概率的基本性质

3.1.3概率的基本性质

1.________________________叫做互斥事件(或称________________________).(1)“互斥”所研究的是两个或多个事件的关系;(2)因为每个事件总是由几个基本事件(不同的几个结果)组成,从集合的角度讲,互斥事件就是它们的交集为_______,也就是没有共同的基本事件(相同结果).不可能同时发生的事件

互不相容事件空集在一次试验中A与B必有一个发生,那么A与B(1)“对立”所研究的是互斥事件中两个事件的非此即彼的关系;

(3)对立事件A与B应满足两个条件________且__________;(4)对立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件;(5)对立事件是指两个事件,而互斥事件可能有多个.3.事件A与事件B互斥时,则P(A∪B)=________.特例,若A与B为对立事件,则P(A)=__________,P(A∪B)=________,P(A∩B)=________.

A∩B=∅A∪B=U(U为全集)P(A)+P(B)

1-P(B)

1

0

概率加法定理两互斥事件的和的概率,等于这两事件的概率的和,即P(A+B)=P(A)+P(B).更一般地,有限个彼此互斥事件的和的概率,等于这些事件的概率的和,即

A

BB包含事件A集合B包含集合AA=B事件A与事件B相等集合A与集合B相等A∪B(或A+B)事件A与事件B的并集合A与集合B的并A∩B(或AB)事件A与事件B的交集合A与集合B的交A∩B=∅事件A与事件B互斥集合A与集合B的交为空集A∩B=∅

A∪B=U事件A与事件B对立集合A与集合B互为补集题型一互斥､对立事件的判断例1:某县城有两种报纸甲､乙供居民订阅,记事件A为“只订甲报”,事件B为“至少订一种报”,事件C为“至多订一种报”,事件D为“不订甲报”,事件E为“一种报纸也不订”.判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件.(1)A与C;(2)B与E;(3)B与D;(4)B与C;(5)C与E.分析:利用互斥事件､对立事件的定义.解:(1)由于事件C“至多订一种报”中有可能只订甲报,即事件A与事件C有可能同时发生,故A与C不是互斥事件.(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的,故B与E是互斥事件.由于事件B不发生可导致事件E一定发生,且事件E不发生会导致事件B一定发生,故B与E还是对立事件.(3)事件B“至少订一种报”中可能只订乙报,即有可能不订甲报,也就是说事件B发生,事件D也可能发生,故B与D不互斥.(4)事件B“至少订一种报”中有这些可能:“只订甲报”“只订乙报”“订甲､乙两种报”.事件C“至多订一种报”中有这些可能:“什么也不订”“只订甲报”“只订乙报”.由于这两个事件可能同时发生,故B与C不是互斥事件.

(5)由(4)的分析,事件E“一种报纸也不订”只是事件C的一种可能,事件C与事件E有可能同时发生,故C与E不互斥.规律技巧:互斥事件是不可能同时发生的事件,而对立事件不仅不能同时发生而且必须有一个发生,故对立事件一定是互斥事件,而互斥事件不一定是对立事件.只要找出各个事件包含的所有的结果,它们之间能不能同时发生便很容易知道,这样便可判定两事件是否互斥.在互斥的前提下,看两事件中是否必有一个发生,可判断是否为对立事件.变式训练1:一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件?事件A:命中环数大于7环;事件B:命中环数为10环;事件C:命中环数小于6环;事件D:命中环数为6､7､8､9､10环.解:事件A与事件C互斥(不可能同时发生);事件B与事件C互斥;事件C与事件D互斥.因为事件C与事件D至少有一个发生,所以事件C与事件D是对立事件.题型二互斥､对立事件的概率例2:一盒中装有各色球12只,其中5只红球､4只黑球､2只白球､1只绿球.从中随机取出1球,求:(1)取出1球是红球或黑球的概率;(2)取出的1球是红球､黑球或白球的概率.分析:可按互斥事件和对立事件求概率的方法,利用公式进行求解.解:解法1:(1)从12只球中任取1球得红球有5种取法,得黑球有4种取法,得红球或黑球共有5+4=9种不同取法,任取1球有12种取法.所以任取1球得红球或黑球的概率为(2)从12只球中任取一球得红球有5种取法,得黑球有4种取法,得白球有2种取法.从而得红､黑或白球的概率为解法2:(利用互斥事件求概率)记事件A1={任取1球为红球};A2={任取一球为黑球};A3={任取一球为白球};A4={任取1球为绿球},则根据题意知,事件A1､A2､A3､A4彼此互斥,由互斥事件概率公式得.(1)取出1球为红球或黑球的概率为

(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为解法3:(利用对立事件求概率的方法)(1)由解法2知,取出1球为红球或黑球的对立事件为取出一白球或绿球,即A1∪A2的对立事件为A3∪A4,所以取得1红球或黑球的概率为(2)A1∪A2∪A3的对立事件为A4,规律技巧:1.“互斥”和“对立”事件很容易搞混.互斥事件是指两事件不可能同时发生,对立事件是指互斥的两事件中必有一个发生.2.求复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和;二是去求对立事件的概率,进而再求所求事件的概率.变式训练2:

