河北省鸡泽一中2023年数学高二上期末联考模拟试题含解析

河北省鸡泽一中2023年数学高二上期末联考模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在等比数列中，是和的等差中项，则公比的值为（）A.－2 B.1C.2或－1 D.－2或12．若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为（）A. B.C. D.3．一质点从出发，做匀速直线运动，每秒的速度为秒后质点所处的位置为（）A. B.C. D.4．在条件下，目标函数的最大值为2，则的最小值是（）A.20 B.40C.60 D.805．已知为虚数单位，复数是纯虚数，则（）A. B.4C.3 D.26．过点P(2，1)作直线l，使l与双曲线－y2＝1有且仅有一个公共点，这样的直线l共有A.1条 B.2条C.3条 D.4条7．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，.若双曲线M的右支上存在点P，使，则双曲线M的离心率的取值范围为（）A. B.C. D.8．函数的图像大致是（）A B.C. D.9．长方体中，，，，为侧面内（含边界）的动点，且满足，则四棱锥体积的最小值为（）A. B.C. D.10．直线分别交坐标轴于A，B两点，O为坐标原点，三角形OAB的内切圆上有动点P，则的最小值为（）A.16 B.18C.20 D.2211．设函数，则（）A.4 B.5C.6 D.712．若函数在区间上有两个极值点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．等差数列前项之和为，若，则________14．某工厂的某种型号的机器的使用年限和所支出的维修费用（万元）有下表的统计资料：23456223.85.56.57.0根据上表可得回归直线方程，则=_____.15．已知球的半径为3，则该球的体积为_________.16．函数单调增区间为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）用长度为80米的护栏围出一个一面靠墙的矩形运动场地，如图所示，运动场地的一条边记为（单位：米），面积记为（单位：平方米）（1）求关于的函数关系；（2）求的最大值18．（12分）求证：（1）是上的偶函数；（2）是上的奇函数.19．（12分）已知直线经过椭圆的右焦点，且椭圆C的离心率为（1）求椭圆C的标准方程；（2）以椭圆的短轴为直径作圆，若点M是第一象限内圆周上一点，过点M作圆的切线交椭圆C于P，Q两点，椭圆C的右焦点为，试判断的周长是否为定值．若是，求出该定值20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别是，点P是椭圆C上任一点，若面积的最大值为，且离心率（1）求C的方程；（2）A，B为C的左、右顶点，若过点且斜率不为0的直线交C于M，N两点，证明：直线与的交点在一条定直线上21．（12分）已知圆，圆.（1）试判断圆C与圆M的位置关系，并说明理由；（2）若过点的直线l与圆C相切，求直线l的方程.22．（10分）已知椭圆过点，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过作斜率分别为的两条直线，分别交椭圆于点，且，证明：直线过定点.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由题可得，即求.【详解】由题意，得，所以，因为，所以，解得或.故选：D.2、B【解析】求得倾斜角的正切值即得【详解】k=tan120°=.故选：B3、A【解析】利用空间向量的线性运算即可求解.【详解】2秒后质点所处的位置为.故选：A【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，考查了基本知识掌握的情况以及学生的综合素养，属于基础题.4、C【解析】首先画出可行域，找到最优解，得到关系式作为条件，再去求的最小值.【详解】画出的可行域，如下图：由得由得；由得；目标函数取最大值时必过N点，则则（当且仅当时等号成立）故选：C5、C【解析】化简复数得，由其为纯虚数求参数a，进而求的模即可.【详解】由纯虚数，∴，解得：，则，故选：C6、B【解析】利用几何法，结合双曲线的几何性质，得出符合条件的结论.【详解】由双曲线的方程可知其渐近线方程为y＝±x，则点P(2，1)在渐近线y＝x上，又双曲线的右顶点为A(2，0)，如图所示．满足条件的直线l有两条：x＝2，y－1＝－(x－2)【点睛】该题考查的是有关直线与双曲线的公共点有一个的条件，结合双曲线的性质，结合图形，得出结果，属于中档题目.7、A【解析】利用三角形正弦定理结合，用a，c表示出，再由点P的位置列出不等式求解即得.【详解】依题意，点P不与双曲线顶点重合，在中，由正弦定理得：，因，于是得，而点P在双曲线M的右支上，即，从而有，点P在双曲线M的右支上运动，并且异于顶点，于是有，因此，，而，整理得，即，解得，又，故有，所以双曲线M的离心率的取值范围为.故选：A8、B【解析】由函数有两个零点排除选项A，C；再借助导数探讨函数的单调性与极值情况即可判断作答.【详解】由得，或，选项A，C不满足；由求导得，当或时，，当时，，于是得在和上都单调递增，在上单调递减，在处取极大值，在处取极小值，D不满足，B满足.故选：B9、D【解析】取的中点，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，分析可知点的轨迹是以点、为焦点的椭圆，求出椭圆的方程，可知当点为椭圆与棱或的交点时，点到平面的距离取最小值，由此可求得四棱锥体积的最小值.