福建省长乐中学2023-2024学年高二数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析

福建省长乐中学2023-2024学年高二数学第一学期期末学业水平测试模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线的方程为，则下列关于双曲线说法正确的是（）A.虚轴长为4 B.焦距为C.焦点到渐近线的距离为4 D.渐近线方程为2．一物体做直线运动，其位移(单位:)与时间(单位:)的关系是，则该物体在时的瞬时速度是A. B.C. D.3．设等差数列的前n项和为，，公差为d，，，则下列结论不正确的是（）A. B.当时，取得最大值C. D.使得成立的最大自然数n是154．在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0，则含的项的系数为（）A.-20 B.-15C.-6 D.155．已知函数的导函数满足，则（）A. B.C.3 D.46．19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则b的值为（）A. B.C. D.7．在等比数列中，，是方程的两个实根，则（）A.-1 B.1C.-3 D.38．已知，，，则最小值是（）A.10 B.9C.8 D.79．在等比数列中，，且，则t＝（）A.-2 B.－1C.1 D.210．如图，正方形与矩形所在的平面互相垂直，在上，且平面，则M点的坐标为（）A. B.C. D.11．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是A. B.C D.12．已知，则下列不等式一定成立的是（）A B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为，则密码被成功破译的概率_________14．等比数列中，，，则数列的公比为____.15．设公差的等差数列的前项和为，已知，且，，成等比数列，则的最小值为______16．已知一个样本数据为3，3，5，5，5，7，7，现在新加入一个3，一个5，一个7得到一个新样本，则与原样本数据相比，新样本数据平均数______，方差______.（“变大”、“变小”、“不变”）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知斜率为的直线与椭圆：交于，两点（1）若线段的中点为，求的值；（2）若，求证：原点到直线的距离为定值18．（12分）已知点到两个定点的距离比为（1）求点的轨迹方程；（2）若过点的直线被点的轨迹截得的弦长为，求直线的方程19．（12分）设函数.（1）求在处的切线方程；（2）求的极小值点和极大值点.20．（12分）已知椭圆F：经过点且离心率为，直线和是分别过椭圆F的左、右焦点的两条动直线，它们与椭圆分别相交于点A、B和C、D，O为坐标原点，直线AB和直线CD相交于M．记直线的斜率分别为，且（1）求椭圆F标准方程（2）是否存在定点P，Q，使得为定值．若存在，请求出P、Q的坐标，若不存在，请说明理由21．（12分）已知椭圆C与椭圆有相同的焦点，且长轴长为4（1）求C的标准方程；（2）直线，分别经过点与C相切，切点分别为A，B，证明：22．（10分）设函数，其中是自然对数的底数，.（1）若，求的最小值；（2）若，证明：恒成立.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据双曲线的性质逐一判断即可.【详解】在双曲线中，焦点在轴上，，，，所以虚轴长为6，故A错误；焦距为，故B错误；渐近线方程为，故D正确；焦点到渐近线的距离为，故C错误；故选：D.2、A【解析】先对求导，然后将代入导数式，可得出该物体在时的瞬时速度【详解】对求导，得，，因此，该物体在时的瞬时速度为，故选A【点睛】本题考查瞬时速度的概念，考查导数与瞬时变化率之间的关系，考查计算能力，属于基础题3、D【解析】根据等差数列等差中项的性质，求和公式及单调性分别判断.【详解】因为，，所以，则，故A正确;当时,取得最大值，故B正确;，故C正确;因为，，，所以使得成立的最大自然数是，故D错误.故选：D4、C【解析】先由只有第4项的二项式系数最大，求出n=6；再由展开式的所有项的系数和为0，用赋值法求出,用通项公式求出的项的系数.【详解】∵在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，∴在的展开式有7项，即n=6；而展开式的所有项的系数和为0，令x=1，代入，即，所以.∴是展开式的通项公式为：，要求含的项，只需，解得，所以系数为.故选：C5、C【解析】先对函数求导，再由，可求出的关系式，然后求【详解】由，得，因为，所以，所以，故选：C6、B【解析】由题意求出蒙日圆方程，再由两圆只有一个交点可知两圆相切，从而列方程可求出b的值【详解】由题意可得椭圆的蒙日圆的半径，所以蒙日圆方程为，因为圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，所以两圆相切，所以，解得，故选：B7、B【解析】由韦达定理可知，结合等比中项的性质可求出.【详解】解：在等比数列中，由题意知：，，所以，，所以且，即.故选：B.8、B【解析】利用题设中的等式，把的表达式转化成展开后，利用基本不等式求得的最小值【详解】∵，，，∴＝，当且仅当，即时等号成立故选：B9、A【解析】先求出，利用等比中项求出t.