福建省厦门市2023-2024学年高一下册期中数学质量检测模拟试题合集2套（含解析）

福建省厦门市2023-2024学年高一下册期中数学质量检测模拟试题一、单选题1．复数（为虚数单位）的虚部为（

）A． B．1 C． D．【正确答案】A【分析】根据给定条件，利用复数的定义直接作答.【详解】复数的虚部是.故选：A2．已知向量满足，则（

）A．－2 B．－1 C．0 D．2【正确答案】C【分析】根据向量数量积运算求得正确答案.【详解】.故选：C3．已知向量，，，则的值是（

）A． B． C． D．【正确答案】A【分析】根据，可得，再利用同角之间的公式化简，代入即可得解.【详解】因为向量，，，即故选：A关键点点睛：本题考查向量平行的坐标运算，及利用同角之间的公式化简求值，解题的关键是的变形，考查学生的运算求解能力，属于基础题.4．在平行四边形中，为边的中点，记，，则（

）A． B．C． D．【正确答案】D【分析】根据向量的线性运算法则，求得，结合，即可求解.【详解】如图所示，可得，所以.故选：D．5．如图，某建筑物的高度，一架无人机（无人机的大小忽略不计）上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为，地面某处的俯角为，且，则此无人机距离地面的高度为（

）A． B． C． D．【正确答案】B计算出和，利用正弦定理求出，由此可得出，即可计算出所求结果.【详解】在中，，，.在中，，，.由正弦定理，得，得.在中，，故此无人机距离地面的高度为，故选：B.本题考查高度的测量问题，考查正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.6．在中，，，为的重心，若，则外接圆的半径为(

)A． B．1 C．2 D．【正确答案】B【分析】根据向量数量积的分配率结合可得，即AG⊥CB，结合G为△ABC重心可得△ABC为等腰三角形，再根据几何关系即可求△ABC外接圆半径．【详解】延长AG交BC于D，∵G是△ABC重心，∴AD为△ABC中线．，即AD⊥BC，故△ABC是等腰三角形，且，则△ABC外接圆圆心在AD上，设为O，则OA=OC，∵∠OAC=，∴△OAC是等边三角形，∴OA=OC=AC=AB=1，即△ABC外接圆半径为1．故选：B．7．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若﹐则中最小角的余弦值等于（

）A． B． C． D．【正确答案】A【分析】由已知，根据题意，将展开，从而得到，再根据和为不共线向量，即可得到a，b，c三边关系，从而使用余弦定理可直接求解出中最小角的余弦值.【详解】由已知，，所以，即，又因为和为不共线向量，所以，所以，，在中，A，B，C的对边分别是a，b，c，所以边长a最小，所以，所以中最小角的余弦值等于.故选：A.8．在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【正确答案】C【分析】根据余弦定理和的面积公式，结合题意求出、的值，再用表示，求出的取值范围，即可求出的取值范围．【详解】解：在中，由余弦定理得，且的面积，由，得，化简得，又，，联立得，解得或（舍去），所以，因为为锐角三角形，所以，，所以，所以，所以，所以，设，其中，所以，由对勾函数单调性知在上单调递减，在上单调递增，当时，；当时，；当时，；所以，即的取值范围是．故选：C.关键点点睛：由，所以本题的解题关键点是根据已知及求出的取值范围.二、多选题9．已知为虚数单位，复数满足，则下列说法错误的是（

）A．复数的模为 B．复数的共轭复数为C．复数的虚部为 D．复数在复平面内对应的点在第一象限【正确答案】ABC【分析】利用可将化简，求出复数，再根据复数模长求法，共轭复数定义，复数的几何意义求解即可.【详解】，，，z的虚部为，故选ABC．10．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．任意，B．任意，C．任意，D．存在，【正确答案】ACD【分析】根据余弦函数的性质：周期性、对称性、单调性、最值分别判断各选项．【详解】因为的最小正周期是，因此A正确；时，，不是图象的对称轴，B错；时，，由余弦函数性质知在是单调递减，C正确；同样由余弦函数性质知的最大值是3，最小值是，两者差为4，因此D正确．故选：ACD．11．已知△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，c=2．则下列结论正确（

）A．△ABC面积的最大值为 B．的最大值为C． D．的取值范围为【正确答案】AB【分析】A选项，利用余弦定理和基本不等式求解面积的最大值；B选项，先利用向量的数量积计算公式和余弦定理得，利用正弦定理和三角恒等变换得到，结合B的取值范围求出最大值；C选项，利用正弦定理进行求解；D选项，用进行变换得到，结合A的取值范围得到的取值范围.【详解】由余弦定理得：，解得：，由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，所以，故，A正确；，其中由正弦定理得：，所以，因为，所以，故最大值为，的最大值为，B正确；，故C错误；，因为，所以，所以，D错误.故选：AB三角函数相关的取值范围问题，常常利用正弦定理，将边转化为角，结合三角函数性质及三角恒等变换进行求解，或者将角转化为边，利用基本不等式进行求解.12．设，为单位向量，满足，，，则，的夹角为，则的可能取值为（

