（辅导班）2026年新高三数学暑假讲义(基础班)第16讲 极值与最值（解析版）

第页第16讲极值与最值知识点一：极值与最值1、函数的极值函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．求可导函数极值的一般步骤（1）先确定函数的定义域；（2）求导数；（3）求方程的根；（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．注：①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号．②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点．2、函数的最值函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．导函数为（1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．（2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：（1）求在内的极值（极大值或极小值）；（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；③函数的最值必在极值点或区间端点处取得．【解题方法总结】（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则不等式在区间D上恒成立．不等式在区间D上恒成立．（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解不等式在区间D上有解（5）对于任意的，总存在，使得；（6）对于任意的，总存在，使得；（7）若存在，对于任意的，使得；（8）若存在，对于任意的，使得；（9）对于任意的，使得；（10）对于任意的，使得；（11）若存在，总存在，使得（12）若存在，总存在，使得．题型一：求函数的极值与极值点【例题1-1】已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（

）A．B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值D．函数的最小值为【答案】C【解析】由题图可知，当时，，所以函数在上单调递增，又a<b<c，所以，故A不正确．因为，，且当时，；当c<x<e时，；当x>e时，．所以函数在x＝c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x＝e处取得极小值，不一定是最小值，故B不正确，C正确．由题图可知，当时，，所以函数在[d，e]上单调递减，从而，所以D不正确．故选：C．【变式1-1】已知函数的导函数为，则“在上有两个零点”是“在上有两个极值点”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】只有当在上有两个变号零点时，在上才有两个极值点，故充分性不成立；若在上有两个极值点，则在上有两个变号零点，则在上至少有两个零点，故必要性不成立.综上，“在上有两个零点”是“在上有两个极值点”的既不充分也不必要条件，故选：D.【解题方法总结】1、因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．2、原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．题型二：根据极值、极值点求参数【例题2-1】已知函数在处取得极大值4，则（

）A．8B．C．2D．【答案】B【解析】因为，所以，所以，解得，经检验，符合题意，所以.故选：B【变式2-1】若函数无极值，则的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，因为无极值，所以，解得，所以a的取值范围为．故选：A.【变式2-2】已知函数在处取得极小值，则实数的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为函数，则，要使函数在处取得极小值，则，故选：B.【变式2-3】已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】的定义域是，，令，所以在区间递减；在区间递增.要使有两个极值点，则，此时，构造函数，所以在上递增，所以，所以，所以实数a的取值范围.故选：D【变式2-4】若x＝a是函数的极大值点，则a的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，令，得：当，即，此时在区间单调递增，上单调递减，上单调递增，符合x＝a是函数的极大值点，反之，当，即，此时在区间单调递增，上单调递减，上单调递增，x＝a是函数的极小值点，不符合题意；当，即，恒成立，函数在上单调递增，无极值点.综上得：.故选：A.【解题方法总结】根据函数的极值（点）求参数的两个要领（1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；（2）验证：求解后验证根的合理性．题型三：求函数的最值（不含参）【例题3-1】已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求在区间上的最大值；【解析】（1）因为，所以，则，又，所以曲线在点处的切线方程为.（2）令，则，当时，，在上单调递增.因为，，所以，使得.所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，又，，所以.【变式3-1】已知函数在区间上最大值为M，最小值为m，则的值是_____.【答案】【解析】由题意，，，在上，故函数单调递增，所以，，，故的值是.故答案为：【变式3-2】已知，且，则的最小值为__________.【答案】1【解析】因为，，所以，所以，且，所以，设，，则，因为，所以，在上为增函数，因为，所以，则，所以，所以，令，则，令，则，则在上为增函数，令得，即，则存在唯一实数，使得，即，所以当时，，，当时，，，所以在上为减函数，在上为增函数，所以.所以的最小值为.故答案为：.【变式3-3】已知正实数，满足：，则的最小值为______.【答案】【解析】由可得：,所以，，设，，所以在上单调递增，所以，则，所以，所以，所以，令，令，解得：；令，解得：；所以在上单调递减，在上单调递增，所以.故的最小值为.故答案为：.【解题方法总结】求函数在闭区间上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值，与的各极值进行比较得到函数的最值．题型四：求函数的最值（含参）【例题4-1】已知函数，．讨论函数的最值；【解析】函数的定义域为，，当时，，在上单调递增，无最值；当时，令，得，所以在上单调递减；令，得，所以在单调递增，所以的最小值为，无最大值．综上，当时，无最值；当时，的最小值为，无最大值．【变式4-1】已知函数．(1)当时，讨论函数在上的单调性；(2)当时，求在内的最大值；【解析】（1）当时，，，且．当时，，，则，即，故函数在上单调递增．（2），令，则，由且，可得，，则，在内单调递增，所以，又当时，，所以，在内单调递增，故．【解题方法总结】若所给的闭区间含参数，则需对函数求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值．题型五：根据最值求参数【例题5-1】若函数在区间上存在最小值，则整数的取值可以是______．【答案】（答案不唯一，、均可）【解析】因为，则.由可得，由可得或，所以，函数的减区间为，增区间为、，所以，函数的极大值为，极小值为，令，其中，则，解得，因为函数在区间上存在最小值，则，解得，所以，整数的取值集合为.故答案为：（答案不唯一，、均可）.【变式5-1】若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围为________.【答案】【解析】，所以在和上，，函数单调递减；在上，，函数单调递增；且当时，，，即，所以在区间上有最小值，则：解得.故答案为：【变式5-2】已知函数，若函数在上存在最小值.则实数的取值范围是________.【答案】【解析】，，当时，，单调递减；当或时，，单调递增，∴在处取得极小值，在处取得极大值.令，解得或，又∵函数在上存在最小值，且为开区间，所以，解得.即的取值范围是.故答案为：.题型六：函数单调性、极值、最值得综合应用【例题6-1】已知函数，其中．(1)当时，求函数在内的极值；(2)若函数在上的最小值为5，求实数的取值范围．【解析】（1）由题意得，当时，，则，令，得，，，在内随x变化而变化的情况如下表所示：x1+0单调递增极大值9单调递减故在内的极大值为9，无极小值；（2），①当时，，且不恒为0，所以函数在区间上单调递增，所以在上，，由题意，则，解得，与矛盾，②当时，，且不恒为0，所以函数在区间上单调递减，所以在上，，符合题意，③当时，当时，，函数在区间上单调递减，当时，，函数在区间上单调递增，所以在上，，由题意，则，即，即，即，解得或，与矛盾，综上，实数a的取值范围为．【变式6-1】已知．(1)求函数在内的极值点；(2)求函数在上的最值．【解析】（1）由得．令，解得，，即，．又，所以，．，随x变化而变化的情况如下表所示：x+0-0+↑极大值↓极小值↑所以函数在内的极大值点为，极小值点为．（2）由题知．，记，则．因为，所以，又，所以，所以函数单调递增，，所以当时，，即，函数单调递减；当时，，即，函数单调递增．，，，显然，所以函数在上的最小值为，最大值为．题型七：不等式恒成立与存在性问题【例题7-1】若存在，使得不等式成立，则m的取值范围为______【答案】【解析】存在，要使成立，即，，令，，即，又，设，，则，则在内单调递增，，则，在内单调递增，，故m的取值范围为．故答案为：.【变式7-1】已知函数，是上的奇函数，当时，取得极值．(1)求函数的单调区间和极大值；(2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围；(3)若对任意，，都有成立，求实数的取值范围．【解析】（1）是上的奇函数，，即，得恒成立，可得，即，又当时，取得极值，，解得，故函数，导函数，令解得，当或时，，当时，，单调增区间为和，单调减区间为，故当时，取到极大值（2），对任意，都有成立，只需在时恒成立，构造函数，，则有，令可得或，当时，，单调递减当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，取到极大值，又，故的最大值为8，故实数的取值范围为：；（3）若对任意，，都有成立，即在区间上的最大值都小于或等于的最小值，由（1）可知：当时，单调递减，当时，单调递增，故当时，函数取到极小值，也是该区间的最小值，而为开口向上的抛物线，对称轴为，故当时取最大值，由，解得，故实数的取值范围为：【解题方法总结】在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数．第16讲极值与最值1．函数的极小值点为（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为定义域为，所以，令得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得极小值．故选：D2．已知函数，则（

）A．有一个极值点B．有两个零点C．点（0，1）是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线【答案】C【解析】由题，，令得或，令得，所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A错误；因，，，所以，函数在上有一个零点，当时，，即函数在上无零点，综上所述，函数有一个零点，故B错误；令，该函数的定义域为，，则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心，故C正确；令，可得，又，当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.故选：C.3．若在和处有极值，则函数的单调递增区间是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，由已知得，解得，所以，所以，由，解得，所以函数的单调递增区间是.故选：C．4．当时，函数取得最小值，则（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，函数取得最小值，所以，所以，得，又，根据函数在处取得最值，所以即得，所以，.故选：C.5．（多选）函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（

）A．在上函数为增函数B．在上函数为增函数C．在上函数有极大值D．是函数在区间上的极小值点【答案】AC【解析】根据图象判断出的单调区间、极值（点）.由图象可知在区间和上，递增；在区间上，递减.所以A选项正确，B选项错误.在区间上，有极大值为，C选项正确.在区间上，是的极小值点，D选项错误.故选：AC6．（多选）设函数的导函数为，则（

）A．B．是函数的极值点