专题6.5数列的综合应用(学生版)

专题6.5数列的综合应用1.数列与函数的综合数列是一种特殊的函数，它的图象是一些孤立的点，此类问题大部分要归于对函数性质的研究，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想求解.判断数列中的不等关系，可以利用数列的单调性比较大小，或者借助数列对应的函数的单调性比较大小；数列中的恒成立问题，可转化为函数求最值问题解决；数列中的不等式证明问题，可构造函数进行证明，或者采用放缩法进行证明.3.数列在实际应用中的常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差.(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的非零常数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑考查的是第n项an与第n+1项an+1的递推关系还是前n项和Sn与前n+11.【人教A版选择性必修二4练习5P24】记不超过x的最大整数为[x]，如[-0.5]=-1，[π]=3.已知数列{an}的通项公式an=[log28n]，设数列{anA.5 B.6 C.15 D.162.【人教A版选择性必修二例4P31】习近平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山．”新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向．工业部表示，到2025年中国的汽车总销量将达到3500万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一．江苏某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台16200元，第一年每台设备的维修保养费用为1100元，以后每年增加400元，每台充电桩每年可给公司收益8100元．(1)每台充电桩第几年开始获利？(2)每台充电桩在第几年时，年平均利润最大．考点一考点一数列与函数、不等式的交汇【方法储备】数列与函数、不等式的综合问题关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，求出数列的通项或前n项和，再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题，通过放缩进行不等式的证明．1.数列与函数的综合问题：①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题；②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形.2.数列与不等式的综合问题：1.函数法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式赋特殊值得出数列中的不等式.2.比较法：作差或者作商进行比较.3.放缩法：一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”；二是求和后再“放缩”.4.数列中不等式恒成立问题：数列中有关项或前n项和的恒成立问题，往往转化为数列的最值问题；求项或前n项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解.【典例精讲】例1.(2023·重庆市期末)已知数列an满足an+1=12an-12，aA.116,+∞ B.18,+∞例2.(2022·湖北省荆州市模拟)已知数列{an}满足：(an+1-1)A.若an>1，则数列{an}是单调递减数列

B.若0<an<1例3.(2023·江苏省南京市期末)设Sn是数列{an}的前n项和，Sn=32an-3n+1，则a【拓展提升】练11(2023·浙江省杭州市月考)已知数列{an}的通项公式为an=1n(n+2)，前n项和为Sn，若实数λ满足(-1)nA.-103<λ≤94 B.-10练12(2022·湖南省长沙市月考)已知函数f(x)=1+(1)求函数y=f(x)的最大值；(2)证明：ln2考点二考点二数列的实际应用【方法储备】解答数列实际应用问题的步骤:1.确定模型类型：理解题意，判断符合哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单递推数列模型．基本特征如下：=1\*GB2⑴等差数列模型：均匀增加或者减少；=2\*GB2⑵等比数列模型：指数增长或减少，常见的是增产率问题、存款复利问题；=3\*GB2⑶简单递推数列模型：指数增长的同时又均匀减少．如年收入增长率为20%，每年年底要拿出a(常数)作为下年度的开销，即数列an满足an+1=1.2a2.准确解决模型：解模就是根据数列的知识，求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等，在解模时要注意运算准确．3.给出问题的回答：实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这点．【典例精讲】

例4.(2023·湖北省孝感市模拟)为响应国家号召，某地出台了相关的优惠政策鼓励“个体经济”.个体户小王2022年6月初向银行借了1年期的免息贷款8000元，用于进货，因质优价廉，供不应求.据测算：他每月月底获得的利润是该月初投入资金的20%，并且每月月底需扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2023年5月底他的年所得收入(扣除当月生活费且还完贷款)为

