辽宁省阜新市二中2024届高二上数学期末考试试题含解析

辽宁省阜新市二中2024届高二上数学期末考试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，则（）A. B.C. D.2．下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则3．直线被圆所截得的弦长为（）A. B.C. D.4．若直线与圆相交于、两点，且（其中为原点），则的值为（）A. B.C. D.5．若直线与直线垂直，则（）A.6 B.4C. D.6．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为A. B.C. D.7．已知全集，集合，则（）A. B.C. D.8．若是函数的极值点，则函数（）A.有最小值，无最大值 B.有最大值，无最小值C.有最小值，最大值 D.无最大值，无最小值9．如图，在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积是（）A. B.C. D.10．若方程表示圆，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.11．已知，则的大小关系为（）A. B.C. D.12．已知F是抛物线x2＝y的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到x轴的距离为（）A. B.C.1 D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图所示，二面角为，是棱上的两点，分别在半平面内，且，，，，，则的长______14．等轴（实轴长与虚轴长相等）双曲线的离心率_______15．达•芬奇认为：和音乐一样，数学和几何“包含了宇宙的一切”，从年轻时起，他就本能地把这些主题运用在作品中，布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达•芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达•芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体.若图3中每个正方体的边长为1，则点到直线的距离是__________.16．设点是双曲线上的一点，、分别是双曲线的左、右焦点，已知，且，则双曲线的离心率为________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，为侧棱上一点（1）求证：；（2）若为中点，平面与侧棱于点，且，求四棱锥的体积18．（12分）已知抛物线C：上一点到焦点F的距离为2（1）求实数p的值；（2）若直线l过C的焦点，与抛物线交于A，B两点，且，求直线l的方程19．（12分）根据下列条件求圆的方程：（1）圆心在点O（0，0），半径r＝3（2）圆心在点O（0，0），且经过点M（3，4）20．（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）任意，恒成立，求的取值范围.21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝1，BC＝2，PA＝1（1）求证：AB⊥PC；（2）点M在线段PD上，二面角M﹣AC﹣D的余弦值为，求三棱锥M﹣ACP体积22．（10分）某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达、延迟5分钟内送达、延迟5至10分钟送达、其他延迟情况，分别评定为四个等级，各等级依次奖励3元、奖励0元、罚款3元、罚款6元.假定评定为等级的概率分别是.（1）若某外卖员接了一个订单，求其不被罚款的概率；（2）若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为3元的概率.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】取中间值，化成同底利用单调性比较可得.【详解】,，，故，故选：C2、C【解析】先举例说明ABD不成立，再根据不等式性质说明C成立.【详解】当时，满足，但不成立，所以A错；当时，满足，但不成立，所以B错；当时，满足，但不成立，所以D错；因为所以，又，因此同向不等式相加得，即C对；故选：C【点睛】本题考查不等式性质，考查基本分析判断能力，属基础题.3、A【解析】求得圆心坐标和半径，结合点到直线的距离公式和圆的弦长公式，即可求解.【详解】由圆的方程可知圆心为，半径为，圆心到直线的距离，所以弦长为.故选：A.4、D【解析】分析出为等腰直角三角形，可得出原点到直线的距离，利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，由此可解得的值.【详解】圆的圆心为原点，由于且，所以，为等腰直角三角形，且圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式可得，解得.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查利用圆周角求参数，解题的关键在于求出弦心距，再利用点到直线的距离公式列方程求解参数.5、A【解析】由两条直线垂直的条件可得答案.