贵州省凤冈县二中2023-2024学年高二数学第一学期期末达标检测试题含解析

贵州省凤冈县二中2023-2024学年高二数学第一学期期末达标检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线的焦点为，，其渐近线上横坐标为的点满足，则（）A. B.C.2 D.42．若等比数列的前n项和，则r的值为（）A. B.C. D.3．已知空间中四点，，，，则点D到平面ABC的距离为（）A. B.C. D.04．设集合，集合，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5．某学校的校车在早上6：30，6：45，7：00到达某站点，小明在早上6：40至7：10之间到达站点，且到达的时刻是随机的，则他等车时间不超过5分钟的概率是（）A. B.C. D.6．已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为A.2 B.3C.4 D.57．若复数，则（）A B.C. D.8．圆关于直线对称圆的标准方程是（）A. B.C. D.9．已知，，且，则向量与的夹角为（）A. B.C. D.10．已知正三棱柱中，，点为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.11．已知两个向量，，且，则的值为（）A.1 B.2C.4 D.812．“”是“直线与直线互相垂直”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交于点.若点的横坐标为,则的离心率为­.14．已知数列的前n项和，则其通项公式______15．如图，已知椭圆＋y2＝1的左焦点为F，O为坐标原点，设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，则点G横坐标的取值范围为________16．过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线分别交于两点（点在轴上方），_________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，，，.（1）求数列和的通项公式；（2）令，设数列的前项和为，求.18．（12分）在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，分别是棱，的中点（1）证明：平面；（2）若，且四棱锥的体积是6，求三棱锥的体积19．（12分）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面ACD1的一个法向量.20．（12分）已知各项均为正数的等比数列前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求21．（12分）已知直线l过定点（1）若直线l与直线垂直，求直线l的方程；（2）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程22．（10分）设函数（1）若，求的单调区间和极值；（2）在（1）的条件下，证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点；（3）若存在，使得，求的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】由题意可设，则，再由，可得，从而可求出的值【详解】解：双曲线的渐近线方程为，故设，设，则，因为，所以，即，所以，因为，所以，因为，所以，故选：B2、B【解析】利用成等比数列来求得.【详解】依题意，等比数列的前n项和，，，所以.故选：B3、C【解析】根据题意，求得平面的一个法向量，结合距离公式，即可求解.【详解】由题意，空间中四点，，，，可得，设平面的法向量为，则，令，可得，所以，所以点D到平面ABC的距离为.故选：C.4、A【解析】解不等式求集合，然后判断两个集合的关系【详解】，解得，故，可化为或，解得或，故，故“”是“”的充分不必要条件故选：A5、B【解析】求出小明等车时间不超过5分钟能乘上车的时长，即可计算出概率.【详解】6:40至7：10共30分钟，小明同学等车时间不超过5分钟能乘上车只能是6：40至6:45和6:55至7:00到站，共10分钟，所以所求概率为.故选：B6、D【解析】抛物线焦点在轴上，开口向上，所以焦点坐标为，准线方程为，因为点A的纵坐标为4，所以点A到抛物线准线的距离为，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A与抛物线焦点的距离为5.考点：本小题主要考查应用抛物线定义和抛物线上点的性质抛物线上的点到焦点的距离，考查学生的运算求解能力.点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这条性质在解题时经常用到，可以简化运算.7、A【解析】根据复数的乘法运算即可求解.【详解】由，故选：A8、D【解析】先根据圆的标准方程得到圆的圆心和半径，求出圆心关于直线的对称点，进而写出圆的标准方程.【详解】因为圆的圆心为，半径为，且关于直线对称的点为，所以所求圆的圆心为、半径为，即所求圆的标准方程为.