人教A版高一暑假作业2函数及其基本性质

人教A版高一暑假作业2：函数及其基本性质学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.(2022·安徽省马鞍山市·期中考试)函数的定义域为(

)A. B.

C. D.2.(2023·河南省·历年真题)已知是偶函数，则(

)A. B. C.1 D.23.(2023·江西省·期末考试)函数的图象大致为(

)A. B.

C. D.4.(2023·浙江省·历年真题)若函数的值域为则a的取值范围为(

)A. B. C. D.5.(2023·海南省海口市·模拟题)设，则a，b，c的大小顺序是.(

)A. B. C. D.6.(2023·广东省·历年真题)设函数，则使得成立的x的取值范围是(

)A. B.

C. D.7.(2023·云南省曲靖市·期末考试)在线直播带货已经成为一种重要销售方式，假设直播在线购买人数单位：人与某产品销售单价单位：元满足关系式，其中，m为常数，当该产品销售单价为25元时，在线购买人数为2015，假设该产品成本单价为20元，且每人限购1件，则下列说法错误的是(

)A.实数m的值为10000 B.销售单价越低，直播在线购买人数越多

C.当x的值为30时利润最大 D.利润最大值为100008.(2023·安徽省黄山市·期末考试)对于函数，若，满足，则称，为函数的一对“类指数”．若正实数a与b为函数的一对“类指数”，的最小值为9，则k的值为(

)A. B.1 C. D.2二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）9.(2023·福建省·其他类型)下列四组函数中，不表示同一函数的一组是(

)A.，

B.，

C.，

D.，10.(2022·山东省·其他类型)已知幂函数互质，下列关于的结论正确的是(

)A.当m，n都是奇数时，幂函数是奇函数

B.当m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数

C.当m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数

D.当时，幂函数在上是减函数11.(2023·安徽省·单元测试)下列说法正确的是(

)A.已知集合，若，则

B.若函数是偶函数，则实数k的值为1

C.已知函数的定义域为，则的定义域为

D.已知单调函数，对任意的都有，则12.(2022·广东省深圳市·期中考试)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著．19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，其中真命题的是(

)A.函数是偶函数

B.，，恒成立

C.任取一个不为零的有理数T，对任意的恒成立

D.不存在三个点，，，使得为等腰直角三角形三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.(2023·广东省·其他类型)设函数，则__________.14.(2023·湖北省·单元测试)若关于x的函数的定义域为R，最大值为M，最小值为N，且，则实数a的值为__________.15.(2023·广西壮族自治区北海市·单元测试)已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围为__________.16.(2023·全国·月考试卷)高斯是德国天才数学家，享有“数学王子”的美誉，以“高斯”命名的概念、定理、公式很多.如高斯函数，其中不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作如，，，记函数，若函数有两个零点，则实数a的取值范围为__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(2021·陕西省咸阳市·期中考试)本小题10分

已知，求的解析式；

已知是一次函数，且满足求的解析式．(2023·吉林省长春市·期中考试)本小题12分

已知函数在定义域上为增函数，且满足

求的值；

解不等式19.(2023·安徽省合肥市·月考试卷)本小题12分已知一次函数求解不等式：；若在上恒成立，求实数m的取值范围.20.(2023·辽宁省丹东市·月考试卷)本小题12分已知幂函数是偶函数，且在上单调递增．求函数的解析式；若，求x的取值范围；若实数a，R满足，求的最小值．21.(2023·天津市·单元测试)本小题12分提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度单位：千米/小时是车流密度单位：辆/千米的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当时，车流速度v是车流密度x的一次函数．当时，求函数的表达式；当车流密度x为多大时，车流量单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时可以达到最大，并求出最大值．精确到1辆/小时22.(2023·广东省茂名市·期末考试)本小题12分已知，函数当时，求函数的单调区间；当时，求函数在上的最小值．1.【答案】C

【解析】【分析】本题考查求函数的定义域，属于基础题.

