平面向量加减运算的坐标表示（教学设计）

§一、内容和内容解析内容：平面向量加减运算的坐标表示．内容解析：本节是高中数学人教A版必修2第六章第3节第三课时的内容．始终抓住向量具有几何与代数双重属性，进一步熟悉向量的坐标表示及运算法则、运算律；熟悉向量代数化的重要作用和在实际生活中的应用，加强方程思想和数学应用意识.会用坐标表示平面向量的加、减运算，培养学生数学运算的核心素养.二、目标和目标解析目标：（1）掌握平面向量加、减运算的坐标表示.（2）会用坐标求两向量的和、差．目标解析：（1）利用平面向量正交分解将两个向量用基底表示，利用加法交换律和结合律，推导出向量加减运算的坐标表示．（2）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在平面向量加减运算的坐标表示的教学中，从已知两个向量的坐标推导向量加减运算的坐标是进行数学推理教学的很好机会．基于上述分析，本节课的教学重点定为：平面向量加、减运算的坐标表示．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：研究平面向量加减运算的坐标表示是本节课的第一个教学问题．解决方案：利用正交分解表示向量，结合平面向量的坐标表示推理出结论．基于上述情况，本节课的教学难点定为：根据平面向量加、减运算的坐标表示求点的坐标．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到平面向量加减运算的坐标表示，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中以问题串的形式引导学生探究，可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点的目的．在教学过程中，重视平面向量加减运算的坐标表示，让学生体会数学推理的基本过程．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图创设情境导入新知“三坐标雷达”亦称一维电扫描雷达，可获得目标的距离、方向和高度信息，比其他二坐标雷达(仅提供方位和距离信息的雷达)多提供了一维高度信息.这使其成为对飞机引导作战的关键设备.此类雷达主要用于引导飞机进行截击作战和给武器系统提供目标指示数据，正如向量，也可以利用平面或空间中的坐标来表示.平面向量的坐标有何运算规律呢？从物理知识引入本课，从而理解向量加法.[问题1]已知作用在坐标原点的三个力分别是F1=（3,4），F2=（3,1），F3=（2，5），这个力的合力坐标是多少？[问题2]设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量a＋b，a－b，如何分别用基底i、j表示？[问题3]已知点A(x1,y1),B(x2,y2),那么向量的坐标是什么?一般地,一个任意向量的坐标如何计算?教师1：提出问题1．学生1：学生思考．教师2：提出问题2．学生2：a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j.教师3：提出问题3.学生3：=(x2x1,y2y1),任意一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.通过探究让学生理解向量加法减法的坐标运算，培养数学抽象的核心素养.探寻规律获得结论教师4：已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，完成下列表格．学生4：完成并填写表格.文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差a－b＝(x1－x2，y1－y2)向量坐标公式一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)典例分析巩固落实1.向量加法运算的坐标表示例1.设向量a、b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，则a＋b＝______.2.向量减法运算的坐标表示例2.已知平面上三个点A(4,6)、B(7,5)、C(1,8)，求eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AC,\s\up6(→))、eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)).例3.已知点O(0,0)，A(1，t)，B(4t,5)及eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，试求t为何值时：(1)点P在x轴上；(2)点P在y轴上；(3)点P在第四象限．[课堂练习]1.已知，求的坐标.2.已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（2，1）、（1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标.教师5：完成例1．学生5：a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(－1＋3,2－5)＝(2，－3)．教师6：完成例2.学生6：∵A(4,6)、B(7,5)、C(1,8)∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(7,5)－(4,6)＝(3，－1)；eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,8)－(4,6)＝(－3,2)；eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)．教师7：完成例3.学生7：设点P的坐标为(x，y)，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝(x，y)，∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4t,5)－(1，t)＝(4t－1,5－t)，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，t)－(4t－1,5－t)＝(2－4t,2t－5)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2－4t，,y＝2t－5.))(1)若点P在x轴上，则y＝2t－5＝0，t＝eq\f(5,2)；(2)若点P在y轴上，则x＝2－4t＝0，t＝eq\f(1,2)；(3)若点P在第四象限，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－4t>0，,2t－5<0，))解得t<eq\f(1,2).教师8：布置课堂练习1、2．学生8：完成课堂练习，并核对答案．1.a+b=(2,1)+(3,4)=(1,5),

ab=(2,1)(3,4)=(5,3).2.D(2,2)通过例题讲解，让学生明白怎样求向量加法、减法的坐标运算，提高学生解决问题的能力.课堂小结升华认知[问题4]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1．已知＝(2,8)，＝(－7,2)，则等于()A．(9,6)B．(－5，10)C．(－9，－6)D．(2，4)2．设向量a、b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，则a＋b=，b－a=．3．若，，，，且，则实数x，y的值分别是.4.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若eq\o(AB,\s\up12(→))＝(2,4)，eq\o(AC,\s\up12(→))＝(1,3)，则eq\o(BD,\s\up12(→))＝_____