2023-2024学年广东省广州市高一下学期期中数学质量检测模拟试题合集2套（含解析）

2023-2024学年广东省广州市高一下学期期中数学质量检测模拟试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）1.设复数（其中为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【正确答案】B【分析】根据复数的乘法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得出答案.【详解】解：，所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限.故选：B2.设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】B【详解】试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选B．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且，显然能得到，这样即可找出正确选项.3.如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】设，则，再根据三点共线可求得，再根据平面向量的线性运算结合图形即可得出答案.【详解】解：设，则，因为三点共线，所以，解得，则所以.故选：A.4.在正方体中,分别为的中点,则异面直线与所成角的大小为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】由题易得,连接,即可得出为等边三角形,从而得出所求角的大小为60°.【详解】如下图所示,连接,则异面直线与所成角为,即为等边三角形.故选:C.5.已知，且三点共线，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】利用向量的共线定理的坐标运算即可求解.【详解】由，得,因为三点共线，所以，即，解得.所以.故选：A.6.已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】根据题意，由向量加法的性质可得为的中点，又由，分析可得为正三角形，则有，结合投影向量的计算公式计算可得答案．【详解】根据题意，若，则为的中点，故边为圆的直径，又由，则为正三角形，则有，则向量在向量上的投影向量,故选：A．7.已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则圆柱的表面积为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据题意及圆柱、球的对称，可求得圆柱底面圆半径，根据圆柱表面积的求法，即可得答案.【详解】由题意得球的半径为，设圆柱底面圆半径为r，根据圆柱和球的对称性可得，所以圆柱的表面积.故选：D8.如图，在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c（），分别以边AB，AC，BC所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，其体积分别为，，，则（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】由直角三角形绕其直角边旋转可以得到一个圆锥，直角三角形绕其斜边旋转可以得到两个共用同一底面的圆锥的组合体，绕三边旋转一周分别形成三个几何体的形状，求出他们的体积，即可得答案．【详解】解：当绕边旋转时，其体积；当绕边旋转时，体积；当绕边旋转时，体积．∴．故选：A．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.对于任意向量，，，下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，则C.若，，则 D.若，则【正确答案】CD【分析】A.由判断；B.由，转化为判断；C.根据相等向量的概念判断；D.由转化为运算判断.【详解】A.当时，满足，，但不一定共线，故错误；B.因为，所以，所以，故错误；C.因为，，所以，故正确；D.因为，所以，即，故正确；故选：CD10.设l，m是空间中不同的直线，，，是不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，，则B若，，，则C.若，，，，则D.若，，，则【正确答案】AD【分析】根据线面平行的判定定理，可判定A正确；根据两平行平面内的直线平行或异面，可判定B不正确；根据面面平行的判定定理，可判定C不正确；根据根据面面平行的性质，可判定D正确.【详解】对于A中，.若，，，根据线面平行判定定理，可得，所以A正确；对于B中，若，，，则直线与平行或异面，所以B不正确；对于C中，若，，，，只有当与相交时，才能得到，所以C不正确；对于D中，若，，，根据面面平行的性质，可得，所以D正确.故选：AD.11.在中，若，下列结论中正确的有（）A. B.是钝角三角形C.的最大内角是最小内角的倍 D.若，则外接圆的半径为【正确答案】ACD【分析】先根据题意求出，，,结合正弦定理可得A，D的正误,结合余弦定理可得B，C的正误.【详解】由题意,设,解得;

所以,所以A正确;

由以上可知最大,所以为锐角,所以B错误;

由以上可知最小,,

,即,

因为为锐角,为锐角,所以所以C正确;

因为，所以,

设外接圆的半径为,则由正弦定理可得

所以所以D正确.