由偶次根号下的数大于等于0，分母不为0得出关系式，求出即可.【解答】解：由题意可得，

解得且，

故函数的定义域为

故选2.【答案】D

【解析】【分析】本题考查了偶函数的性质，属于基础题．利用偶函数的性质，即可求出【解答】解：因为是偶函数，所以，所以故选3.【答案】A

【解析】【分析】本题考查了函数图象的应用，以及函数的奇偶性，属于基础题．

根据函数的奇偶性和时函数值的正负即可判断．【解答】解：函数，定义域为R，关于原点对称，

由，则函数为奇函数，故排除C，D；

当时，，故排除

故本题选4.【答案】C

【解析】【分析】本题考查函数的值域，理解二次函数的图象与性质，以及根式函数的性质是解题的关键，考查学生的分类讨论思想和运算求解能力，属于基础题.

分和两类，结合一次函数、二次函数和根式的性质，求解即可.【解答】解：当时，，即值域为满足题意；

当时，设，为使函数的值域为

只需取尽大于等于零的全体实数，即只需函数与x轴有交点即可，

因此，解得，

综上，，

故选5.【答案】A

【解析】【分析】本题考查了利用函数的性质比较大小的问题，属于中档题．

先判断，再化简a、c，利用幂函数的性质判断a、c的大小．即可得解.【解答】解：因为，，；

且，函数在上是单调增函数，

所以，所以；

综上知，

故选：6.【答案】A

【解析】【分析】本题考查函数的单调性、函数的奇偶性及不等式的解法.属于中等题.根据解析式可以判断在上为增函数，在R上为偶函数，从而由便可得到，两边平方即可解出该不等式，从而得出x的取值范围.【解答】解：当时，，增大时增大，增大，即增大，

在上单调递增.

的定义域为R，且，

为偶函数.

由得：

，，

解得，的取值范围为故选7.【答案】D

【解析】【分析】本题考查函数模型的性质及应用，考查二次函数的最值的求法，训练了利用配方法求最值，考查运算求解能力，属于中档题．

把，代入，即可求得m值；由题意写出利润函数，再由配方法求最值．【解答】解：由，，

且当时，，

得，解得，

故；

依题意可得利润

当时，取得最大值为10100元，

故销售单价元时，销售利润最大，最大利润为10100元．

故选8.【答案】B

【解析】【分析】本题考查函数解析式的计算，关键理解“类指数”的定义，涉及基本不等式的性质以及应用，属于基础题．

根据题意，由“类指数”的定义可得，变形可得，结合基本不等式的性质求出的最小值，可得关于k的方程，计算可得答案．【解答】解：根据题意，若正实数a与b为函数的一对“类指数”，

则，变形可得，

则，

若的最小值为9，则，解可得；

故选：9.【答案】ACD

【解析】【分析】本题考查判断两个函数是否为同一函数，属于基础题.

结合函数的基本概念，通过对函数的定义域和函数的解析式的判断逐一分析求解即可.【解答】解：对于A，的定义域为R，的定义域为N，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数；

对于B，因为，，

两个函数的解析式相同，又两个函数的定义域相同都为R，所以是同一函数；

对于C，由得的定义域为的定义域为R，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数；

对于D，由得的定义域为，的定义域为R，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数.

故选10.【答案】AB

【解析】【分析】本题主要考查幂函数的定义和性质，属于中档题．

利用幂函数的定义和性质及奇偶函数的定义可判断ABC，利用幂函数在上的单调性可判断【解答】解：幂函数互质，

故m，n都是奇数时，，则幂函数是奇函数，故A正确；

当m是偶数，n是奇数时，，则幂函数是偶函数，故B正确；

当m是奇数，n是偶数时，幂函数定义域为一定不是偶函数，

如，它的定义域为不是偶函数，故C错误．

当

时，幂函数在上是增函数，故D错误，

故选：11.【答案】BCD

【解析】【分析】本题考查集合中元素的性质、元素与集合的关系、函数定义域、函数的解析式、复合函数、函数的单调性与单调区间、函数的奇偶性，属于中档题.

