2024届新教材一轮复习人教A版 数列求和及数列的综合应用 课件（49张）

第四讲数列求和及数列的综合应用

第六章

数列考法帮·解题能力提升考法1数列求和考法2等差、等比数列的综合问题考法3数列与其他知识综合考法4数列的实际应用高分帮·“双一流”名校冲刺提素养∙数学文化提能力∙数学探索数学探索数列的新定义问题数学文化

数列与数学文化

考情解读考点内容课标要求考题取样情境载体对应考法预测热度核心素养1.数列求和掌握2020全国Ⅰ,T17课程学习考法1★★★数学运算2.等差、等比数列的综合应用掌握2020江苏,T11探索创新考法2★★★逻辑推理数学运算3.数列的综合应用掌握2017全国Ⅰ,T12生活实践考法4★★☆逻辑推理数学运算

考情解读命题分析预测

从近几年的高考情况来看,本讲是高考的热点,其中等差、等比数列的通项与求和,数列与函数、不等式的综合,以数学文化为背景的数列题是高考命题的热点,多以解答题的形式呈现,难度中等.在2022年的高考备考中,既要注重常规考法,也要注重数列与其他知识的综合创新,对于2020年的高考中出现的结构不良试题,复习备考的过程中也要注意训练.考法1数列求和考法2等差、等比数列的综合问题考法3数列与其他知识综合考法4数列的实际应用考法帮·解题能力提升

考法1

等比数列求和

考法1

等比数列求和

考法1

等比数列求和

考法1

等比数列求和

考法1

等比数列求和

考法1

等比数列求和

命题角度2用错位相减法求和示例2[2020全国卷Ⅰ,17,12分][理]设{an}是公比不为1的等比数列,a1为a2,a3的等差中项.(1)求{an}的公比;(2)若a1=1,求数列{nan}的前n项和.解析(1)设{an}的公比为q(q≠1),由题设得2a1=a2+a3,即2a1=a1q+a1q2.所以q2+q-2=0,解得q=-2.故{an}的公比为-2.

考法1

等比数列求和

考法1

等比数列求和

方法技巧1.用错位相减法求和的策略和技巧(1)适用的数列类型:{anbn},其中数列{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列.(2)求解思路:设Sn=a1b1+a2b2+…+anbn

①,则qSn=a1b2+a2b3+…+an-1bn+anbn+1

②,①-②得(1-q)Sn=a1b1+d(b2+b3+…+bn)-anbn+1,进而可利用公式法求和.

考法1

等比数列求和

2.注意解题“3关键”(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形.(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比q=1和q≠1两种情况求解.3.谨防解题“2失误”(1)两式相减时最后一项忘记变号.(2)对相减后的和式的结构认识模糊,错把中间的(n-1)项和当作n项和.

考法1

等比数列求和

考法1

等比数列求和

考法1

等比数列求和

方法技巧1.利用裂项相消法求和的基本步骤2.裂项原则:一般是前边裂几项,后边就裂几项,直到发现被消去项的规律为止.3.消项规律:消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项.

考法1

等比数列求和

注意

利用裂项相消法求和时,既要注意检验裂项前后是否等价,又要注意求和时正负项相消后消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项.4.常见数列的裂项方法数列(n为正整数)裂项方法

考法1

等比数列求和

考法1

等比数列求和

考法1

等比数列求和

考法1

等比数列求和

考法1

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考法1

等比数列求和

考法1

等比数列求和

考法1

等比数列求和

方法技巧

用并项求和法求数列的前n项和一般是指把数列的一些项合并组成我们熟悉的等差数列或等比数列来求和.可用并项求和法的常见类型:一是数列的通项公式中含有绝对值符号;二是数列的通项公式中含有符号因子“(-1)n”,如Sn=1002-992+982-972+…+22-12=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5050,可采用两项合并求解;三是数列{an}是周期数列.

考法2

等差、等比数列的综合问题示例6数列{an}的前n项和记为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1).(1)求{an}的通项公式;(2)等差数列{bn}的各项为正,其前n项和为Tn,且T3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列,求Tn.思维导引(1)根据已知的递推关系求{an}的通项公式;(2)根据等比关系列方程求公差,则前n项和Tn易求..