故选:ACD.12.如图，四棱锥的底面为菱形，，底面，P是上任意一点（不含端点），则下列结论中正确的是（）A.若平面，则 B.B到平面的距离为C.当P为中点时，过P、A、B的截面为直角梯形 D.当P为中点时，有最小值【正确答案】ABC【分析】对于A：根据线面平行的性质定理证明判断；对于B：利用等体积法求D到平面的距离；对于C：根据三角形中位线先证∥，则过P、A、B的截面为，再利用长度结合勾股定理证；对于D：借助于侧面展开图分析判断．【详解】∵平面，平面，平面平面∴，A正确；设B到平面的距离为，则有∵，即，则，B正确；当P为中点时，如图1，取的中点，连接则∥，∵∥，则∥∴过P、A、B的截面为，则∴，则，即为直角梯形，C正确；借助于侧面展开图，如图2，连接交于点，此时为最小值若P为中点时，∵，则∴，这与题意相矛盾，D错误；故选：ABC．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知复数，其中为虚数单位，则___________．【正确答案】【分析】根据的多次方的周期性，可知，进而根据复数的模的公式求解即可.【详解】因为，，，所以，所以，则，故14.已知向量、满足，，、的夹角为，则______.【正确答案】【分析】直接利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积求解即可.【详解】解：向量、满足，，、的夹角为，则.故答案为.15.已知平行四边形中，、、的坐标分别为、、，则点的坐标为______.【正确答案】【分析】本题可根据得出结果.【详解】设，则，，因为四边形是平行四边形，所以，则，解得，，故答案为.16.已知正方体表面积为S，体积为V，从该正方体中切割出一个四面体，其表面积，体积为，则________，________.【正确答案】①.②.【分析】根据正方体的特征，利用锥体的表面积和体积计算公式即可求解.【详解】设正方体的棱长为，由正方体的性质可知，四面体每个面均是边长为的正三角形，所以，因为，所以，，则，故；.四、解答题（本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，其余各题均为12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知复数（其中且，为应数单位），且为纯虚数.（1）求实数a的值；（2）若，求复数的模.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）先求得，再根据是纯虚数建立方程即可求出；（2）根据复数除法运算法则求出，即可求出.【小问1详解】由已知得：，且是纯虚数，∵，∴.【小问2详解】由（1）得：，∴∴.18.在平而直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为和，，.（1）求向量与夹角的余弦值；（2）若点P是线段的中点，且向量与垂直，求实数k的值.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）用坐标表示向量，然后由数量积的定义求得夹角余弦值；（2）由向量与的数量积为0可求得．【小问1详解】由已知得，，所以：，，，所以所求余弦值为．【小问2详解】因为，，而向量与向量有垂直，所以，所以．所以19.如图，一个高为8的三棱柱形容器中盛有水，若侧面水平放置时，水面恰好过，，的中点E，F，G，H.（1）直接写出直线FG与直线、直线FG与平面的位置关系（不要求证明）；（2）有人说有水的部分呈棱台形，你认为这种说法是否正确？并说明理由.（3）已知某三棱锥的底面与该三棱柱底面全等，若将这些水全部倒入此三棱锥形的容器中，则水恰好装满此三棱锥，求此三棱锥的高.【正确答案】（1）直线FG与直线异面；直线FG与平面平行；（2）不正确，理由见详解；（3）18【分析】（1）根据三角形中位线定理，异面直线的定义进行判断即可；（2）根据棱台的定义进行判断即可；（3）根据棱锥和棱柱的体积公式进行求解即可.【小问1详解】因为水面恰好过AC，BC，，的中点E，F，G，H，所以又且因此且，所以四边形是平行四边形，则平面平面，因为平面，所以平面，由四边形是平行四边形可得，，而，所以直线FG与直线不可能平行，而面平面，所以直线FG与直线不可能是相交直线，所以直线FG与直线是异面直线；直线FG与平面平行.【小问2详解】不正确；因为棱台各侧棱交于一点，易知无交点，所以该几何体不是棱台；【小问3详解】设此三棱锥的高为，底面面积为S，容器中水的形状为棱柱，体积为所以有，解得，即三棱锥的高为18.20.在中，.（1）求A；（2）若点D在BC边上，，，求的面积.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）利用正弦定理角化边，结合余弦定理即可求出A；（2）判断出D在BC中点，结合向量，利用向量的模长公式得到一个关于边长的方程，再结合余弦定理的方程，即可求出，从而求出面积.【小问1详解】由正弦定理得：，，结合余弦定理得：，且在三角形中，，.【小问2详解】,所以,D是BC的中点，，即，，且,两式相减得：,所以，.21.如图，在四棱锥中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，，，，点E、F分别为棱PD、AB的中点．（1）证明：AE//平面PCF；（2）求三棱锥的体积．【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）通过构造平行四边形方法来证得面.（2）通过等体积变换的方法求得三棱锥的体积.【小问1详解】取的中点G，连接，，因为、F、G分别为、、的中点，故，且，且，故且，所以四边形为平行四边形，，又面，面，面．【小问2详解】由（1）可知，面，且F为的中点，底面为菱形，，，.22.如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为，与小岛相距为.为钝角，且.（1）求小岛与小岛之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；（2）记为，为，求的值.【正确答案】（1）2，18平方（2）【分析】（1）由同角平方关系，求出，在中结合余弦定理即可求出结果；（2）在中结合正弦定理求得，然后根据同角的平方关系求出，再由平面几何图形以及诱导公式求出和，然后利用两角和的正弦公式即可求出结果.【详解】（1）因为，且角为钝角，所以.在中，由余弦定理得，，所以，即，解得或（舍），所以小岛与小岛之间的距离为.∵，，，四点共圆，∴角与角互补，∴，，在中，由余弦定理得：，∴，∴.解得（舍）或.∴.∴四个小岛所形成的四边形的面积为18平方.（2）在中，由正弦定理，，即，解得又因为，所以，且为锐角，所以为锐角，所以，又因为，，所以.2023-2024学年广东省广州市高一下学期期中数学质量检测模拟试题一、单选题1．设向量＝（m+1，﹣4），＝（﹣m，2），若，则m＝（

