高中数学同步讲义（人教A版必修一）：第01讲 1.1集合的概念（学生版）

第01讲1.1集合的概念课程标准学习目标1.元素与集合①理解元素与集合的概念，熟练常用数集的概念及其记法.②了解“属于”关系的意义.③了解有限集、无限集、空集的意义.2.集合的表示方法掌握集合的常用表示方法(列举法、描述法及相互转化).3.元素的性质理解集合元素的三个性质：确定性、无序性、互异性.1.通过集合语言的学习与运用，培养数学思维能力.2.通过实例能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.知识点01：集合的含义一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母,,,…表示.把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母,,,…表示集合.

知识拓展集合的三个特性：①描述性：集合是一个原始的不加定义的概念，像点、直线一样，只能描述性地说明.②广泛性：凡是看得见、摸得着、想得到的任何事物都可以作为组成集合的对象.③整体性：集合是一个整体，已暗示“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象.【即学即练1】（2023·高一课时练习）下列各组对象的全体能构成集合的有（

）（1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体.A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【详解】（1）（3）（4）（5）中的对象是确定的，可以组成集合，（2）中的对象是不确定的，不能组成集合.故选：C.知识点02：元素与集合1元素与集合的关系(1)属于(belongto)：如果是集合的元素，就说属于，记作.(2)不属于(notbelongto)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作.特别说明：表示一个元素，表示一个集合.它们间的关系为：.2集合元素的三大特性（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性.（2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性.（3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性.【即学即练2】（2023·高一课时练习）下列集合中，不同于另外三个集合的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】选项A、B是集合的描述法表示，选项D是集合的列举法表示，且都表示集合中只有一个元素2020，都是数集．选项C它是由方程构成的集合，集合是列举法且只含有一个方程．故选：C知识点03：集合的表示方法与分类1常用数集及其符号常用数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集数学符合或2集合的表示方法（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法（2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法．注用列举法表示集合时注意：①元素与元素之间必须用“，”隔开．②集合中的元素必须是明确的．③集合中的元素不能重复．④集合中的元素可以是任何事物．（3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．（4）（韦恩图法）：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。3集合的分类根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集.（1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示.（2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。【即学即练3】（2023高一课时练习）已知①；②；③0={0}；④；⑤；⑥，其中正确的个数为______.【答案】3【详解】是无理数，属于实数，①正确；是分数，属于有理数，②正确；0表示一个元素，表示一个集合，③错误；N表示从0开始的所有自然数集合，，④错误；是无限不循环小数，属于无理数，⑤错误；Z表示所有整数的集合，-3是整数，，⑥正确；故答案为：3.知识点04：集合相等只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.记作：,例如：，【即学即练4】（2023·江苏·高一专题练习）集合，且，则实数m=________.【答案】1或/或1【详解】因为，且，所以，由，得，解得或故答案为：1或题型01判断元素能否构成集合【典例1】（2023·全国·高三专题练习）下列各对象可以组成集合的是（

）A．与非常接近的全体实数B．北大附中云南实验学校学年度第二学期全体高一学生C．高一年级视力比较好的同学D．高一年级很有才华的老师【典例2】（2023·高一课时练习）下列各组对象不能构成集合的是（

）A．上课迟到的学生 B．年高考数学难题C．所有有理数 D．小于的正整数【变式1】（2023秋·广东揭阳·高一惠来县第一中学校考期中）下列四组对象中能构成集合的是（）A．宜春市第一中学高一学习好的学生B．在数轴上与原点非常近的点C．很小的实数D．倒数等于本身的数题型02判断是否为同一集合【典例1】（2023·高一课时练习）判断下列命题是否正确．（1）集合与集合表示同一集合；()（2）集合与集合表示同一集合；()（3）集合与集合不表示同一集合；()（4）集合与集合表示同一集合．()【典例2】（2022秋·天津滨海新·高一校考阶段练习）下列说法正确的是（

）A．由1，2，3组成的集合可表示为或B．与是同一个集合C．集合与集合是同一个集合D．集合与集合是同一个集合【变式1】（2023·高三课时练习）设是有理数，集合，在下列集合中；（1）；（2）；（3）；（4）；与相同的集合有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个题型03判断元素与集合的关系【典例1】（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知集合下列关系正确的是（

）A． B． C． D．【典例2】（多选）（2023·广西百色·高一校考阶段练习）已知集合，则下列关系式成立的是（

）A． B． C． D．【变式1】（2023·河北·高三学业考试）若不等式3-2x<0的解集为M,则下列结论正确的是

()A．0∈M,2∈M B．0∉M,2∈MC．0∈M,2∉M D．0∉M,2∉M题型04根据元素与集合的关系求参数【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知集合，且，则实数的值为（

）A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若集合，且，则实数___________.【变式1】（2023秋·四川泸州·高一统考期末）已知，则a的值为______．【变式2】（2023·全国·高三专题练习）集合中所有元素之和为，则实数________．题型05根据集合元素互异性求参数【典例1】（2023·全国·高三专题练习）若，则的可能取值有（

）A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3【典例2】（2023·高一课时练习）已知集合中的元素1，4，，且实数满足，求实数的值.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知，若，则实数构成的集合的元素个数是（

