2023-2024学年上海市长宁区高一上册期末数学学情检测模拟试题合集2套（含解析）

2023-2024学年上海市长宁区高一上册期末数学学情检测模拟试题一、填空题1．若一个幂函数的图像过点，则该函数的表达式为______．【正确答案】【分析】设幂函数为，代入点的坐标即可求出结果.【详解】设幂函数为，则，即，所以该函数的表达式为，故答案为.2．终边在直线上的角构成的集合可以表示为_________.【正确答案】【分析】写出终边落在直线上且在第一、三象限的角的集合，即可得到结果．【详解】∵角的终边在直线上，∴角的终边在一、三象限的角平分线上，∴．故．3．化简：______.【正确答案】【分析】根据两角差的正弦函数的公式，化简运算，即可求解.【详解】由题意，根据两角差的正弦函数的公式，可得.故答案为.本题主要考查了两角差的正弦函数的公式的化简、运算，其中解答中熟记两角和与差的三角恒等变换的公式是简单的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．已知，试用表示为______.【正确答案】【分析】指对互化可得，由换底公式可得，由可得答案.【详解】因为，所以，可得，.故答案为.5．函数的定义域为，则实数m的取值范围是______.【正确答案】【分析】由条件可得对都有，然后分、两种情况讨论求解即可.【详解】因为函数的定义域为，所以对都有，当时成立，当时有，解得，综上可得，故6．若扇形的周长为16，问当圆心角为______时，扇形面积最大？【正确答案】2【分析】设该扇形的弧长为、半径为、圆心角为，根据条件可将表示成关于的二次函数，由此可得答案.【详解】设该扇形的弧长为、半径为、圆心角为，因为扇形的周长为16，所以，所以，所以当时最大，此时，故2.7．已知角的终边上一点，，则的值为______.【正确答案】【分析】利用三角函数的定义，求得正弦值与余弦值，可得答案.【详解】由角的终边上一点，则当时，，，即；当时，，，即.故答案为.8．奇函数在上是严格减函数，且，则的解集是______.【正确答案】【分析】利用奇函数的性质，结合函数的单调性，可得函数与零的大小关系，可得答案.【详解】由奇函数在上是严格减函数，则在上是严格减函数，由，则奇函数，且当时，，当时，，即不等式的解集为.故9．在区间上，函数与在同一个点取得相同的最小值，那么在区间上的最大值为______．【正确答案】4【分析】将化简得，运用均值不等式得，所以，由二次函数的性质求得的解析式，再求出的最大值，得解.【详解】由，当且仅当时取等号，得，于是也在处取得最小值3，则,解得，即，所以在区间上的最大值为．故填：4.本题考查双勾函数和二次函数的最值问题，关键在将双勾函数化简运用均值不等式求最值和二次函数运用配方法求最值，属于中档题.10．已知的外接圆半径是2，，，边长______.【正确答案】2或4##4或2【分析】先利用正弦定理求出，再利用余弦定理列方程可求出.【详解】因为的外接圆半径是2，，所以由正弦定理得，由余弦定理得，，化简得，解得或，故2或4二、单选题11．下列命题中真命题是（

）A．第一象限的角为锐角 B．钝角是第二象限的角C．小于的角是锐角 D．终边在轴负半轴上的角既是第二象限角又是第三象限角【正确答案】B【分析】根据象限角和锐角和钝角的定义判断依次判断各选项即可.【详解】对于选项A，若，则为第一象限角，但不是锐角，A错误；对于选项B，若为钝角，则，所以为第二象限角，B正确；对于选项C，若，则，但不是锐角，C错误；对于选项D，终边在轴负半轴上的角既不是第二象限角也不是第三象限角，D错误；故选：B.12．关于幂函数及其图象，有下列四个命题：其中正确的命题个数是（

）①其图象一定不通过第四象限；②当时，函数是增函数；③当时，其图象关于直线对称；④的图象与的图象至少有两个交点.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【正确答案】B【分析】利用幂函数的性质可判断①，举例可判断②③④.【详解】对于①，因为时，幂函数，所以其图象一定不通过第四象限，故正确；对于②，当时，如时，在上不是增函数，故错误；对于③，当时，如时，在其图象不关于直线对称，故错误；对于④，当时，与联立解得，其图象交点为，只有1个交点，故错误.故选：B.13．在△中，“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【正确答案】C【详解】试题分析：由正弦定理，得，由得，即，由大边对大角得；当得，即，由正弦定理得，因此“”是“”的充要条件，故答案为C.1、正弦定理的应用；2、充要条件的判断.14．已知函数与的图象如图所示，则函数的图象可能是（

