人教版九年级数学下册02 教学设计-图形的位似

《图形的位似》教学设计了解位似多边形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似多边形的性质．掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小.了解位似图形的性质和以坐标原点为位似中心的位似变换的性质。在平面直角坐标系中图形的位似变换.位似多边形的有关概念、性质与作图．利用位似将一个图形放大或缩小．在平面直角坐标系中图形的位似变换.多媒体课件复习回顾下列是一些图的变换，请连线：我们发现：前三个图中的两个图形都是全等的，而第四个图形中的两个图形相似，那么第四个图是怎样的一种变换呢？探究新知1.位似图形的定义下面的一组图片是形状相同的图形,在图片①上取一点A,它与另一图片(如图片②)上的相应点B之间的连线是否经过镜头P的中心?在图片上换其它的点试一试,还有类似的结论吗?可以发现：直线AB都经过镜头中心点，且都等于一个固定值.问题：下面两个多边形相似，将两个图形的顶点相连，观察发现连接的直线相交于点O.有什么关系？.归纳：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P,P'所在的直线都经过同一个点O，且有OP'=k·OP(k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O称为位似中心。实际上，k就是这两个相似多边形的相似比。位似多边形是具有特殊位置关系的相似多边形.例1：下列各组图形中，是位似图形的有(D)A．2对B．3对C．4对D．5对练习：如图，△ABC与△DEF是位似图形，O是位似中心，OA=AD，则△ABC与△DEF的位似比是（A）A.B.C.2D.3位似图形的性质：性质：①两个图形相似.②对应点的连线相较于一点，对应边互相平行或在同一直线上.③任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.作位似多边形如图，已知△ABC，以点O为位似中心画△DEF，使其与△ABC位似，且位似比为2.思考：1.如何利用位似将一个图形放大或缩小？画位似图形的一般步骤是什么？2.画位似图形时需要注意什么问题？解：画射线OA,OB,OC;在射线OA,OB,OC上分别取点D,E,F,使OD=2OA,OE=2OB,OF=2OC;顺序连接D,E,F,使△DEF与△ABC位似,相似比为2.画法二：△ABC与△DEF异侧解：画射线OA,OB,OC;沿着射线OA,OB,OC反方向上分别取点D,E,F,OD=2OA,OE=2OB,OF=2OC;顺序连接D,E,F,使△DEF与△ABC位似,相似比为2.画位似图形的关键是画出图形中顶点的对应点，画图的方法大致有两种：一是每对对应点都在位似中心的同侧，二是每对对应点在位似中心的异侧.例2：已知点O在△ABC内，以点O为位似中心画一个三角形，使它与△ABC位似，且位似比为1:2.画法一:△ABC与△DEF在同侧解：画射线OA,OB,OC;在射线OA,OB,OC上分别取点D,E,F,使OA=2OD,OB=2OE,OC=2OF;顺序连接D,E,F,使△DEF与△ABC位似,位似比为1：2.画法二:△ABC与△DEF在异侧解：画射线OA,OB,OC;在射线OA,OB,OC反向延长线上分别取点D,E,F,使OA=2OD,OB=2OE,OC=2OF;顺序连接D,E,F,使△DEF与△ABC位似,位似比为1：2.练习：1.如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且位似比是1∶2，若AB＝2cm，则A′B′＝____4____cm，并在图中画出位似中心O.2.在任意一个三角形内部画一个小三角形，使其各边与原三角形各边平行，则它们的位似中心是(D)A．一定点B．原三角形三边垂直平分线的交点C．原三角形角平分线的交点D．位置不定的一点在平面直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标分别为O(0,0),A(3，0),B(2，3)（1）将点O,A,B的横坐标、纵坐标都乘2，得到三个点，以这三个点位为顶点的三角形与△OAB位似吗？如果位似，指出位似中心和相似比.（相似，相似比为1:2）（2）如果将点O,A,B的横坐标、纵坐标都乘以-2.将△OAB的横坐标和纵坐标分别乘2和-2，得到的两个不同的三角形都是△OAB的位似图形，位似中心都是原点O，相似比都是2，且它们关于原点成中心对称.