公约数与公倍数问题

知识框架数学运算问题一共分为十四个模块，其中一块是计算问题。公约数与公倍数问题是计算问题中数的性质里面的一种。在公务员的考试中，公约数与公倍数问题考查点只有两种类型。无论生活场景如何改变，同学只要牢牢把握这两种类型，就能轻松搞定公约数与公倍数问题。核心点拨1.题型简介（1）约数与倍数

若数a能被b整除，则称数a为数b的倍数，数b为数a的约数。其中，一个数的最小约数是1，最大约数是它本身。（2）公约数与最大公约数几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。公约数中最大的一个，称为这几个自然数的最大公约数。（3）公倍数与最大公倍数几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数。公倍数中最小的一个，称为这几个自然数的最小公倍数。考试题型一般是已知两个数，求它们的最大公约数或最小公倍数。2.核心知识（1）两个数最大公约数和最小公倍数一般采用短除法，即用共同的质因数连续去除，直到所得的商互质为止。A、把共同的质因数连乘起来，就是这两个数的最大公约数。B、把共同的质因数和各自独有的质因数连乘起来，就是这两个数的最小公倍数。如：求24、36的最大公约数与最小公倍数。

24、36的最大公约数为其共同质因数的乘积，即2×2×3=12；24、36的最小公倍数为其共同质因数及独有质因数的乘积，即(2×2×3)×(2×3)=72。（2）三个数最大公约数和最小公倍数A、求取三个数的最大公约数时，短除至三个数没有共同的因数（除1外），然后把所有共同的质因数连乘起来。B、求取三个数的最小公倍数时，短除到三个数两两互质，然后把共同的质因数和各自独有的质因数连乘起来。如：求24、36、90的最大公约数和最小公倍数。进阶训练解法九成熟，剩下35%的中等题也能搞定，考试成功更进一步！1.两个数的最大公约数和最小公倍数

例3：（2007．江西）

能被15和12整除的最小正整数是：

A.60

B.120

C.180

D.30【答案】A【解析】[题钥]

“能被15和12整除的最小正整数”即为15和12的最小公倍数，采用短除法来求最小公倍数

[解析]

短除法：

5和4除1以外没有共同的因数；

最小公倍数：

把共同的质因数和各自独有的质因数连乘起来，就是这两个数的最小公倍数，所以15和12的最小公倍数为：3×5×4=60。

因此，选A。2.三个数的最大公约数和最小公倍数

例4：

6枚1分硬币叠在一起与5枚2分硬币一样高，6枚2分硬币叠在一起与5枚5分硬币一样高，如果用1分、2分、5分硬币分别叠成的三个圆柱体一样高，这些硬币的币值为4元4角2分，那么这三种硬币总共有多少枚？A.180

B.181

C.182

D.183【答案】C【解析】[题钥]

此题解题的关键点是要确定多少枚1分、2分或5分的硬币叠成的圆柱体高度相同。

[解析]

根据“6枚1分硬币叠在一起与5枚2分硬币一样高，6枚2分硬币叠在一起与5枚5分硬币一样高”，

其中6、5、5的最小公倍数为30，则：

36枚1分硬币、30枚2分硬币、25枚5分硬币叠成的圆柱体一样高；

此时这些硬币的币值之和为221分，恰好为2元2角1分，是4元4角2分的一半，

故4元4角2分由72枚1分硬币、60枚2分硬币和50枚5分硬币组成，

即共有硬币72+60+50=182枚。

因此，选C。例5.(2008.国考)

甲、乙、丙、丁四个人去图书馆借书，甲每隔5天去一次，乙每隔11天去一次，丙每隔17天去一次，丁每隔29天去一次。如果5月18日他们四个人在图书馆相遇，问下一次四个人在图书馆相遇是几月几号？A.10月18日

B.10月14日

C.11月18日

D.11月14日【答案】D【解析】[题钥]

每隔n天去一次即每（n+1）天去一次，该题转化为求6、12、18、30这四个数的最小公倍数问题。

[解析]

每隔n天去一次即每(n+1)天去一次，那么：

甲每5+1=6天去一次图书馆，

乙每11+1=12天去一次图书馆，

丙每17+1=18天去一次图书馆，

丁每29+1=30天去一次图书馆；

要