【详解】由题意可知，即故选：A.6、A【解析】根据题意可求出正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm，再根据截面圆半径，球的半径以及球心距的关系，即可求出球的半径，从而得到球的体积【详解】设球的半径为cm，根据已知条件知，正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm，球心到截面圆的距离为cm，所以由，得，所以球的体积为故选：A【点睛】本题主要考查球的体积公式的应用，以及球的结构特征的应用，属于基础题7、B【解析】根据题意先求出，再利用交集定义即可求解.【详解】全集，集合，则，故故选：B8、A【解析】对求导，根据极值点求参数a，再由导数研究其单调性并判断其最值情况.【详解】由题设，且，∴，可得.∴且，当时，递减；当时，递增；∴有极小值，无极大值.综上，有最小值，无最大值.故选：A9、A【解析】根据题意，将该几何体放置于正方体中截得，进而转化为求边长为2的正方体的外接球，再求解即可.【详解】解：因为在三棱锥中，，所以将三棱锥补形成正方体如图所示，正方体的边长为2，则体对角线长为，外接球的半径为，所以外接球的表面积为，故选：.10、D【解析】将方程化为标准式即可.【详解】方程化为标准式得，则.故选：D.11、B【解析】构造利用导数判断函数在上单调递减，利用单调性比较大小【详解】设恒成立，函数在上单调递减，.故选：B12、B【解析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出，的中点纵坐标，求出线段的中点到轴的距离【详解】解：抛物线的焦点准线方程，设，，，解得，线段的中点纵坐标为，线段的中点到轴的距离为，故选：B【点睛】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】推导出，从而，结合，，，能求出的长【详解】二面角为，是棱上的两点，分别在半平面、内，且所以,所以，，，的长故答案为【点睛】本题主要考查空间向量的运算法则以及数量积的运算法则，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，是中档题14、【解析】由题意可知，，由，化简可求离心率.【详解】由题意可知，，两边同时平方，得，即，，所以离心率，故答案为：.15、【解析】根据题意，求得△的三条边长，在三角形中求边边上的高线即可.【详解】根据题意，延长交于点，连接，如下所示：在△中，容易知：；同理，，满足，设点到直线的距离为，由等面积法可知：，解得，即点到直线的距离是.故答案为：.16、【解析】由双曲线的定义可求得、，利用勾股定理可得出关于、的齐次等式，进而可求得该双曲线的离心率.【详解】由双曲线定义可得，故，由勾股定理可得，即，可得，因此，该双曲线的离心率为.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】（1）利用面面垂直的性质定理可得出平面，再利用线面垂直的性质可得出；（2）分析可知为的中点，平面，计算出梯形的面积，利用锥体的体积公式可求得四棱锥的体积【小问1详解】证明：因为四边形为正方形，则，因为侧面底面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以.【小问2详解】解：因为，平面，平面，所以，平面，因为平面，平面平面，所以，所以，，则，所以，四边形是直角梯形，又是中点，所以，，所以，由平面，平面，所以，从而，正三角形中，是中点，，即，，所以平面，因为，所以.18、（1）2（2）或【解析】（1）根据抛物线上的点到焦点与准线的距离相等可得到结果（2）通过联立抛物线与直线方程利用韦达定理求解关系式即可得到结果【小问1详解】抛物线焦点为，准线方程为，因为点到焦点F距离为2，所以，解得【小问2详解】抛物线C的焦点坐标为，当斜率不存在时，可得不满足题意，当斜率存在时，设直线l的方程为联立方程，得，显然，设，，则，所以，解得所以直线l的方程为或19、（1）x2+y2＝9（2）x2+y2＝25【解析】（1）直接根据圆心坐标和半径，即可得到答案；（2）利用两点间的距离公式，求出圆的半径，即可得到答案；【小问1详解】根据题意，圆心在点O（0，0），半径r＝3，则要求圆的方程为x2+y2＝9；【小问2详解】圆心在点O（0，0），且经过点M（3，4），要求圆的半径r＝＝5，则要求圆的方程为x2+y2＝25；20、（1）的递增区间为，递减区间为（2）【解析】(1)先求出函数的导数，令、解出对应的解集，结合定义域即可得到函数的单调区间；(2)将不等式转化为，令，利用导数讨论函数分别在、时的单调性，进而求出函数的最值，即可得出答案.【小问1详解】函数的定义域为，又当时，，当时，故的递增区间为，递减区间为.【小问2详解】，即，令，有，，若，在上恒成立.则在上为减函数，所以有若，由，可得，则在上增，所以在上存在使得，与题意不符合综上所述，.21、（1）证明见解析（2）【解析】（1）将问题转化为证明AB⊥平面PAC，然后结合已知可证；（2）建立空间直角坐标系，用向量法结合已知先确定点M位置，然后转化法求体积可得.【小问1详解】由题意得四边形ADCB是直角梯形，AD=CD=1，故∠ACD=45°，∠ACB=45°，AC=.又BC=2，所以，所以，所以AB⊥AC.又PA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，所以PA⊥AB.而PA平面PAC，AC平面PAC，，所以AB⊥平面PAC.又PC平面PAC，所以AB⊥PC【小问2详解】过点A作AE⊥BC于E，易知E为BC中点，以A为原点，AE，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，，，.则设，.显然，是平面ACD的一个法向量，设平