故选：D.9、B【解析】先求出向量与的夹角的余弦值，即可求出与的夹角.【详解】，所以，∴，∴，∴，又∵，∴与的夹角为.故选：B.10、A【解析】根据异面直线所成角的定义，取中点为，则为异面直线和所成角或其补角，再解三角形即可求出【详解】如图所示：设中点为，则在三角形中，为中点，为中位线，所以有，，所以为异面直线和所成角或其补角，在三角形中，，所以由余弦定理有，故选：A.11、C【解析】由，可知，使，利用向量的数乘运算及向量相等即可得解.【详解】∵，∴，使，得，解得：，所以故选：C【点睛】思路点睛：在解决有关平行的问题时，通常需要引入参数，如本题中已知，引入参数，使，转化为方程组求解；本题也可以利用坐标成比例求解，即由，得，求出m，n.12、A【解析】根据直线垂直求出的范围即可得出.【详解】由直线垂直可得，解得或1，所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】双曲线的右焦点为.不妨设所作直线与双曲线的渐近线平行，其方程为，代入求得点的横坐标为，由，得，解之得，（舍去，因为离心率），故双曲线的离心率为.考点：1.双曲线的几何性质；2.直线方程.14、【解析】利用当时，，可求出此时的通项公式，验证n=1时是否适合，可得答案.【详解】当时，，当时，不适合上式，∴，故答案为:.15、【解析】设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出线段的垂直平分线方程，可求得点的横坐标，利用不等式的基本性质可求得点的横坐标的取值范围.【详解】设直线的方程为，联立，整理可得，因为直线过椭圆的左焦点，所以方程有两个不相等的实根设点、，设的中点为，则，，直线的垂直平分线的方程为，令，则.因为，所以故点的横坐标的取值范围.故答案为：16、3【解析】根据抛物线焦半径公式，所以.故答案为：3.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），（2）【解析】（1）根据条件列关于公差与公比的方程组，解方程组可得再根据等差数列与等比数列通项公式得结果（2）根据错误相减法求数列的前项和为，注意作差时项符号的变化以及求和时项数的确定试题解析：（1）设数列的公差为，数列的公比为，则由得解得所以，.（2）由（1）可知，∴①②①—②得：，∴.点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.18、（1）证明见解析.（2）2.【解析】（1）取的中点，连接，．运用面面平行的判定和性质可得证；（2）过点作，垂足为，连接，，设点到平面的距离为，根据棱锥的体积求得，再利用三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，可求得答案.【小问1详解】证明：如图，取的中点，连接，因为，分别是棱，的中点，所以，又平面，平面，所以平面因为，且，分别是棱，的中点，所以，又平面，平面，所以平面因为平面，且，所以平面平面因为平面，所以平面【小问2详解】解：过点作，垂足为，连接，，则四边形是正方形，从而因为，所以，则，从而直角梯形的面积设点到平面的距离为，则四棱锥的体积，解得因为三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，所以三棱锥的体积因为平面，所以三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，所以三棱锥的体积为219、【解析】建立空间直角坐标系，由向量法求法向量即可.【详解】如图，建立空间直角坐标系，则设平面ACD1的法向量.，又为平面ACD1的一个法向量，化简得令x=1，得y=z=1.平面ACD1的一个法向量.【点睛】本题主要考查了求平面的法向量，属于中档题.20、（1）（2）9【解析】（1）根据题意列出关于等比数列首项、公比的方程组即可解决；（2）利用等比数列的前项和的公式，解方程即可解决.【小问1详解】设各项均为正数的等比数列首项为，公比为则有，解之得则等比数列的通项公式.【小问2详解】由，可得21、（1）（2）或【解析】(1)求出直线的斜率可得l的斜率，再借助直线点斜式方程即可得解.(2)按直线l是否过原点分类讨论计算作答.【小问1详解】直线的斜率为，于是得直线l的斜率，则，即，所以直线l的方程是：.【小问2详解】因直线l在两坐标轴上的截距相等，则当直线l过原点时，直线l的方程为：，即，当直线l不过原点时，设其方程为：，则有，解得，此时，直线l的方程为：，所以直线l的方程为：或.22、（1）递减区间是，单调递增区间是，极小值（2）证明见解析（3）【解析】（1）对函数进行求导通分化简，求出解得，在列出与在区间上的表格，即可得到答案.（2）由（1）知，在区间上的最小值为，因为存在零点，所以，从而．在对进行分类讨论，再利用函数的单调性得出结论.（3）构造函数，在对进行求导，在对进行分情况讨论，即可得的得到答案.【小问1详解】函数的定义域为，，由解得与在区间上的情况如下：–↘↗所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；在处取得极小值，无极大值【小问2详解】由（1）知，在区间上的最小值为因为存在零点，所以，从而当时