元(参考数据:1.211≈7.5，1.A.35200 B.43200 C.30000 D.32000例5.(2023·湖南省株洲市月考)已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为an=3n+1，bn=2n，设数列{an}和{bn}中的所有项分别构成集合A，B，定义集合A-B={x|x∈A且A.1630 B.1632 C.1908 D.1910【拓展提升】练21(2023·浙江省杭州市联考)某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为10%，且每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3⋯，Sn为{cn}的前n项和，则S6=

.(结果保留成整数)(参考数据：1．15练22(2022·江苏省泰州市月考)某景点上山共有999级台阶，寓意长长久久．甲上台阶时，可以一步走一个台阶，也可以一步走两个台阶，若甲每步上一个台阶的概率为13，每步上两个台阶的概率为23.为了简便描述问题，我们约定，甲从0级台阶开始向上走，一步走一个台阶记1分，一步走两个台阶记2分，记甲登上第n个台阶的概率为Pn，其中n∈N*(1)若甲走3步时所得分数为X，求X的分布列和数学期望；(2)证明：数列{P(3)求甲在登山过程中，恰好登上第99级台阶的概率．考点三考点三数列的新定义问题【方法储备】解数列中的新定义问题的解题步骤：=1\*GB3①读懂定义,理解新定义数列的含义；=2\*GB3②利用新定义，求解数列模型：通过特例列举(一般是前面一些项)寻找新定义数列的规律及性质,以及新定义数列与已知数列(如等差与等比数列)的关系,求解数列的通项，求和.【典例精讲】例6.(2023·浙江省温州市联考)（多选）定义Hn=a1+2a2+⋅⋅⋅+2n-1ann为数列an的“优值”.已知某数列A.数列an为等差数列 B.数列an为递减数列

C.S20202020=20232 例7.(2023·湖北省十堰市模拟)若数列{an}的前n项和为Sn，bn=Snn，则称数列{bn}是数列{an}的“均值数列”.已知数列{(1)求数列{a(2)求实数m的取值范围．【拓展提升】练31(2022·安徽省合肥市联考)（多选）设正整数n=a0⋅20+a1⋅2+⋯+ak-1A.ω2n=ωn B.ω2n+3练32(2023·江苏省泰州市模拟)已知数列2an是公比为4的等比数列，且满足a2，a4，(1)求证：数列an为等差数列，并求数列a(2)若bn=2n-1，定义a*b=a , a≤bb , a>b，且记1.(2023·北京市市辖区模拟)已知数轴上两点O,P的坐标为O(0),P(70)，现O,P两点在数轴上同时相向运动．点O的运动规律为第一秒运动2个单位长度，以后每秒比前一秒多运动1个单位长度；点P的运动规律为每秒运动5个单位长度．则点O,P相遇时在数轴上的坐标为(

)A.(40) B.(35) C.(30) D.(20)2.(2023·江苏省南通市联考)德国数学家康托尔是集合论的创始人，以其名字命名的“康托尔尘埃”作法如下：第一次操作，将边长为1的正方形分成9个边长为13的小正方形后，保留靠角的4个，删去其余5个；第二次操作，将第一次剩余的每个小正方形继续9等分，并保留每个小正方形靠角的4个，其余正方形删去；以此方法继续下去…….经过n次操作后，共删去

个小正方形；若要使保留下来的所有小正方形面积之和不超过11000，则至少需要操作

次．(lg2=0.3010,lg3=0.4771)