某家庭电话在家中有人时,打进的电话响第一声时被接的概率为0.1,响第二声时被接的概率为0.2,响第三声被接的概率为0.3,响第4声时被接的概率为0.3,那么电话在响前4声内被接的概率是多少?解:记电话响第i声时被接为事件Ai(i=1,2,3,4),电话响第5声之前被接为事件A,由于A1､A2､A3､A4彼此互斥,所以P(A)=P(A1∪A2∪A3∪A4)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)=0.1+0.2+0.3+0.3=0.9.题型三概率的实际应用例3:某公务员去开会,他乘火车､轮船､汽车､飞机去的概率分别为0.3､0.2､0.1､0.4.(1)求他乘火车或乘飞机去的概率;(2)求他不乘轮船去的概率;(3)如果他去的概率为0.5,请问他有可能是乘何种交通工具去的?分析:分清事件之间是互斥关系还是对立关系,然后套用相关公式.解:(1)记“他乘火车去”为事件A1,“他乘轮船去”为事件A2,“他乘汽车去”为事件A3,“他乘飞机去”为事件A4,这四个事件不可能同时发生,故它们彼此互斥,故P(A1+A4)=P(A1)+P(A4)=0.3+0.4=0.7.(2)设他不乘轮船去的概率为P,则P=1-P(A2)=1-0.2=0.8.(3)由于0.3+0.2=0.5,0.1+0.4=0.5,1-(0.3+0.2)=0.5,1-(0.4+0.1)=0.5,故他有可能乘火车或乘轮船去,也有可能乘汽车或乘飞机去.规律技巧:

由于一次不会乘坐两种交通工具,因此各事件间彼此互斥,故可考虑互斥事件概率公式.带有“不”“不大于”等否定字眼的常可用对立事件概率公式.变式训练3:

经统计,某储蓄所一个窗口等候的人数及相应概率如下:排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04(1)至多2人排队等候的概率是多少?(2)至少3人排队等候的概率是多少?解:记在窗口等候的人数为0,1,2,分别为事件A､B､C,则A､B､C彼此互斥,(1)至多2人排队等候的概率为:P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)至少3人排列等候的概率为:1-P(A∪B∪C)=1-0.56=0.44.答案:B2.下列各组事件中,不是互斥事件的是()A.一个射手进行一次射击,命中环数大于8与命中环数小于6B.统计一个班级数学期中考试成绩,平均分数低于90分与平均分数高于90分C.播种菜籽100粒,发芽90粒与发芽80粒D.检查某种产品,合格率高于70%与合格率为70%解析:读题易知,C不是互斥事件.答案:C3.从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球,那么互斥而不对立的两个事件是()A.至少有一个白球,全是白球B.至少有一个红球,都是红球C.恰有一个白球,恰有两个白球D.至少有一个白球,至少有一个红球解析:结合互斥事件与对立事件的定义知,对于C中恰有一个白球,即1白1红,与恰有两个白球是互斥事件,但不是对立事件.因为还有两个红球的情况,故选C.答案:C4.某产品分甲､乙､丙三级,其中乙､丙两级均属次品,若生产中出现乙级品的概率为0.03,丙级品的概率为0.01,则对成品抽查一件抽得正品的概率为()A.0.96B.0.98C.0.97D.0.09解析:设抽查1件,抽得正品为事件A,则P(A)=1-0.03-0.01=0.96.答案:A答案:A7.某人在打靶中,连续射击2次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是__________________.两次都不中靶8.某产品分一､二､三级,其中一､二级是正品,若生产中出现正品的概率是0.98,二级品的概率是0.21,则出现一级品和三级品的概率分别是________,________.0.770.02解析:由题意知,出现一级品的概率为0.98-0.21=0.77,出现三级品的概率是1-0.98=0.02.9.在掷骰子试验中,可以定义很多事件,例如:A={出现1点},B={出现3点或5点},C={出现点数为奇数},D={出现点数为偶数}.试说明以上四个事件的关系,并写出两两的运算结果.解:(1)A与B互斥,A包含于C,A与D互斥,B包含于C,B与D互斥,C与D对立.(2)A∩B=∅,A∪B=C.A∩C=A,A∪C=C.A∩D=∅,A∪D={出现1点或出现点数为偶数}.B∩C=B,B∪C=C.B∩D=∅,B∪D={出现3点或5点或出现点数为偶数}.C∩D=∅,C∪D=U(U表示必然事件}.10.在某一时期内,一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表:计算在同一时期内,河流这一处的年最高水位在下列范围内的概率:(1)[10,16)(m);(2)[8,12)(m);(3)水位不低于14m.解:设水位在[a,b)范围的概率为P([a,b)),由于水位在各范围内对应的事件是互斥的.由加法概率公式得: