得，点纵坐标代入计算即可求得横坐标得出结果.【详解】以双曲线的对称中心为坐标原点，建立平面直角坐标系，因为双曲线的离心率为2，所以可设双曲线的方程为，依题意可得，则，即双曲线的方程为.因为，所以的纵坐标为18.由，得，故.故选：D.8、B【解析】求出圆心到直线距离，减去半径即为答案.【详解】圆心到直线的距离，则从村庄外围到小路的最短距离为故选：B9、D【解析】根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】解：因为：，：，所以，所以为q的既不充分又不必要条件.故选：D.10、B【解析】分析出直线与轴垂直，据此可得出该直线的倾斜角.【详解】由题意可知，直线与轴垂直，该直线的倾斜角为.故选：B.【点睛】本题考查直线的倾斜角，关键是掌握直线倾斜角的定义，属于基础题11、C【解析】令，结合题意可得，利用导数讨论函数的单调性，进而得出，变形即可得出结果.【详解】令，则，又，所以，令，令，所以函数在上单调递减，在单调递增，所以，即，则.故选：C12、C【解析】如下图所示，是底角为的等腰三角形，则有所以，所以又因为，所以，，所以所以答案选C.考点：椭圆的简单几何性质.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、5【解析】求得导函数，令，计算即可得出结果.【详解】，，令，得：.解得：.时刻min时，蜥蜴的体温的瞬时变化率为故答案为：5.14、9【解析】根据椭圆的定义可得，结合基本不等式即可求得的最大值.【详解】∵在椭圆上∴∴根据基本不等式可得，即，当且仅当时取等号.故答案为：9.15、3【解析】如图利用条件可得，，然后利用双曲线的定义可得，即求.【详解】如图设双曲线的右焦点为，线段PF的中点为M，连接，则，又直线PF的斜率为，∴在直角三角形中，，∴，∴，即，∴.故答案：3.16、【解析】根据题意求出每年底的本利和，归纳即可.【详解】由题意知，第一年本利和为：元，第二年本利和为：元，第三年本利和为：元，以此类推，第十年本利和为：元，故答案：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）由圆的性质可得圆心在线段的垂直平分线上，由题意求出的垂直平分线方程，从而得出圆心坐标，再求出半径，得到答案.（2）由题意先求出满足条件的直线方程，求出圆心到直线的距离，由垂经定理可得圆的弦长.【小问1详解】由题意设圆C的标准方程为设的中点为，则,由圆的性质可得则,又，所以则直线的方程为，即则圆C的圆心在直线上，即，故所以圆心,半径所以圆C的标准方程为【小问2详解】过斜率为的直线方程为：圆心到该直线的距离为所以18、（1）或；（2）.【解析】（1）根据题意设出直线的方程，然后根据直线与圆相切，即可求出答案；（2）首先根据题意判断出最小圆的圆心在直线上，且最小圆的半径为，然后设出最小圆的圆心为，则圆心到直线的距离为，从而可求出答案.【小问1详解】因为直线不过原点，设直线的方程为，圆的标准方程为，若直线与圆相切，则，即，解得或者3，所以直线的方程为或者；【小问2详解】因为，所以直线与圆相离，所以所求最小圆的圆心一定在圆的圆心到直线的垂线段上，即最小圆的圆心在直线上，且最小圆的半径为，设最小圆的圆心为，则圆心到直线的距离为，所以，即，解得(舍)或，所以最小的圆的方程为.19、（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）证明见解析【解析】（Ⅰ）证明和得到平面.（Ⅱ）根据相似得到证明平面.【详解】（Ⅰ）如图，连接.∵底面为菱形，且，∴三角形正三角形.∵为的中点，∴.又∵平面，平面，∴.∵，平面，∴平面.（Ⅱ）连接交于点，连接.∵为的中点，∴在底面中，，∴.∴，∴在三角形中，.又∵平面，平面，∴平面.【点睛】本题考查了线面垂直和线面平行，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.20、（1）10；（2）；【解析】(1)利用二项式系数的性质即可求出的值；(2)求出展开式的通项公式，然后令的指数为即可求解【小问1详解】∵的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，∴展开后一共有11项，则，解得；【小问2详解】二项式的展开式的通项公式为，令，解得，∴展开式中含的项为21、（1）圆C与圆M相交，理由见解析（2）或【解析】（1）利用圆心距与半径的关系即可判断结果；（2）讨论，当直线l的斜率不存在时则方程为，当直线l的斜率存在时，设其方程为，利用圆心到直线的距离等于半径计算即可得出结果.【小问1详解】把圆M的方程化成标准方程，得，圆心为，半径.圆C的圆心为，半径，因为，所以圆C与圆M相交，【小问2详解】①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为到圆心C距离为2，满足题意；②当直线l的斜率存在时，设其方程为，由题意得，解得，故直线l的方程为.综上，直线l的方程为或.22、（1）证明见解析，（）（2）存在