3.(2023·广东省佛山市月考)（多选）数列{an}的通项公式满足ann=A.当k=23时，数列{an}一定有最大值

B.当k=12时，数列{an}为递减数列

C.当k∈(0,1【答案解析】1.【人教A版必修二4练习5P24】解：∵an=[log28n]，

∴n=1时，a1=3；n=2时，a2=2；

n=3，4时，an=1；

n=5，6，7，8时，an=0；∴S8=7．

n=9，10，11，12，13，14，15时，an=-1．

n=16时，an=-1．

2.【人教A版必修二例4P31】解：(1)每年的维修保养费用是以1100为首项，400为公差的等差数列，

设第n年时累计利润为f(n)，则fn=8100n-1100n+400nn-12-16200

=-200n2+7200n-16200

=-200n2-36n+81，

开始获利即f(n)>0，∴-200(n2-36n+81)>0，

即n2-36n+81<0，解得例1.解：由an+1=12an-12，an+1+1=12(an+1)，

∴{an+1}是以12为首项，12为公比的等比数列，

即an+1=12n,  an=12n-1，

若对任意的正整数n，例2.解：根据题意，数列{an}满足：(an+1-1)2an+1=(an+1)2an(n∈N*)，

变形可得：an+1+1an+1-2=an+1an+2，即an+1+1an+1=an+1an+4，

故数列{a则an+1+1an+1=52+4n>2+4n，C正确；

对于D则an+1+1an+1=例3.解：当n=1时，a1=S1=32a1-32，得a1=18．

当n≥2时，Sn-1=32an-1-3n，Sn=32an-3n+1，

两式相减得an=32an-32an-1-2×3n，得an=3a练11.解：an=1n(n+2)=12(1n-1n+2)，

前n项和为Sn=12(1-13+12-14+13-15+…+1n-1-1n+1+1n练12.解：(1)解：∵函数f(x)=lnx+1x，∴x>0，则f'(x)=-lnxx2x(0,1)1(1,+∞)f'(x)+0-f(x)单调递增极大值1单调递减因此增区间为(0,1)，减区间为(1,+∞)，极大值为f(1)=1，无极小值，

函数的极大值为最大值，

所以函数的最大值为1．

(2)证明：由(1)可得f(x)=lnx+1x≤f(x)max=f(1)=1，

∴lnxx≤1-1x，当且仅当x=1时取等号．

令x=

例4.解：设2022年6月底小王手中有现款为a1=(1+20%)×8000-800=8800元，

设2022年6月底为第一个月，以此类推，

设第n个月底小王手中有现款为an，第n+1个月月底小王手中有现款为an+1，

则an+1=1．2an-800，即an+1-4000=1.2(an-4000)，

所以数列{an+1-4000}例5.解：∵a30=91，

b6=64<91<b7=128，

所以S30中要去掉数列bn的项最多6项，

数列bn的前6项分别为2,4,8,16,32,64，

其中4,16,64三项是数列an和数列bn的公共项，

所以cn前30项由a练21.解：由题：c1=1200，cn+1=1．1cn-100．

所以cn+1-1000=1.1(cn-1000)．

所以cn-1000=1．练22.解：(1)由题可得X的所有可能取值为3，4，5，6，

且P(X=3)=(13)3=127，

P(X=4)=C3X

3

4

5

6

P

1272949827所以X的数学期望E(X)=3×127+4×29+5×49+6×827=5．

(2)由题可得Pn+2=13Pn+1+23Pn，

所以Pn例6.解：依题意可得Hn=a1+2a2+…+2n-1ann=2n，

∴a1+2a2+…+2n-1an=n⋅2n．

a1+2a2+…+2n-1an+2nan+1=(n+1)⋅2n+1，

∴例7.解：(1)由题意，bn=n，得Snn=n，则Sn=n2，

当n=1时，a1=S1=1，

当n≥2，n∈N*时，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，

又a1=S1=1满足上式，练31.解：对于A选项，n=a0⋅20+a1⋅2+⋯+a对于B选项，取n=2，2n+3=7=1⋅20+1⋅而2=0⋅20+1⋅21，则ω对于C选项，8n+5=a所以，ω8n+54n+3=a所以，ω4n+3=2+a0+对于D选项，2n-1=20+故选ACD．练32.解：(1)因为数列2an是公比为4的等比数列，

所以2an+12an=4，所以2an+1-an=22，

所以an+1-an=2(常数)，所以an为等差数列，且公差为2．

又a2，a4，a7成