做一做：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点分别是A(4,2),B(8，6）,C（6，10），D(-2，6).将点A,B,C,D的横坐标、纵坐标都乘，得到四个点，以这四个点为顶点的四边形与四边形ABCD位似吗？如果位似，指出位似中心和相似比。解：如图，两个图形位似，且位似中心为坐标原点（0，0），位似比为1：2.结论：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比位|k|.例题讲解在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O(0，0)，A(6，0),B(3，6),C(-3，3).以原点O为位似中心，画出四边形OABC的位似图形，使它与四边形OABC的相似是2:3.画法一：如图所示，解：将四边形OABC各顶点的坐标都乘；在平面直角坐标系中描点O(0,0),A'(4,0),B'(2,4)C(-2,-2);在平面直角坐标系中描点A',B',C',用线段顺次连接O,A',B',C'.画法二：如右图所示解：将四边形OABC各顶点的坐标都乘；在平面直角坐标系中描点O(0,0),A''(-4,0),B''(-2,-4),C(2,-2);在平面直角坐标系中描点A'',B'',C'',用线段顺次连接O,A'',B'',C''.结论：在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，位似比为k,若原图形上点A的坐标为(x,y)，那么位似图形点A'的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky)。巩固提高1.如图，矩形ABCD与矩形A′B′C′D′是位似图形，点A是位似中心，已知矩形ABCD的周长为24，BB′＝4，DD′＝2，求AB和AD的长．解：∵矩形ABCD的周长为24，∴AB+AD=12，设AB=x,则AD=12-x,∴A'B'=x+4,A'D'=14-x∵矩形ABCD与矩形A′B′C′D′是位似图形,∴矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′解得:x=8∴AB=8，AD=12-x=4.2.如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．(1)以点O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1∶2；(2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C的周长．(结果保留根号)解：（1）如图（2）AA′=CC′=2．在Rt△OA′C′中，OA′=OC′=2，∴四边形AA′C′C的周长=。3.如图表示△AOB和把它缩小后得到的△COD，求它们的相似比．解：点D的坐标为（2，0）点B的坐标为（5，0）∴它们的相似比为.4.在平面直角坐标系中有两点A(6，2)，B(6，0)，以原点为位似中心，相似比为1∶2，则线段AB的对应线段A′B′的长为(C)A．1B．2C．1或4D．2或6如图，以点D为位似中心，作△ABC的一个位似三角形A1B1C1，A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，DA1与DA的比值为k，若两个三角形的顶点及点D均在如图所示的格点上，则k的值和点C1的坐标分别为(A)A．2，(2，8)B．4，(2，8)C．2，(2，4)D．2，(4，4)分析：利用勾股定理求出DA1与DA的值，然后相比即可求出k值；连接DB并延长至B1，使DB1=2DB，连接DC并延长至C1，使DC1=2DC，然后顺次连接A1，B1，C1，然后根据平面直角坐标系写出点C1的坐标即可得解．解：根据勾股定理得：故选A.拓展应用如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(3，2)，(6，4)，AC⊥x轴于点C，BG⊥x轴于点G，分别以AC，BG为边作正方形ACDE和正方形BGMN.(1)试分别写出直线AB和直线EN对应的函数表达式；(2)求证：正方形ACDE和正方形BGMN是位似图形；(3)已知点M的坐标是(10，0)，试作一个正方形，它以点M为其中一个顶点，且与已有正方形成位似图形(在下图中作出即可)．解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将A（3，2），B(6，4)代入得：3k+b=2,6k+b=4∴直线AB的解析式为:同理可以计算出直线EN的解析式为：（2）∵直线AB解析式为与直线NE解析式为都过原点，直线DM与直线CG都与x轴重合，∴正方形ACDE与正方形BGMN对应顶点连线交于一点，此点为原点，则正方形ACDE和正方形BGMN是位似图形；（3）如图所示，正方形MN′B′G′，正方形A′E′D′C′为所求的正方形．