）A． B． C． D．1【正确答案】CD【分析】设单位向量，的夹角为，根据已知条件，求出，然后利用夹角公式可将表示成关于的函数，利用不等式的性质求出其值域即可．【详解】设单位向量，的夹角为，由，两边平方得，解得，又，，，同理，且，，，令，则，，，，所以，即的取值范围为故选：CD三、填空题13．已知向量为单位向量，其夹角为，则__________.【正确答案】【分析】利用模长公式直接求解【详解】故14．已知1＋2i是方程x2－mx＋2n＝0(m，n∈R)的一个根，则m＋n＝____.【正确答案】【分析】将代入方程，根据复数的乘法运算法则，得到，再由复数相等的充要条件得到方程组，解得即可；【详解】解：将代入方程x2－mx＋2n＝0，有(1＋2i)2－m(1＋2i)＋2n＝0，即，即，由复数相等的充要条件，得解得故.故15．的内角，，的对边分别为，，，满足.若为锐角三角形，且，则当面积最大时，其内切圆面积为________.【正确答案】/【分析】先用正弦定理及余弦定理可得，结合面积公式和基本不等式可得当为等边三角形时，面积取到最大值，再利用等面积法求内切圆半径即可.【详解】∵，则由正弦定理可得，整理得，则.∵为锐角三角形，则，故，由面积为，可得当面积取到最大值，即为取到最大值.∵，即，即，当且仅当，即为等边三角形时等号成立.故当为等边三角形时，面积取到最大值，设的内切圆半径为，则，解得，故内切圆面积为.故答案为.16．中，，若，，其中，则的最小值为__________.【正确答案】【分析】由平面向量的加法法则得到为点A到BC的距离为2，从而为等腰直角三角形，斜边为4，再根据，其中，得到点P在线段DE上，且D，E为BC的四等分点求解.【详解】解：如图所示：在中，由平面向量的加法法则得为点A到BC的距离，即，则为等腰直角三角形，斜边为4，又，其中，所以点P在线段DE上，且D，E为BC的四等分点，又，则，当点P在点D时，的最小，由余弦定理得，所以，故四、解答题17．已知是虚数单位，复数，（1）若为纯虚数，求实数的值；（2）若在复平面上对应的点在直线上，求的值．【正确答案】（1）2；（2）10．【分析】（1）根据纯虚数的定义：实部为零，虚部不为零求解；（2）根据复数的几何意义得到复数对应的点的坐标，代入直线方程求得的值，进而利用共轭复数的定义和复数的乘法运算求得.【详解】解：（1）若为纯虚数，则，且，解得实数的值为2；（2）在复平面上对应的点，由条件点在直线上，则，解得．则，所以.18．已知向量，，.（1）若，求实数，的值；（2）若，求与的夹角的余弦值.【正确答案】（1）（2）（1）根据向量的数乘运算及坐标加法运算,可得方程组,解方程组即可求得,的值.（2）根据向量坐标的加减法运算,可得结合向量垂直的坐标关系,即可求得的值.进而表示出,即可由向量的坐标运算求得夹角的余弦值.【详解】（1）由,得,即,解得.（2）,.因为,所以,即.令,则.本题考查了向量的坐标的数乘运算和加减运算,向量垂直时的坐标关系,根据向量数量积求夹角的余弦值,属于基础题.19．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.在中，角，，所对的边分别为，，，且满足___________.(1)求的值；(2)若为边上一点，且，，，求.【正确答案】(1)(2)【分析】（1）选择①，由余弦定理可求解，选择②，由正切的两角和公式可求解，选择③，由正弦的两角和公式可求解；（2）由余弦定理及正弦定理可求解.【详解】（1）选择①，由，可得，于是得，即，所以；选择②，由，有，于是得；选择③，由，有，即，即，又因为，所以，于是得，即，所以.（2）由在中，，，，由余弦定理得，所以，在中，由正弦定理有，得.20．某赛事公路自行车比赛赛道平面设计图为五边形（如图所示），为赛道，根据比赛需要，在赛道设计时需设计两条服务通道（不考虑宽度），现测得：，，千米，千米．(1)求服务通道的长；(2)如何设计才能使折线赛道（即）的长度最大？并求出最大值．【正确答案】(1)千米(2)当时，折线赛道长度最大，最大值千米【分析】（1）在中，利用正弦定理可求得；在中，利用余弦定理可求得；（2）方法一：在中，利用余弦定理构造方程，结合基本不等式可求得的最大值，由此可得结果；方法二：在中，设，，，利用正弦定理可表示出，利用三角恒等变换知识化简为关于的正弦型函数的形式，利用正弦型函数的最大值可求得结果.【详解】（1）在中，由正弦定理得：；在中，由余弦定理得：，即，解得：，服务通道的长为千米．（2）方法一：在中，由余弦定理得：，即，；（当且仅当时取等号），，即，（当且仅当时取等号），当时，折线赛道的长度最大，最大值千米．方法二：在中，设，，，，，，，，，当，即时，取得最大值，此时，时，折线赛道的长度最大值为千米．21．已知向量，，函数.(1)求函数的解析式和对称轴方程；(2)若时，关于的方程恰有三个不同的实根，，，求实数的取值范围及的值.【正确答案】(1)，对称轴方程是，；(2)，．【分析】（1）由数量积的坐标表示求得，结合正弦函数的对称轴求得的对称轴；（2）方程化简得和，由正弦函数性质和的范围，同时得出和，求得结论．【详解】（1）由已知，，，所以对称轴方程是，；（2），时，递增，时，递减，，，，方程为，即，，或，因为，所以时，，设，原方程有三个解，因此，即，在上有两个解，记为，则，所以．22．如图，在中，，是角的平分线，且．（1）若，求实数的取值范围．（2）若，时，求的面积的最大值及此时的值．【正确答案】（1）；（2）当时，的面积取最大值.【分析】（1）设，则，利用可得出，由此可求得的取值范围；（2）由三角形的面积公式可得，利用余弦定理化简可得，可得出，利用辅助角公式可得出，结合函数单调性可求得的最大值及其对应的，即可得出结论.【详解】（1）设，则，其中，由，可得，所以，，即，所以，；（2），可得，由余弦定理可得，所以，，所以，，可得，所以，，，则，由于函数在时单调递增，所以，随着的增大而减小，则当时，，此时，，由，可得，所以，，则.方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.福建省厦门市2023-2024学年高一下册期中数学质量检测模拟试题一、单选题1．复数的虚部是（

