专题24多面体的外接球半径常见求法（学生版）

专题24：多面体的外接球半径常见求法<<<专题综述>>><<<专题综述>>>球作为特殊的旋转体，不仅在数学中，而且在物理学地理学中都是经常研究的对象，如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上,那么称这个多面体是球的内接多面体,这个球为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，多面体的与外接球直接的关系如何，球心的位置如何寻求呢？<<<专题探究>>><<<专题探究>>>题型一：题型一：寻求轴截面圆半径法该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.例1(2021·全国甲卷理科)已知A,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点,且AC⊥BC,AC=BC=1，则三棱锥O-ABC的体积为(

)A.212 B.312 C.24【思路点拨】先确定△ABC所在的截面圆的圆心O1为斜边AB的中点，然后在Rt△ABC和Rt△AOO1练1(2022·湖南省湘潭市模拟·多选)如图，已知圆锥顶点为P，其轴截面△PAB是边长为6的为正三角形，O1为底面的圆心，EF为圆O1的一条直径，球O内切于圆锥(与圆锥底面和侧面均相切)，点Q是球O与圆锥侧面的交线上一动点，则(

)A.圆锥的表面积是45π

B.球O的体积是43π

C.四棱锥Q-AEBF体积的最大值为93

D.【思路点拨】设截面圆圆心为O2，根据题意得出球O的半径|OO1|=3，

|题型二：题型二：确定球心位置法此类题一般考虑球心、截面圆圆心的连线与截面垂直，再借助等式R=r2+例2(2022·湖南省长沙市模拟)已知点A是以BC为直径的圆O上异于B，C的动点，P为平面ABC外一点,且平面PBC⊥平面ABC，BC=3,PB=22,PC=5,则三棱锥P-ABC【思路点拨】由O为△ABC外接圆的圆心，且平面PBC⊥平面ABC，过O作面ABC的垂线l，则垂线l一定在面PBC内，可得球心O1一定在面PBC内，即球心O1也是△PBC外接圆的圆心，在△PBC中，由余弦定理、正弦定理即可得外接球半径练2(2022·广东省中山市模拟)已知四棱锥P-ABCD的顶点都在球O上,AB=3,BC=4,CD=1，AD=26，AC=5，平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥PD，则球O的体积为

．【思路点拨】由题意画出图形，取AC的中点O，证明O为四棱锥P-ABCD的外接球的球心，求出半径，再由球的体积公式求解．练3(2022·湖北省武汉市联考)一边长为4的正方形ABCD，M为AB的中点，将△AMD,△BMC分别沿MD,MC折起，使MA,MB重合，得到一个四面体，则该四面体外接球的表面积为__________．【思路点拨】先根据已知图象定出外接球的球心位置，然后通过勾股定理求解出四面体的外接球的半径，从而可求球的表面积．题型三：题型三：补形法此类题多数补成长方体，再利用长方体的对角线等于外接球的直径求出；若补成三棱柱，可利用等式R=r2+例3(2022·湖北省武汉市模拟)在上、下底面均为正方形的四棱台ABCD-A1已知AA1=BB1=CC1=DD该四棱台外接球的体积为

．【思路点拨】先求出侧面等腰梯形的面积即可求出棱台的表面积；设AC∩BD=O，A1C1练4(2023·浙江省温州市模拟)已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，PA⊥平面ABC，PA=2AB=23，则该球的表面积为(

)A.8π B.16π C.32π D.36π【思路点拨】由题意把P-ABC扩展为三棱柱，求出上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，然后求出球的表面积．题型四：题型四：坐标法由球心与多面体所有顶点的距离都是球半径，建立适当的空间直角坐标系进而求出外接球半径R.例4(2022·四川省广安二中四模)直角△ABC中，AB=2，BC=1，D是斜边AC上的一动点，沿BD将△ABD翻折到△A'BD，使二面角A'-BD-C为直二面角，当线段A'C的长度最小时，四面体A'BCD的外接球的表面积为(

)A.13π4 B.21π5 C.13π【思路点拨】过点A'作A'H⊥BD交BD延长线于H，过点C作CM⊥BD交BD于M，再作NH//CM，CN//MH，使得CN与HN交于点N，得到A'C=5-2sin2θ≥3，当且仅当θ=π4时等号成立，再根据题意，以H为坐标原点，以HB，HN练5(2022·山西省太原市一模)如图①，在Rt△ABC中，C=π2，AC=BC=2，D,E分别为AC,AB的中点，将△ADE沿DE折起到△A1DEA．2π B．23π C．26【思路点拨】由题意可知CD、DA、DE两两垂直,以D进而利用坐标法求球心坐标.<<<专题训练>>><<<专题训练>>>1.(2022·湖北省高三开学考试)在三棱锥P-ABC中,∠PAC=∠PAB,AC=2AB=4,PA=PB=2，BC=23，则三棱锥P-A．22π B．26π C．64π3 D．2.(2022·浙江省金华市模拟)设三棱柱ABC-A1∠BAC=120∘,AA1A.46π B.35π C.43π D.39π3.(2023·湖北省咸宁市联考)已知三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的球面上，且AB⊥平面BCD，AB=23，AC=AD=4，CD=2，则球O的表面积为(

)A.3π B.13π3 C.13134.(2022·山东省潍坊市模拟)《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑(四个面均为直角三角形的四面体).在如图所示的堑堵ABC-A1B1C1中，BB1=BC=23，AB=2，AC=4，且有鳖臑C1-ABB1和鳖臑C1-ABC，现将鳖臑C15.(2022·广东省湛江市联考)在边长为2的菱形ABCD中，BD=23，将菱形ABCD沿对角线AC对折，使二面角B-AC-D的余弦值为13，则所得三棱锥A-BCD的外接球的表面积为

．6.(2021·广东省湛江市模拟)已知三棱锥P-ABC中,∠BAC=90∘,AB=AC=2,PB=PC,PA=14，O1为△ABC的外接圆的圆心,cos∠PAO7.(2022·广东省茂名市模拟)如图所示，三棱锥P-ABC的顶点P、A、B、C都在球O的球面上，且△ABC所在平面截球O于圆O1，AB为圆O1的直径，点P在底面ABC上的射影为点O1，点C为AB的中点，点D为棱BC的中点．若cos∠PDO1=23，点P到底面ABC的距离为78.(2022·河北省邯郸市模拟)在四面体ABCD中，∠ACB=60​∘，∠DCA=90二面角D-AC-B的大小为120°，则此四面体的外接球的表面积是

．9.(2022·浙江省宁波市