）A． B． C． D．【变式2】（2023春·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）已知集合，则实数______．题型06自然语言法【典例1】（2023·高一课时练习）用自然语言描述下列集合：(1)；(2)；(3).题型07列举法【典例1】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考开学考试）集合用列举法表示为（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·河南鹤壁·高一河南省浚县第一中学校考阶段练习）方程组的解集是（

）A． B． C． D．【典例3】（2023·四川·高一校考阶段练习）设集合，则用列举法表示集合为______.【变式1】（2023·山西运城·高一校考阶段练习）集合，用列举法表示为（

）A．1 B．2 C． D．【变式2】（2023·北京海淀·高一北京市十一学校校考期中）已知集合，，用列举法表示集合_____________．题型08描述法【典例1】（2023·高一课时练习）用描述法表示下列集合：（1）被3除余1的正整数的集合．（2）坐标平面内第一象限内的点的集合．（3）大于4的所有偶数．【典例2】（2023春·河北·高二统考学业考试）直角坐标平面中除去两点､可用集合表示为（

）A．B．或C．D．【变式1】（2023·陕西安康·高一陕西省安康中学校考阶段练习）表示下列集合：(1)请用列举法表示方程的解集；(2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合；(3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合；(4)请用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合．题型09两个集合相等问题【典例1】（2023·江西·金溪一中校联考模拟预测）已知集合，，若，则（

）A． B．0 C．1 D．2【典例2】（2023·高一单元测试）设，，，若，则______．【变式1】（2023·辽宁·辽宁实验中学校联考模拟预测）设集合，，若，则（

）A．0 B．1 C．2 D．题型10根据集合中元素的个数求参数【典例1】（2023·全国·高一专题练习）已知集合的元素只有一个，则实数的值为（

）A． B．0 C．或0 D．无解【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知集合.（1）若中有两个元素，求实数的取值范围；（2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围.【变式1】（2023·高一课时练习）已知集合.（1）若中只有一个元素，求及；（2）若中至多有一个元素，求的取值范围.题型11常见数集或数集关系的应用【典例1】（2023·海南·高一海南中学校考期中）下列表示正确的是（

）A． B． C． D．【典例2】（多选）（2022秋·广东佛山·高一校考期中）下列关系式正确的是（

）A． B． C． D．【变式1】（2023·陕西榆林·高一校考阶段练习）下列关系中，正确的个数为（

）①②③④⑤A．5 B．4 C．3 D．2题型12新定义题【典例1】（多选）（2023春·湖南邵阳·高一统考开学考试）若对任意，，则称为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023秋·四川成都·高一成都实外校考期末）定义若则中元素个数为（

）A．1 B．2 C．4 D．5【变式1】（2023·高一课时练习）定义满足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A，且∈A(b≠0)”的集合A为“闭集”．试问数集N，Z，Q，R是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明．本节重点方法分类讨论法【典例1】（多选）（2023秋·山东东营·高一统考期末）关于的方程的解集中只含有一个元素，则的值可能是（

）A． B． C． D．【典例1】（2023·高一课时练习）已知集合，其中.（1）1是中的一个元素，用列举法表示；（2）若中至多有一个元素，试求的取值范围.【变式1】（2023·陕西咸阳·高一校考阶段练习）已知集合.(1)若是空集，求的取值范围；(2)若中至多有一个元素，求的取值范围.1.1集合的概念A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023·高一课时练习）设有下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为．A．1个 B．2个C．3个 D．4个2．（2023·全国·高三专题练习）集合中的元素个数是（

）A．0 B．4 C．5 D．63．（2023秋·山东济南·高一济南市历城第二中学校考期末）方程x2＝x的所有实数根组成的集合为A． B． C． D．4．（2023·全国·高三专题练习）若，则a=（

）A．2 B．1或－1 C．1 D．－15．（2023春·河北承德·高三河北省滦平县第一中学校考阶段练习）已知集合M=且，则M等于（

）A．{2，3} B．{1，2，3，4} C．{1，2，3，6} D．{，2，3，4}6．（2023春·黑龙江佳木斯·高一富锦市第一中学校考阶段练习）由实数，，，，所组成的集合，最多含元素个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．57．（2023秋·四川达州·高一校考阶段练习）若集合中只有一个元素，则A． B． C．0 D．0或8．（2023·全国·高三专题练习）已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当A＝{2}时，集合B＝（

）A．{1} B．{1，2}C．{2，5} D．{1，5}二、多选题9．（2023秋·河南周口·高一周口恒大中学校考期末）下列说法中不正确的是（

）A．与表示同一个集合B．集合＝与＝表示同一个集合C．方程＝的所有解的集合可表示为D．集合不能用列举法表示10．（2022秋·甘肃庆阳·高一校考期中）已知集合，则有（）A． B．C． D．三、填空题11．（2023·高三课时练习）已知集合，则的值为_________．12．（2023·全国·高三专题练习）集合的元素个数为_________．四、解答题13.（2023·高一课时练习）用适当方法表示下列集合：（1）从1，2，3这三个数字中抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的自然数的集合；（2）方程+|y﹣2|＝0的解集；（3）由二次函数y＝3x2+1图象上所有点组成的集合.14．（2023·高一课时练习）已知集合为小于6的正整数}，为小于10的素数}，集合为24和36的正公因数}．（1）试用列举法表示集合且；（2）试用列举法表示集合且．B能力提升1．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，则C集合中元素的个数为（

）A．2 B