）A． B．4 C．3 D．【正确答案】B【分析】根据复数的概念可得结果.【详解】复数的虚部为.故选：B.2．下列结论中，正确的是（

）A．零向量只有大小没有方向 B．C．对任一向量，总是成立的 D．与线段的长度不相等【正确答案】B【分析】根据平面向量的概念，逐一判断即可得出答案．【详解】既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误；由于与方向相反，长度相等，故B正确；因为零向量的模为0，故C错误；与线段的长度相等，故D错误．故选：B．3．复数的共轭复数是（

）A． B． C． D．【正确答案】A【分析】利用共轭复数的概念判断.【详解】复数的共轭复数是，故B，C，D错误.故选：A.4．若，，与的夹角为，则等于（

）A． B． C． D．【正确答案】C【分析】根据向量的数量积的定义计算即可.【详解】因为，，与的夹角为，所以.故选：C.5．已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，，则的面积为（

）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】直接利用面积公式计算可得.【详解】因为，，，所以.故选：D6．为了得到函数的图象，只要把函数上所有的点（

）A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度【正确答案】C【分析】利用三角函数图象的相位变换求解.【详解】对于A，函数上所有的点向左平行移动个单位长度，得到，故A错误；对于B，函数上所有的点向右平行移动个单位长度，得到，故B错误；对于C，函数上所有的点向左平行移动个单位长度，得到，故C正确；对于D，函数上所有的点向右平行移动个单位长度，得到，故D错误.故选：C.7．已知向量，，若，则m的值为（

）A．或2 B．或3 C．或3 D．或4【正确答案】A【分析】根据向量垂直的坐标公式计算即可.【详解】因为，所以，即，解得或.故选：A.8．已知分别为三个内角的对边，若，，则等于（

）A． B． C． D．【正确答案】C【分析】先由正弦定理得到，再由余弦定理求得，即可求解.【详解】因为，由正弦定理可得，又因为，由余弦定理得，又因为，所以.故选：C.二、多选题9．设，复数，则下列说法正确的是（

）A．若是实数，则 B．若是虚数，则C．当时，的模为 D．当时，在复平面上对应的点为【正确答案】AC【分析】根据复数的概念判断A、B，根据复数的模判断C，根据复数的几何意义判断D.【详解】因为，，对于A：若是实数，则，解得，故A正确；对于B：若是虚数，则，解得，故B错误；对于C：当时，所以，故C正确；对于D：当时，在复平面上对应的点为，故D错误；故选：AC10．设向量，，则（