课堂总结1.位似图形的概念2.位似多边形的性质3.位似图形的作法.4.平面直角坐标系中的位似变化在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比位|k|.图形的位似(2)【教学目标】1.知识与技能（1）了解位似图形的性质和以坐标原点为位似中心的位似变换的性质。（2）在平面直角坐标系中图形的位似变换.2.过程与方法通过作图培养学生动手和实践能力。3.情感态度和价值观通过本节课的教学，培养学生的数学应用意识，体会数学与现实生活的密切联系。【教学重点】在平面直角坐标系中图形的位似变换【教学难点】在平面直角坐标系中图形的位似变换【教学方法】合作、探究【课前准备】多媒体课件【教学过程】一、情境导入我们学习了在平面直角坐标系中，如何用坐标表示某些平移、轴对称、旋转（中心对称）等变换，相似也是一种图形的变换，一些特殊的相似（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示．二、探究新知位似变换与平面直角坐标系在平面直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标分别为O(0,0),A(3，0),B(2，3)（1）将点O,A,B的横坐标、纵坐标都乘2，得到三个点，以这三个点位为顶点的三角形与△OAB位似吗？如果位似，指出位似中心和相似比.（相似，相似比为1:2）（2）如果将点O,A,B的横坐标、纵坐标都乘以-2.将△OAB的横坐标和纵坐标分别乘2和-2，得到的两个不同的三角形都是△OAB的位似图形，位似中心都是原点O，相似比都是2，且它们关于原点成中心对称.做一做：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点分别是A(4,2),B(8，6）,C（6，10），D(-2，6).将点A,B,C,D的横坐标、纵坐标都乘，得到四个点，以这四个点为顶点的四边形与四边形ABCD位似吗？如果位似，指出位似中心和相似比。解：如图，两个图形位似，且位似中心为坐标原点（0，0），位似比为1：2.结论：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比位|k|.例题讲解：在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O(0，0)，A(6，0),B(3，6),C(-3，3).以原点O为位似中心，画出四边形OABC的位似图形，使它与四边形OABC的相似是2:3.画法一：如图所示，解：将四边形OABC各顶点的坐标都乘；在平面直角坐标系中描点O(0,0),A'(4,0),B'(2,4)C(-2,-2);在平面直角坐标系中描点A',B',C',用线段顺次连接O,A',B',C'.画法二：如右图所示解：将四边形OABC各顶点的坐标都乘；在平面直角坐标系中描点O(0,0),A''(-4,0),B''(-2,-4),C(2,-2);在平面直角坐标系中描点A'',B'',C'',用线段顺次连接O,A'',B'',C''.结论：在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，位似比为k,若原图形上点A的坐标为(x,y)，那么位似图形点A'的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky)。巩固练习：1.如图表示△AOB和把它缩小后得到的△COD，求它们的相似比．解：点D的坐标为（2，0）点B的坐标为（5，0）∴它们的相似比为.2.在平面直角坐标系中有两点A(6，2)，B(6，0)，以原点为位似中心，相似比为1∶2，则线段AB的对应线段A′B′的长为(C)A．1B．2C．1或4D．2或63.如图，以点D为位似中心，作△ABC的一个位似三角形A1B1C1，A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，DA1与DA的比值为k，若两个三角形的顶点及点D均在如图所示的格点上，则k的值和点C1的坐标分别为(A)A．2，(2，8)B．4，(2，8)C．2，(2，4)D．2，(4，4)分析：利用勾股定理求出DA1与DA的值，然后相比即可求出k值；连接DB并延长至B1，使DB1=2DB，连接DC并延长至C1，使DC1=2D