其次章 赋范线性空间

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第2章赋范线性空间

虽然不允许我们看透自然界本质的机要,从而认识现象的真实原因,但仍可能发生这样的情形：一定的虚构假设

足以解释大量现象.

L.Eurler(欧拉)(1707-1783,瑞士数学家)

E.Schmi在dt1908年探讨由复数列组成的空间{(zi):?12?|zi?1?i|2??}时引入记号

||z||来表示(?zizi),||z||后来就称为z的范数.赋范空间的公理出现在F.Riesz在1918

i?1年关于C[a,b]上关于紧算子的工作中,但赋范空间的定义是在1920到1922年间由（1892—1945）、、S.BanachH.Hahn（1879—1934）E.Hylel（1884—1943）和N.Wiener（1894—1964）给出的,其中以S.Banach的工作最具影响.

2.1赋范空间的基本概念

线性空间是Giuseppe在1888年出版的书GeometricalCalculus中引进Peano的.S.Banach在1922年的工作主要是建立具有范数的完备空间,以后为了纪念他称之为

Banach空间.他定义的空间满足三组公理,第一组公理定义了线性空间,其次组定义了范数,

第三组给出了空间的完备性.

定义2.1.1设K是实数域R或复数域C,X是数域K上的线性空间,若||?||是X到R的映射,且满足以下条件：

(1)||x||?0且||x||?0当且仅当x?0;(2)||?x||?|?|||x||,对任意x?X和任意??K;

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(3)||x?y||?||x||?||y||,对任意x,y?X.

则称||?||为X上的范数,而||x||称为x的范数,这时称(X,||?||)为赋范线性空间.

明显地,若(X,||?||)为赋范线性空间,则对任意x,y?X,定义d(x,y)?||x?y||时,(X,d)为度量空间,但对一般的度量空间(X,d),当X为线性空间时,若定义

||x||?d(x,0),则||x||不一定就是X上的范数.

例2.1.1设s数列全体,则明显地,s为线性空间,对任意的x,y?s,定义

d(x,y)??i?1?|xi?yi|

i!(1?|xi?yi|)则

d(x,0)??i!(1?|x|)

i?1i?|xi|但

d(?x,0)??i?1?|?||xi|?|?|d(x,0)

i!(1?|?||xi|)取x0?(1,0,?,0),?0?1,则2d(?0x0,0)?而

121?12?13111|?0|d(x0,0)???

224因此

d(?0x0,0)?|?0|d(x0,0)

所以,d(x0,0)不是s上的范数.

问题2.1.1对于线性空间X上的度量d,它满足什么条件时,||x||?d(x,0)才能成为范数？

定理2.1.2设X是线性空间,d是X上的度量,在X上规定||x||?d(x,0),则X成为赋范线性空间的条件是：

(1)d(x,y)?d(x?y,0),对任意x,y?X；

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(2)d(?x,0)?|?|d(x,0),对任意x?X和任意??K.

下面举出赋范线性空间的一些例子.

例2.1.3对于l1?{(xi)|xi?K,是赋范线性空间.

例2.1.4对于1?p??,lp?{(xi)|xi?K,??|xi?1?i|??},||x||??|xi|是l1的范数,即(l1,||?||)i?1??|xi?1p?i|p??}在范数

||x||?(?|xi|)

i?11p下是赋范线性空间.

例2.1.5l??{(xi)|xi?K,sup|xi|??}在范数||x||?sup|xi|下是赋范线性空间.例2.1.6c0?{(xi)|xi?K,limxi?0}在范数||x||?sup|xi|下是赋范线性空间.

i??},在范数||x||?sup|x(t)|下是赋范例2.1.7C[a,b]?{x(t)|x(t)为[a,b]上的连续函数线性空间.

由于赋范线性空间在度量d(x,y)?||x?y||下是度量空间,因此,在度量所引入的序列收敛,开(闭)集、稠密和紧集等概念都可以在赋范线性空间中使用.

定义2.1.2设X是赋范空间{xn}?X,x0?X,若xn依度量d(x,y)?||x?y||收敛于x0,即lim||xn?x0||?0,则称xn依范数||?||收敛于x0,记为

n??||?||xn???x0

在赋范线性空间中,依旧用U(x0,r)?{x?X|||x?x0||?r}记以x0为球心,r为半径的开球,用B(x0,r)?{x?X|||x?x0||?r}记以x0为球心,r为半径的闭球.为了便利,用

SX?{x?X|||x||?1}记以0为球心,1为半径的闭单位球面.用BX?{x?X|||x||?1}记

以0为球心,1为半径的闭单位球.用UX?{x?X|||x||?1}记以0为球心,1为半径的开单位球.

例2.1.8在Euclid空间R中,对于x?(x1,x2)可以定义几种不同的范数:

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2||x||1?|x1|?|x2|

||x||2?(|x1|?|x2|)

||x||3?max{|x1|,|x2|}

2212B(x0,1)在不同范数下的形状为：B1?{x|||x||1?1}

B2?{x|||x||2?1}

B3?{x|||x||3?1}

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则对x0?(0,0),r?1,闭球

思考题2.1.1设(X,||?||)是赋范线性空间,问开球U(x0,r)的闭包是否一定是闭

B(x0,r)?

思考题2.1.2设(X,||?||)是线性空间,问闭球B(x0,r)内部是否一定是开球U(x0,r)?

在赋范线性空间中,加法与范数都是连续的.

定理2.1.8若(X,||?||)是赋范空间xn?x0,yn?y0,则xn?yn?x0?y0.证明由||(xn?yn)?(x0?y0)||?||xn?x0||?||yn?y0||可知定理成立.定理2.1.9若(X,||?||)是赋范空间,xn?x0,则||xn||?||x0||.证明由||xn||?||xn?x0||?||x0||和||x0||?||xn?x0||?||xn||,可知

|||xn||?||x0|||?||xn?x0||,因此||xn||?||x0||.

定义2.1.3设(X,||?||)是赋范线性空间,若{xn}?X,||xm?xn||?0(m,n??)时,必有x?X,使||xn?x||?0,则称(X,||?||)为完备的赋范线性空间.

根据M.Frechet[Espacesabstraits,Gauthier?Villars,Paris,1928]的建议,完备的赋范线性空间称为Banach空间.

不难证明,R,co,lp(1?p??),l?都是Banach空间.

在数学分析中,曾探讨过数项级数,函数项级数,类似地,在赋范线性空间中,也可定义无穷级数.

定义2.1.4设(X