）A． B．与的夹角为C．与共线 D．【正确答案】AD【分析】利用向量运算的坐标表示、向量模长、夹角公式以及向量共线、垂直的坐标形式计算求解.【详解】因为，，所以，，故A正确；因为，，所以，因为两向量夹角的范围为，所以与的夹角为，故B错误；因为，，所以，又，所以，所以，所以与不共线，故C错误，D正确.故选：AD.11．如图所示，一个质点在半径为2的圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每3s转一圈.则该质点到x轴的距离关于时间t的函数记为.下列说法正确的是（

）A． B．C．的周期为 D．的周期为3【正确答案】AC【分析】根据角速度的概念、任意角的三角函数定义以及三角函数的周期公式计算.【详解】由题可知，质点的角速度为，因为点P为起始点，沿逆时针方向运动，设经过时间之后所成角为，则，根据任意角的三角函数定义有：，所以该质点到x轴的距离为，故A正确，B错误；因为，所以的周期为，故C正确，D错误.故选：AC.12．已知向量，，（），则下列命题正确的是（

）A．若，则B．存在，使得C．与共线的单位向量只有一个为D．若在上的投影向量为，则向量与夹角为【正确答案】ABD【分析】根据向量垂直的坐标公式即可判断A；根据结合数量积的运算律求出，即可判断B；根据单位向量的定义判断C；根据投影向量的定义求出，再根据向量夹角的公式即判断D.【详解】对于A，若，则，，，故A正确；对于B，由，，得，，若，则，所以，由，得，所以，所以，所以存在，使得，故B正确；对于C，与共线的单位向量为，故为或，故C错误；对于D，在上的投影向量为，所以，则，又因为，所以，即向量与夹角为，故D正确.故选：ABD.三、填空题13．已知复数满足，则__________．【正确答案】.【分析】在等式两边同时除以，再利用复数的除法法则可得出复数.【详解】，，故答案为.本题考查复数的除法，解题的关键就是从等式中得出的表达式，再结合复数的四则运算律得出结果.14．已知与不共线，是一组基底，则实数的取值范围是______.【正确答案】【分析】由是一组基底，可得两个向量不共线，利用平面向量共线定理结合平面向量基本定理求出时的值，即可得解.【详解】当时，则存在唯一实数，使得，所以，解得，因为是一组基底，所以两个向量不共线，所以.故答案为.15．一艘轮船按照北偏东40°方向，以18海里/小时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东20°方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为_______海里.【正确答案】4【分析】先结合条件找出已知角及线段长，然后结合余弦定理即可直接求解．【详解】设轮船的初始位置为A，20分钟后轮船位置为B，灯塔位置为C，如图所示由题意得，，，，由余弦定理得，即，解得．则灯塔与轮船原来的距离为4海里故4．16．将函数的图象沿x轴向左平行移动个单位长度后，得到关于原点对称的图象，请写出一个符合题意的，则______.【正确答案】（答案不唯一）【分析】根据三角函数的图象变换求得，因为的图象关于原点对称，得到，列出方程，即可求解.【详解】将函数的图象沿x轴向左平行移动个单位长度后，得到函数，因为的图象关于原点对称，可得，即，解得，即，所以符合题意的可以是.故（答案不唯一）.四、解答题17．已知复数，，且是纯虚数.(1)求；(2)设复数，在复平面上对应的点为，，若四边形是复平面内的平行四边形，求点对应的复数.【正确答案】(1)(2)【分析】（1）根据复数代数形式的乘法运算化简复数，即可得到方程（不等式）组，即可求出的值，从而求出复数，再求出，即可求模；（2）首先表示出、的坐标，依题意可得，即可求出点坐标，从而求出其对应的复数.【详解】（1）因为，所以，所以，因为是纯虚数，所以，解得，所以，则，所以.（2）复数，在复平面上对应的点为，，则，因为四边形是复平面内的平行四边形，所以，所以，则点对应的复数为.18．已知，，.(1)求的值；(2)求向量与夹角的余弦值.【正确答案】(1)(2)【分析】（1）直接展开，代入即可求解；（2）先分别求出，再直接代入向量夹角公式即可求解.【详解】（1）因为，所以；（2），，所以，即向量与夹角的余弦值为.19．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.(1)求角A；(2)若，，求b，c的值.【正确答案】(1)(2)，【分析】（1）先用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换的公式化简求解即可；（2）先利用正弦定理找到边的关系，然后根据条件利用余弦定理求解即可.【详解】（1）已知，由正弦定理得，，显然，所以有，得，又，所以；（2）因为，由正弦定理可知，由余弦定理可