【详解】在等比数列中，，且，所以所以，即，解得：.当时，，不符合等比数列的定义，应舍去，故.故选：A.10、A【解析】设点的坐标为，由平面,可得出，利用空间向量数量积为0求得、的值，即可得出点的坐标.【详解】设点的坐标为，,,，，则，,，平面,即，所以，，解得，所以，点的坐标为，故选：A.11、B【解析】构造函数，可知函数为奇函数，利用导数分析出函数在上的单调性，并得出，然后分别在和解不等式，由此可得出不等式的解集.【详解】构造函数，该函数的定义域为，由于函数为上的奇函数，则，所以，函数为上的奇函数，且，，.当时，，此时，函数单调递增，由，可得，解得；当时，则函数单调递增，由，可得，解得.综上所述，使得成立的的取值范围是.故选：B.【点睛】本题考查利用函数的单调性求解函数不等式，根据导数不等式的结构构造合适的函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12、B【解析】运用不等式的性质及举反例的方法可求解.【详解】对于A，如，满足条件，但不成立，故A不正确；对于B，因为，所以，所以，故B正确；对于C，因为，所以，所以不成立，故C不正确；对于D，因为，所以，所以，故D不正确.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据题意，由相互独立事件概率的乘法公式可得密码没有被破译的概率，进而由对立事件的概率性质分析可得答案【详解】解：根据题意，甲乙两人能成功破译的概率分别是，，则密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码概率，故该密码被成功破译的概率故答案为：14、【解析】根据等比数列的定义，结合已知条件，代值计算即可求得结果.【详解】因为是等比数列，设其公比为，又，，故可得，解得.故答案为：.15、##0.4【解析】应用等比中项的性质及等差数列通项公式求公差d，进而写出等差数列的通项公式、前n项和公式，再求目标式的最小值.【详解】由题设，，则，整理得，又，解得，故，，所以，故当时目标式有最小值为.故答案为：16、①.不变②.变大【解析】通过计算平均数和方差来确定正确答案.【详解】原样本平均数为，原样本方差为，新样本平均数为，新样本方差为.所以平均数不变，方差变大.故答案为：不变；变大三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）设出两点的坐标，利用点差法即可求出的值；（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，写韦达；根据，求出，从而可证明原点到直线的距离为定值【小问1详解】设，则，，两式相减，得，即，所以，即，又因为线段的中点为，所以，即；【小问2详解】设斜率为的直线为，，由，得，所以，，因为，所以，即，所以，所以，即，所以，原点到直线的距离为.所以原点到直线的距离为定值.18、（1）（2）或【解析】（1）设出，表达出，直接法求出轨迹方程；（2）在第一问的基础上，先考虑直线斜率不存在时是否符合要求，再考虑斜率存在时，设出直线方程，表达出圆心到直线的距离，利用垂径定理列出方程，求出直线方程.【小问1详解】设,则，，故，两边平方得：【小问2详解】当直线斜率不存在时，直线为，此时弦长为，满足题意；当直线斜率存在时，设直线，则圆心到直线距离为，由垂径定理得：，解得：，此时直线的方程为，综上：直线的方程为或.19、（1）；（2）极大值点，极小值点.【解析】（1）求函数的导数，利用函数的导数求出切线的斜率，结合切点坐标，然后求解切线方程；（2）利用导数研究f(x)的单调性，判断函数的极值点即可【小问1详解】函数，函数的导数为，，在处的切线方程：，即【小问2详解】令，，解得，当时，可得，即的单调递减区间，或，可得，∴函数单调递增区间，，的极大值点，极小值点20、（1）；（2）存在点，使得为定值.【解析】（1）设，，，结合条件即求；（2）由题可设直线方程，利用韦达定理法可得，再结合条件可得点的轨迹方程为，然后利用椭圆的定义即得结论.【小问1详解】设，，，椭圆方程为：，椭圆过点，，解得t=1，所以椭圆F的方程是【小问2详解】由题可得焦点的坐标分别为，当直线AB或CD的斜率不存在时，点M的坐标为或，当直线AB和CD的斜率都存在时，设斜率分别为，点，直线AB为，联立，得则，，同理可得，，因为，所以，化简得由题意，知，所以设点，则，所以，化简得，当直线或的斜率不存在时，点M的坐标为或，也满足此方程所以点在椭圆上，根据椭圆定义可知，存在定点，使得为定值【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用韦达定理法及题设条件求出点M的轨迹方程，再结合椭圆的定义，从而问题得到解决.21、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）根据共焦点求出参数c，由长轴长求参数a，即可确定C的标准方程；（2）令过切线为，联立椭圆C结合得到关于k的一元二次方程，根据根与系数关系即可证明结论.【小问1详解】由题设，对于椭圆C有，又椭圆的焦点为，则，所以，故C的标准方程.【小问2详解】由题设，直线，的斜率必存在，令椭圆C的切线方程为，联立椭圆方程并整理可得：，由相切关系知：，整理得：，所以，即直线，相互垂直，则.22、（1）（2）证明见解析【解析】（1）当时，，求出，可得答案；