2022-2023学年北京市第一零九中学高二下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1北京市第一零九中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将〖答案〗正确填写在答题卡上一、单选题1.已知数列满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗.故选:C.2.若数列的前4项分别是，则该数列的一个通项公式为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为数列的前4项分别是，正负项交替出现，分子均为1，分母依次增加1，所以对照四个选项，正确.故选：D.3.已知数列的前n项和，则等于（）A.22 B.30 C.36 D.42〖答案〗B〖解析〗∵数列的前n项和，∴，∴，，∴，故选：B．4.在展开式中，的系数为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为的通项为，当时，.所以的系数为.故选：B.5.已知数列的通项公式为，则（）A.4 B.6 C.8 D.9〖答案〗B〖解析〗因为，所以.故选：B.6.已知函数，则的值为（）A. B. C.D.〖答案〗D〖解析〗..故选:D.7.、、、四人并排站成一排，如果与相邻，那么不同的排法种数是（）A.24种 B.12种 C.48种 D.23种〖答案〗B〖解析〗由题意，因为与相邻，将与放在一起，共有种排法，将与看成一个整体，与、进行全排列，共有种排法，综上共有种排法，故选：B．8.某单位安排甲、乙、丙、丁四人去、、三个劳动教育基地进行社会实践，每个人去一个基地，每个基地至少安排一个人，则乙被安排到基地的排法总数为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗分以下两种情况讨论：若基地只安排乙一人，将其余人分为组，人数分别为、，此时不同的排法种数为种；若基地安排两人，则需从甲、丙、丁中再选择一人安排至基地，此时不同的排法种数为.综上所述，乙被安排到基地的排法总数为种.故选：B.9.如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（）A.在区间上，是增函数B.当时，取到极小值C.在区间上，是减函数D.在区间上，是增函数〖答案〗D〖解析〗由导函数图象知，在时，，递减，A错；时，取得极大值（函数是先增后减），B错；时，，递增，C错；时，，递增，D正确．故选：D.10.垃圾分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，减少垃圾处理量和处理设备的使用，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济和生态等多方面的效益．为配合垃圾分类在学校的全面展开，某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动．高一、高二、高三年级分别有名、名、名同学获一等奖．若将上述获一等奖的名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有（）A.种 B.种 C.种 D.种〖答案〗A〖解析〗将三个年级的学生分别捆绑，形成三个“大元素”，考虑三个“大元素”之间的顺序及各“大元素”内部之间的顺序，由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为种.故选：A.二、填空题11.在等比数列{an}中，，且，则＝___________．〖答案〗8〖解析〗，又an＞0，则故〖答案〗为：8.12.已知{an}是单调递增的等比数列，a4+a5=24，a3a6=128，则公比q的值是___________.〖答案〗2〖解析〗由等比数列性质知，联立,解得或，因为是单调递增的等比数列,所以，即.故〖答案〗为：2.13.的展开式中的常数项为___________.〖答案〗〖解析〗的展开式通项公式为，令，解得，故，所以展开式中常数项为.故〖答案〗为：.14.已知某质点的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）的运动方程为，则该质点在秒时的瞬时速度为__________米/秒．〖答案〗0〖解析〗根据导数的物理意义，对运动方程求导得;，令解得；即该质点在秒时的瞬时速度为0，故〖答案〗为：0.15.某集团第一年年初给下属企业甲制造厂投入生产资金万元，到年底资金增长了，以后每年资金年增长率与第一年相同.集团要求甲制造厂从投入生产资金开始，每年年底上缴资金万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第年年底甲制造厂上缴资金后的剩余资金为万元，若，则正整数的最小值为_____________.（取，）〖答案〗〖解析〗由题意知：；当时，，，又，数列是以为首项，为公比的等比数列，，则，令，则，，解得：，正整数的最小值为.故〖答案〗为：.三、解答题16.已知等比数列满足，，为数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）若，求的值解：（1）设等比数列的公比为，则，解得：，.（2），，解得：.17.在15件产品中，有3件不合格品，从中任取5件，问：（1）“恰有2件不合格品”的取法有多少种？（2）“没有不合格品”的取法有多少种？（3）“至少有1件不合格品”的取法有多少种？解：（1）（种）；（2）（种）；（3）（种）.18.已知数列是公差不为零的等差数列，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前n项和为，在①，；②，；③，；这三个条件中任选一个，将序号补充在下面横线处，并根据题意解决问题.问题：若，且______，求数列的前n项和.