【详解】取的中点，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，设点，其中，，则、，因为平面，平面，则，所以，，同理可得，所以，，所以点的轨迹是以点、为焦点，且长轴长为的椭圆的一部分，则，，，所以，点的轨迹方程为，点到平面的距离为，当点为曲线与棱或棱的交点时，点到平面的距离取最小值，将代入方程得，因此，四棱锥体积的最小值为.故选：D.10、B【解析】由题意，求出内切圆的半径和圆心坐标，设，则，由表示内切圆上的动点P到定点的距离的平方，从而即可求解最小值.【详解】解：因为直线分别交坐标轴于A，B两点，所以设，则，因为，所以三角形OAB的内切圆半径，内切圆圆心为，所以内切圆的方程为，设，则，因为表示内切圆上的动点P到定点的距离的平方，且在内切圆内，所以，所以，,即的最小值为18，故选：B.11、D【解析】求出函数的导数，将x=1代入即可求得答案.【详解】,故，故选：D.12、D【解析】由题意，即在区间上有两个异号零点，令，利用函数的单调性与导数的关系判断单调性，数形结合即可求解【详解】解：由题意，即在区间上有两个异号零点，构造函数，则，令，得，令，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，又时，，时，，且，所以，即，所以的范围故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】直接利用等差数列前项和公式和等差数列的性质求解即可.【详解】由已知条件得,故答案为：.14、08##【解析】根据表格中的数据求出，将点代入回归直线求出即可.【详解】由表格可得，，由于回归直线过点，故，解得，故答案为：0.08.15、【解析】根据球的体积公式计算可得；【详解】解：因为球的半径，所以球的体积；故答案为：16、【解析】利用导数法求解.【详解】因为函数，所以，当时，，所以的单调增区间是，故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）平方米【解析】（1）由题意得矩形场地的另一边长为80-2x米，通过矩形面积得出关于的函数表达式；（2）利用二次函数的性质求出的最大值即可【小问1详解】解：由题意得矩形场地的另一边长为80-2x米，又，得，所以【小问2详解】解：由（1）得，当且仅当时，函数取得最大值平方米18、（1）证明见详解（2）证明见详解【解析】利用函数奇偶性的定义证明即可【小问1详解】由题意函数定义域为且故是上的偶函数【小问2详解】由题意函数定义域为且故是上奇函数19、（1）（2）周长是定值，且定值为4【解析】（1）首先求出直线与轴的交点，即可求出，再根据离心率求出，最后根据求出，即可得解；（2）：设直线的方程为、、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，即可表示出弦的长，再根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即可得到，再求出、，最后根据计算即可得解；【小问1详解】解：因为经过椭圆的右焦点，令，则，所以椭圆的右焦点为，可得：，又，可得：，由，所以，∴椭圆的标准方程为；【小问2详解】解：设直线的方程为，由得：，所以，设，，则：，所以.因为直线与圆相切，所以，即，所以，因为，又，所以，同理.所以，即的周长是定值，且定值为420、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）用待定系数法求出椭圆的方程；（2）设直线MN的方程为x=my+1，设,用“设而不求法”表示出.由直线AM的方程为，直线BN的方程为，联立，解得：，即可证明直线AM与BN的交点在直线上.【小问1详解】由题意可得：，解得：,所以C的方程为.【小问2详解】由(1)得A(-2,0),B(2,0),F2(1,0),设直线MN的方程为x=my+1.设,由，消去y得：，所以.所以.因为直线AM的方程为，直线BN的方程为，二者联立，有，所以，解得：，直线AM与BN的交点在直线上.【点睛】（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；（2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.21、（1）圆C与圆M相交，理由见解析（2）或【解析】（1）利用圆心距与半径的关系即可判断结果；（2）讨论，当直线l的斜率不存在时则方程为，当直线l的斜率存在时，设其方程为，利用圆心到直线的距离等于半径计算即可得出结果.【小问1详解】把圆M的方程化成标准方程，得，圆心为，半径.圆C的圆心为，半径，因为，所以圆C与圆M相交，【小问2详解】①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为到圆心C距离为2，满足题意；②当直线l的斜率存在时，设其方程为，由题意得，解得，故直线l的方程为.综上，直线l的方程为或.22、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由离心率、过点和椭圆关系可构造方程求得，由此可得椭圆方程；（2）当直线斜率不存在时，表示出两点坐标，由两点连线斜率公式表示出，整理可得直线为；当直线斜率存在时，设，与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，代入中整理可得，由此可得直线所过定点；综合两种情况可得直线过定点.【详解】（1）椭圆过点，即，；，又，，椭圆的方程为：.（2）当直线斜率不存在时，设直线方程为，则，则，，解得：，直线方程为；当直线斜率存在时，设直线方程为，