）A．1 B．﹣1 C． D．0【正确答案】A【分析】利用向量平行的条件,计算求解.【详解】根据向量平行的条件得,解得,故选：A.2．在中，若，则（

）A．3 B． C．4 D．【正确答案】D【分析】先求得的值，然后求得.【详解】由于，所以，所以.故选：D3．已知，且是第四象限角，则的值为（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】由诱导公式知、，结合同角三角函数的平方关系以及是第四象限角，即可求.【详解】由，即又，是第四象限角，∴.故选：B4．在中，角的对边分别为，且，，，则（

）．A． B． C． D．【正确答案】B【分析】利用余弦定理可构造方程直接求得结果.【详解】在中，由余弦定理得：，即，解得：或（舍），.故选：B.5．已知平面向量，满足，，与的夹角为60°，则（

）A． B． C．5 D．3【正确答案】D【分析】根据数量积的定义即可求解.【详解】.故选：D.6．函数是（

）A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数【正确答案】A【分析】化简可得，根据奇偶性的定义，可判断的奇偶性，根据周期公式，即可求得答案.【详解】由题意得，所以，故为奇函数，周期，故选：A7．已知，则（

）A． B．7 C． D．1【正确答案】A【分析】利用表示，代入求值.【详解】，即，.故选：A8．已知函数，则（

）A． B．在上单调递增C．在上的最小值为 D．在上的最大值为【正确答案】C【分析】A.直接求解判断；B.由，得到，利用正弦函数的性质判断；CD.利用正弦函数的性质求解判断.【详解】A.，故错误；B.因为，所以，不单调，故错误；C.当，即时，取得最小值，且最小值为，在上无最大值，故正确，D错误.故选：C9．如图，已知，用，表示，则等于（

）A． B．C． D．【正确答案】C【分析】根据向量加法和减法的三角形法则即可求解.【详解】解：，，故选：C.10．已知向量共线，则实数x的值是（

）A．1 B． C．6 D．【正确答案】C【分析】利用向量平行的坐标运算，即可得答案；【详解】向量共线，，故选：C.11．已知，则（

）A． B．17 C．5 D．【正确答案】A【分析】首先求出的坐标，再根据向量模的坐标公式计算可得；【详解】解：因为，所以，所以故选：A12．为了得到函数图象，只需把函数的图象（

）A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位【正确答案】C【分析】逆用两角差的正弦公式将化为一个角的三角函数，再根据平移法则判断即可.【详解】，故将其向左平移个长度单位可得故选：C方法点睛：解决此类问题的方法是将原函数化为与目标函数同名的一个角的三角函数，再根据三角函数图象的变换法则求解.二、填空题13．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，则___________.【正确答案】【分析】根据正弦定理可得，又由得，即可求得结果.【详解】由正弦定理得，而，，，所以，解得，因为，所以或，又因为，，所以，所以，所以.故答案为.14．函数的最小正周期为___________.【正确答案】【分析】利用正切函数的周期公式求解.【详解】由题可知，的最小正周期.故15．在△ABC中，若a2－b2－c2＝bc，则A＝________.【正确答案】【分析】由已知关系式变形整体得到cosA即可.【详解】由a2－b2－c2＝bc可得：，即cosA=，所以.故.16．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若，则______．【正确答案】【分析】由正弦定理，即可求出；【详解】解：在中，角，，所对的边分别为，，．，，，由正弦定理得：，即，解得．故三、解答题17．化简：．【正确答案】1【分析】利用三角函数诱导公式求解即可.【详解】原式.18．已知向量，.（1）求的坐标；（2）求.【正确答案】（1）；（2）2.【分析】运用向量的坐标运算法则计算即可.【详解】（1）因为故（2）因为所以19．已知函数，求（1）的最小