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.）解：（1）设等差数列的公差为d，因为，，成等比数列，所以，解得或（舍去）.所以，.（2）选①，由，，当时，，当时等式也成立，所以，选②，由，，①当时，，②②-①得，即，所以是首项为1，公比为2的等比数列，当时等式也成立，所以，选③，由，，①当时，当时，，②②-①得，即，又，所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以，则，，19.已知的数在处取得极值-14．（1）求a，b的值；（2）求曲线在点处的切线方程；（3）求函数在上的最值．解：（1）因为函数，所以，又函数在处取得极值.则有，即，解得：，经检验，时，符合题意，故.（2）由（1）知：则，，故.所以曲线在点处的切线方程为：，即（3）由（1）知：函数，则，令，解得：，在时，随的变化，的变化情况如下表所示：单调递增单调递减单调递增由表可知：当时，函数有极大值；当时，函数有极小值；因为，，故函数在上的最小值为，最大值为.20.设函数．（1）讨论的单调性；（2）若恒成立，求a的值．解：（1）的定义域为．．若，则，在上单调递增．若，则当时，，单调递减；当时，，单调递增；（2）由（1）知，若，则当时，，矛盾．因此．由（1）知此时．恒成立等价于恒成立．设，即恒成立，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，显然函数在处有唯一零点，且．而恒成立，所以，所以．21.已知函数为实常数）．（1）若，求证：在上是增函数；（2）当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的值；（3）若存在，使得成立，求实数的取值范围．（1）证明：由题可知函数的定义域，因为,所以，所以，令解得，所以在上是增函数.（2）解：因为,所以，所以，令解得，令解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数有最小值为，因为，所以当时，函数有最大值为.（3）由得，即，因为，所以，所以，且当时，所以在恒成立，所以，即存在时，，令，，令，令，解得，令，解得，所以在单调递减，单调递增，所以，所以时，恒成立，所以，所以实数的取值范围是.北京市第一零九中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将〖答案〗正确填写在答题卡上一、单选题1.已知数列满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗.故选:C.2.若数列的前4项分别是，则该数列的一个通项公式为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为数列的前4项分别是，正负项交替出现，分子均为1，分母依次增加1，所以对照四个选项，正确.故选：D.3.已知数列的前n项和，则等于（）A.22 B.30 C.36 D.42〖答案〗B〖解析〗∵数列的前n项和，∴，∴，，∴，故选：B．4.在展开式中，的系数为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为的通项为，当时，.所以的系数为.故选：B.5.已知数列的通项公式为，则（）A.4 B.6 C.8 D.9〖答案〗B〖解析〗因为，所以.故选：B.6.已知函数，则的值为（）A. B. C.D.〖答案〗D〖解析〗..故选:D.7.、、、四人并排站成一排，如果与相邻，那么不同的排法种数是（）A.24种 B.12种 C.48种 D.23种〖答案〗B〖解析〗由题意，因为与相邻，将与放在一起，共有种排法，将与看成一个整体，与、进行全排列，共有种排法，综上共有种排法，故选：B．8.某单位安排甲、乙、丙、丁四人去、、三个劳动教育基地进行社会实践，每个人去一个基地，每个基地至少安排一个人，则乙被安排到基地的排法总数为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗分以下两种情况讨论：若基地只安排乙一人，将其余人分为组，人数分别为、，此时不同的排法种数为种；若基地安排两人，则需从甲、丙、丁中再选择一人安排至基地，此时不同的排法种数为.综上所述，乙被安排到基地的排法总数为种.故选：B.9.如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（）A.在区间上，是增函数B.当时，取到极小值C.在区间上，是减函数D.在区间上，是增函数〖答案〗D〖解析〗由导函数图象知，在时，，递减，A错；时，取得极大值（函数是先增后减），B错；时，，递增，C错；时，，递增，D正确．故选：D.10.垃圾分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，减少垃圾处理量和处理设备的使用，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济和生态等多方面的效益．为配合垃圾分类在学校的全面展开，某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动．高一、高二、高三年级分别有名、名、名同学获一等奖．若将上述获一等奖的名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有（）A.种 B.种 C.种 D.种〖答案〗A〖解析〗将三个年级的学生分别捆绑，形成三个“大元素”，考虑三个“大元素”之间的顺序及各“大元素”内部之间的顺序，由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为种.故选：A.二、填空题11.在等比数列{an}中，，且，则＝___________．〖答案〗8〖解析〗，又an＞0，则故〖答案〗为：8.12.已知{an}是单调递增的等比数列，a4+a5=24，a3a6=128，则公比q的值是___________.〖答案〗2〖解析〗由等比数列性质知，联立,解得或，因为是单调递增的等比数列,所以，即.故〖答案〗为：2.13.的展开式中的常数项为___________.〖答案〗〖解析〗的展开式通项公式为，令，解得，故，所以展开式中常数项为.故〖答案〗为：.14.已知某质点的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）的运动方程为，则该质点在秒时的瞬时速度为__________米/秒．〖答案〗0〖解析〗根据导数的物理意义，对运动方程求导得;，令解得；即该质点在秒时的瞬时速度为0，故〖答案〗为：0.15.某集团第一年年初给下属企业甲制造厂投入生产资金万元，到年底资金增长了，以后每年资金年增长率与第一年相同.集团要求甲制造厂从投入生产资金开始，每年年底上缴资金万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第年年底甲制造厂上缴资金后的剩余资金为万元，若，则正整数的最小值为_____________.（取，）〖答案〗〖解析〗由题意知：；当时，，，又，数列是以为首项，为公比的等比数列，，则，令，则，，解得：，正整数的最小值为.故〖答案〗为：.三、解答题16.已知等比数列满足，，为数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）若，求的值解：（1）设等比数列的公比为，则，解得：，.（2），，解得：.17.在15件产品中，有3件不合格品，从中任取5件，问：（1）“恰有2件不合格品”的取法有多少种？（2）“没有不合格品”的取法有多少种？（3）“至少有1件不合格品”的取法有多少种？解：（1）（种）；（2）（种）；（3）（种）.18.已知数列是公差不为零的等差数列，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前n项和为，在①，；②，；③，；这三个条件中任选一个，将序号补充在下面横线处，并根据题意解决问题.问题：若，且______，求数列的前n项和.

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.）解：（1）设等差数列的公差为d，因为，，成等比数列，所以，解得或（舍去）.所以，.（2）选①，由，，当时，，当时等式也成立，所以，选②，由，，①当时，，②②-①得，即，所以是首项为1，公比为2的等比数列，当时等式也成立，所以，选③，由，，①当时，当时，，②②-①得，即，又，所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以，则，，19.已知的数在处取得极值-14．（1）求a，b的值；（2）求曲线在点处的切线方程；（3）求函数在上的最值．解：（1）因