）A． B．C． D．【正确答案】D【分析】利用函数的奇偶性结合在定义域上的函数值的正负即可判断.【详解】由图知，的定义域为，的定义域为，令时，或，且，设，则函数的定义域为，关于原点对称，因为为偶函数，为奇函数，所以，则，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，对于选项A，因为是奇函数，图象关于原点对称，故A错误；对于选项B，因为是奇函数，图象关于原点对称，故B错误；对于选项C，当时，，，所以，故C错误；对于选项D，由图知，当时，，当时，，结合奇函数的对称性可得时的图象，故D正确.故选：D.三、解答题15．设集合，，(1)若，求实数的取值范围.(2)若，求实数的取值范围.【正确答案】(1)(2)【分析】（1）先求出集合，再由，得，从而可求出实数的取值范围；（2）由，列出关于的不等式，从而可求出实数的取值范围.【详解】（1），，因为，所以，所以，解得，所以实数的取值范围为；（2）因为，所以或，解得或，所以实数的取值范围为16．已知.(1)求：的值；(2)求的值.【正确答案】(1)(2)【分析】（1）由诱导公式可得结果.（2）由差角公式、完全平方公式可得结果.【详解】（1）∴的值为.（2）∵∴又∵∴17．某居民小区的自来水蓄水池足够大，现存有40吨水，水厂每小时可向蓄水池中注入8吨水，同时蓄水池又向居民不间断地供水，小时的供水总量为吨.(1)设蓄水池中的水量，当为何值，蓄水池中的水量最小，最小水量是多少？(2)若蓄水池中水量少于10吨时，就会出现供水紧张现象，试问在24小时内，有多少小时会出现供水紧张现象？【正确答案】(1)当时，蓄水池中水量最小，最小水量为8吨；(2)4小时.【分析】（1）由题意得到的解析式，然后可得答案；（2）解出不等式可得答案.【详解】（1）由题意可得，所以当，即时，蓄水池中水量最小，为8吨.（2）由可得，所以，即，；则在24小时内，有4小时会出现供水紧张现象.18．已知关于的函数为上的偶函数，且在上的最大值为10.(1)求函数的解析式.(2)若不等式在恒成立，求实数的取值范围.(3)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【正确答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用偶函数的性质，结合二次函数求最值，可得答案；（2）根据二次函数的性质，利用分类讨论的思想，可得答案；（3）利用换元法整理不等式，根据基本不等式，可得答案.【详解】（1）∵在为偶函数，∴，则可得，解得，即，∵在上的最大值为10，即，∴，∴.（2）不等式可化简为为在恒成立.当时，不符合题意，则时，只需满足且即可，即，解得所以实数的取值范围为.（3）令，不等式可在上恒成立，由，当且仅当，即时等号成立，故.2023-2024学年上海市长宁区高一上册期末数学学情检测模拟试题一、填空题1．设集合，全集，则________．【正确答案】【分析】求解不等式得到集合，再求.【详解】由得，故，所以当全集时，或.故答案为.2．函数的定义域为_________．【正确答案】【分析】根据分母不为零，被开方数不小于零，零次的底不为零列不等式求解.【详解】由已知得，解得即函数的定义域为故答案为.3．函数的零点为_________．【正确答案】或4【分析】直接令解方程即可.【详解】令，得，解得或4故或4.4．若，，则是第______________象限角．【正确答案】三【分析】根据，判断应该在第二或第三象限，再根据锁定象限【详解】在第二或第三象限，又在第一或第三象限，在第三象限本题考查任意角对应三角函数所在象限的判断，熟记正弦、余弦、正切在每一象限对应值的正负是关键5．若一半径为2的扇形的弧长是其半径的，则该扇形的面积为_________．【正确答案】【分析】由扇形的弧长及其半径求得圆心角的大小，再求扇形的面积.【详解】设扇形的弧长，半径，圆心角，则由得，故扇形的面积，故6．“”是“”的________条件【正确答案】必要不充分【分析】求出的解集，并判断与此解集的推出关系得出结论.【详解】当时，方程为化为，此时成立；当时，方程为化为，解得舍去；当时，方程为化为，此时舍去；当时，方程为化为，此时成立；故的解集为.由可推得，反之不成立，故“”是“”的必要不充分条件.故必要不充分.7．记函数所过定点为P，若P位于幂函数的图象上，则_________．【正确答案】【分析】求出函数所过定点P的坐标，代入幂函数解析式求出的解析式，再求的值.【详解】在函数中令得，故所过定点为，设，将代入得，所以，故，所以.故8．若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是_________．【正确答案】【分析】根据函数定义域为R，可得在R上恒成立，则，从而可得出答案.【详解】因为函数定义域为R，所以在R上恒成立，所以，解得.故答案为.9．记的减区间D，则在上的值域为_________．【正确答案】【分析】由复合函数的单调性判断方法求出区间D，由对勾函数的单调性求出函数的值域.【详解】的定义域为，在定义域上为减函数，且当时，为增函数，由复合函数的单调性判断方法知的减区间为，，令，由得，则，因为在时为增函数，为减函数，所以当即时，函数取得最大值，当即时，函数取得最小值.故10．称满足以下条件的函数为“函数”：从定义域D中任取x，总存在唯一的满足．根据该定义，以下命题中所有真命题的序号为_________．①若为函数，则；②是函数；③是函数；④是函数；⑤若为函数，则．【正确答案】②⑤【分析】①：举例说明不成立；②：根据函数定义的判断可以证明为函数；③：取时满足的不是唯一的，判断不是函数；④：取，满足的无穷多解，判断不是函数；⑤：由函数得，一定可求得两根，显然，所以恒成立，求得的范围.【详解】①：对，对任意的，取，满足;若即，则，由得，且是唯一的，所以为函数，但，故①错误；②：，其图象可看作由的图象向右平移个单位，向下平移2个单位得到，故的图象关于点中心对称，所以对定义域内任意有成立，的定义域为，值域，在上均为单调函数，对定义域内任意，取也在定义域内，都有，若满足，则，由值域知故，故,又在上均为单调函数，故满足的是存在且唯一的，所以是函数，故②正确；③，定义域为，取，由得，即，解得或，故不是唯一的，所以不是函数，故③错误；④：，取，由得，即，当时均成立，故不是唯一的，所以不是函数，故④错误；⑤若为函数，显然,则满足的是唯一的，由得，即，一定可求得两根，显然，按函数定义知，所以，即恒成立，所以，解得．故⑤正确；故②⑤若关于中心对称，且在中心两侧为单调函数，则为“函数”，由对称中心知，故存在满足．由单调函数知满足的是唯一存在的.在本题中①②③④⑤都可用此结论引导求解.二、单选题11．已知，以下不等关系不一定成立的是（

）A． B．C． D．【正确答案】B【分析】①：利用不等式的性质判断；②：当时由指数函数的单调性知不能判断与的大小关系，当时显然不成立；③：利用的单调性判断；④：可将与1比大小.【详解】①：由得，故①成立；②：当时根据指数函数的单调性知，当时，，当时，，当时，，故②不成立；③：因为为增函数，，知，故③成立；④：因为，所以，故④成立；故选：B12．在用二分法求函数零点的近似值时，若某一步将零点所在区间确定为，则下一步应当确定零点位于区间（

）A． B．C． D．【正确答案】A【分析】利用二分法及零点存在定理判断函数零点所在区间【详解】设，由二分法知当零点在时，取区间的中点1.6625，计算得由知，下一步应当确定零点位于区间，故选：A13．函数y=ax2+bx与y=（ab≠0，|a|≠|b|）在同一直角坐标系中的图像可能是（

）A． B．C． D．【正确答案】D【详解】解：对于A、B两图，而y=ax2+bx的两根为0和，且两根之和为，由图知得，矛盾，对于C、D两图，，在C图中两根之和，即矛盾，C错，D正确．故选：D．14．函数的解析式为，值域为，则符合要求的函数的个数为（

）A．16个 B．945个 C．2025个 D．1个【正确答案】B【分析】先求出值域中每个函数值对应的自变量构成的集合，根据函数的定义，要产生一个函数值只要从相应的集合中取出至少一个元素，这些元素构成了的一个非空子集，可以确定非空子集的个数，的定义域为集合的并集，从而求出的定义域的个数即为不同的函数的个数.【详解】满足解析式为，值域为，①，解得，要使，的定义域必须含有集合中至少一个元素，如果将这些元素放在一个集合中，那么集合相当于集合的一个非空子集，这样的集合共有15个；②，解得，要使，的定义域必须含有集合中至少一个元素，如果将这些元素放在一个集合中，那么集合相当于集合的一个非空子集，这样的集合共有7个；③，解得，要使，的定义域必须含有集合中至少一个元素，如果将这些元素放在一个集合中，那么集合相当于集合的一个非空子集，这样的集合共有3个；④，解得，要使，的定义域必须含有集合中至少一个元素，如果将这些元素放在一个集合中，那么集合相当于集合的一个非空子集，这样的集合共有3个；要使值域为，则①②③④中的解组合后形成的定义域，即定义域为，因此的定义域的组合情况有：种，故符合要求的函数的个数为945.故选：B函数的三要素有定义域、值域、对应法则，只要定义域不同就是不同的函数，当多个自变量对应同一个函数值时，要得到此函数值，只要从中取至少一个即可，从而可以组成不同的函数定义域，也就是得到不同的函数.三、解答题15．已知函数．(1)判断函数的奇偶性，并按定义证明；(2)判断函数在时的单调性，并按定义证明．【正确答案】(1)奇函数，证明见解析(2)单调递减，证明见解析【分析】（1）直接利用奇偶性的定义证明即可；（2）直接利用单调性的定义证明即可.【详解】（1）由题意得，解得，函数的定义域为，又，所以函数为奇函数；（2），任取，则，，，即，，即即函数在时的单调递减.16．已知集合，若．(1)求a的取值范围；(2)当a为可能取得的最大整数时，解关于x的方程：．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）分别求出集合，根据讨论是否为空集并列出满足的不等式求出其取值范围；（2）视为关于的二次方程，求得的值再求出x的值.【详解】（1），当时，，满足题意；当时,，由得，解得，故a的取值范围.（2）由（1）知，故方程转化为，解得或（舍），故.17．设．(1)求在上的最小值；(2)当时，若不等式在上有解，求x的取值范围．【正确答案】(1)当时，；当时；(2)【分析】（1）根据二次函数的性质，分类讨论可得最小值；（2）把问题转化为在上的最大值大于，结合对数的运算和二次函数的性质求出的最大值，再解不等式即可．【详解】（1），当，即时，在上的最小值；当，即时，在上的最小值.（2）当时，，令，，，当时，，则当，即时，取最大值1，由题意得，即，解得，所以x的取值范围是．18．已知．(1)当时，解不等式；(2)若关于x的方程的解集中恰好有一个元素，求实数a的值；(3)若对任意，函数在区间上总有意义，且最大值与最小值的差不小于2，求a的取值范围．【正确答案】(1)(2)或0(3)【分析】（1）利用对数函数的单调性，求不等式的解集即可；（2）根据题意得出方程恰有一个实根，化简转化为判断方程的根的个数问题，通过讨论和即可求出答案.（3）对任意，函数在区间上总有意义，得对恒成立，求得.根据题意得出，即任意恒成立，利用二次函数在区间上恒成立求得的范围.【详解】（1）当a＝1时，不等式化为，∴，即，解得0＜x＜1，经过验证满足条件，因此不等式的解集为；（2）由，得，即，所以，当时，则，解得x＝1，经过验证此时满足题意；当时，①若，则a＝，此时解得x＝2．经过验证满足题意；②若时，方程有两不等实根，设为，显然，由，得，因为，所以，即所以都满足，所以此时不满足题意.综上可得或；（3）因为对任意，函数在区间上总有意义，所以对恒成立，因为在上为减函数，故只需对任意恒成立，所以只要，故，解得对任意，函数在区间上单调递减，所以函数在区间上最大值为，最小值为，所以，所以，即任意恒成立，令当a＝0时，任意不恒成立；当a＞0时，在上单调递增，所以t＝时，取得最大值，且最大值为，所以当a＞0时不满足.当时，任意恒成立，有以下三种情况：①，解得，结合得.②，由得，而，故此情况无解.③，解得，此时无解.所以实数a的取值范围是．二次不等式在区间上恒成立问题解决方法：设，在上恒成立或或，在上恒成立.二次项系数小于0，可转化为二次项系数大于0处理.19．已知函数.（1）解不等式；（2）设均为实数，当时，的最大值为1，且满足此条件的任意实数及的值，使得关于的不等式恒成立，求的取值范围；（3）设为实数，若关于的方程恰有两个不相等的实数根，且，试将表示为关于的函数，并写出此函数的定义域.【正确答案】（1）；（2）；（3），定义域为.【分析】（1）把转化为或，分别求得不等式组的解集，即可求解；（2）根据题意求得的范围，把不等式恒成立，转化为恒成立，结合基本不等式，即可求解；（3）由题意得到，转化为是方程的两个根，且，并求得的范围，进而求得关于的函数，即可求解.【详解】（1）由题意，函数，则不等式等价于或，即或，即不等式的解集为.（2）当时，的最大