考法2

等差、等比数列的综合问题

考法2

等差、等比数列的综合问题

考法3

数列与其他知识综合命题角度1数列与函数综合示例7[2020大庆二模]设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈[0,1)时,f(x)=sinπx.当x∈[0,+∞)时,将函数f(x)的极大值点从小到大依次记为a1,a2,a3,…,an,…,并记相应的极大值为b1,b2,b3,…,bn,…,则数列{an+bn}的前9项和为

.

思维导引正确理解类周期函数所满足的关系式f(x+1)=2f(x)的意义,求出x∈[1,2)时f(x)的解析式,从而推出x∈[n-1,n)时f(x)的解析式,进而得解.

考法3

数列与其他知识综合

考法3

数列与其他知识综合

考法3

数列与其他知识综合方法技巧

数列与函数的综合问题的解题策略(1)已知函数条件,解决数列问题,一般利用函数的性质、图象等进行研究.(2)已知数列条件,解决函数问题,一般要充分利用数列的有关公式对式子化简变形.(3)解题时要注意数列与函数的内在联系,灵活运用函数的思想方法求解.注意数列是自变量为正整数的特殊函数.

考法3

数列与其他知识综合

考法3

数列与其他知识综合

考法3

数列与其他知识综合方法技巧1.数列与不等式的综合问题的解题策略(1)判断数列问题中的一些不等关系,可以利用数列的单调性或者是借助数列对应的函数的单调性求解.(2)对于与数列有关的不等式的证明问题,则要灵活选择不等式的证明方法,如比较法、综合法、分析法、放缩法等,有时需构造函数,利用函数的单调性,最值来证明.

考法3

数列与其他知识综合

考法3

数列与其他知识综合

考法4

数列的实际应用示例9实施“二孩”政策后,专家估计某地区人口总数将发生如下变化:从2021年开始到2030年,每年人口总数比上一年增加0.5万人,从2031年开始到2040年,每年人口总数为上一年的99%.已知该地区2020年人口总数为45万.(1)求实施“二孩”政策后第n年的人口总数an(单位:万人)的表达式(记2021年为第一年);(2)若“二孩”政策实施后,2021年到2040年人口平均值超过49万,则需调整政策,否则继续实施,问到2040年结束后是否需要调整政策?(参考数据:0.9910≈0.9)

考法4

数列的实际应用

考法4

数列的实际应用

考法4

数列的实际应用

考法4

数列的实际应用方法技巧1.数列在实际应用中的常见模型(1)等差模型:如果增加(或减少)的量是一个固定的数,则该模型是等差模型,这个固定的数就是公差.(2)等比模型:如果后一个量与前一个量的比是一个固定的非零常数,则该模型是等比模型,这个固定的数就是公比.(3)递推数列模型:如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定,随项的变化而变化,则应考虑考查的是第n项an与第(n+1)项an+1(或者相邻三项等)之间的递推关系还是前n项和Sn与前(n+1)项和Sn+1之间的递推关系.

考法4

数列的实际应用2.解答数列实际应用题的步骤(1)审题:仔细阅读题目,认真理解题意.(2)建模:将已知条件翻译成数列语言,将实际问题转化成数学问题,分清数列是等差数列、等比数列,还是递推数列,是求通项还是求前n项和.(3)求解:求出该问题的数学解.(4)还原:将所求结果还原到实际问题中.

考法4

数列的实际应用素养提升

数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.有关数列的应用问题,是为了让学生能够在实际情境中,用数学的思想分析数列问题,用数学的语言表达数列问题,用数学的知识构建数列模型,用数列的方法得出结论,并验证数学结论与实际问题是否相符合,最终得到符合实际规律的结果.高分帮·“双一流”名校冲刺提能力∙数学探索数学探索互嵌式数列组问题的解题策略提素养∙数学文化数学文化数列与数学文化数学探索数列的新定义问题

示例10[2016全国卷Ⅱ,17,12分][理]Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28.记bn=[lgan],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg99]=1.(1)求b1,b11,b101;(2)求数列{bn}的前1000项和.思维导引关键信息信息转化Sn为等差数列{an}的前n项和,a1=1,S7=28可以求得数列{an}的通项公式bn=[lgan],[x]的定义可以分别求解b1,b2,b3,…,b1000数列{bn}的前1000项和分组求和数学探索数列的新定义问题

解析

(1)设{an}的公差为d,据已知有7+21d=28,解得d=1