利用元素与集合的关系得出或者，再利用集合元素的性质验证即可判定A选项；利用奇偶性的定义求出k的值即可判定B选项；利用复合函数定义域的求解即可判定C选项；利用换元法求出函数的解析式即可判定D选项.【解答】解：A选项，已知集合，，则或者，

当时，不满足集合元素的互异性，故舍去这种情况；

当时，时由以上分析知不成立，

当时集合元素为，符合题意，故最终，故A错误；

B选项，函数是偶函数，根据偶函数的定义得到，

代入函数表达式得到，

化简得到，故B正确；

C选项，函数的定义域为，由得函数的定义域为故C正确；

D选项，设，，且，

则，，

是单调函数，，

则，故D正确.

故选12.【答案】ACD

【解析】【分析】本题主要考查函数的新定义问题，考查对函数性质等知识的运用能力，考查分类讨论思想及数形结合思想，考查逻辑推理能力，属于拔高题．

根据函数的解析式，结合函数的新定义，再结合分类讨论和数形结合的思想，逐项判断即可．【解答】解：对于A，若，则，满足；若，则，满足；故函数为偶函数，选项A正确；

对于B，取，则，，，故选项B错误；

对于C，若，则，满足；若，则，满足；故选项C正确；

对于D，要为等腰直角三角形，只可能是如下四种情况：

①直角顶点A在上，斜边在x轴上，此时点B，点C的横坐标为无理数，则BC中点的横坐标仍然为无理数，那么点A的横坐标也为无理数，这与点A的纵坐标为1矛盾，故不成立；

②直角顶点A在上，斜边不在x轴上，此时点B的横坐标为无理数，则点A的横坐标也应为无理数，这与点A的纵坐标为1矛盾，故不成立；

③直角顶点A在x轴上，斜边在上，此时点B，点C的横坐标为有理数，则BC中点的横坐标仍然为有理数，那么点A的横坐标也应为有理数，这与点A的纵坐标为0矛盾，故不成立；

④直角顶点A在x轴上，斜边不在上，此时点A的横坐标为无理数，则点B的横坐标也应为无理数，这与点B的纵坐标为1矛盾，故不成立．

综上，不存在三个点，，，使得为等腰直角三角形，故选项D正确．

故选：13.【答案】15

【解析】【分析】本题考查函数值的求法，考查运算求解能力，是基础题．

推导出，从则，由此能求出结果．【解答】解：函数，

，

故答案为：14.【答案】3

【解析】【分析】本题考查利用函数的最值求参数，涉及函数的奇偶性的应用，属中档题.

分离常数得到为奇函数，进而利用，求得a的值.【解答】解：函数的定义域为R，

且

，

令，可得的定义域为R，

且，

所以是奇函数，所以为奇函数，且定义域为R，

故最大值与最小值互为相反数，

所以，

即，，解得

故答案为15.【答案】

【解析】【分析】本题考查两个函数的交点问题，考查函数图象的平移变换，属于中档题.

，相当于向右平移个单位长度，再将函数值放大倍得到的．相当于向上平移m个单位长度，再对m分类讨论，数形结合即可求得m的取值范围.【解答】解：，相当于向右平移个单位长度，再将函数值放大倍得到的．相当于向上平移m个单位长度．

①若，两函数的图象如图1所示，可知两函数在上有且只有1个交点，符合题意；

②若，两函数的大致图象如图2所示．为使两函数在上有且只有1个交点，只需，得或舍去

综上，

故答案为：

16.【答案】

【解析】【分析】

本题考查了函数的零点与方程根的关系，是中档题.

画出与的图象，由图像可得实数a的取值范围.

【解答】

解：由，得，

在同一坐标系中画出与的图象，

由图易知，当时，函数与的图象有两个交点，

即函数有两个零点，实数a的取值范围为

17.【答案】解：已知：，

所以；

由于函数为一次函数，

设，

所以，

整理得：，

故，

整理得，，

故

【解析】本题考查函数的解析式的求法，属于基础题．

直接利用凑配法求出函数的解析式；

利用函数的对应关系，建立方程组，进一步求出函数的解析式．18.【答案】解：由，

令，得，

，

令，，则，

即；

由可知，

，

而函数在定义域上为增函数，

，解得，

不等式的解集为

【解析】本题考查抽象函数及其应用，考查赋值法及函数单调性的应用，突出转化思想的考查，属于中档题．

利用赋值法可得的值

；

由，知，再由函数在定义域上为增函数，能求出原不等式的解集．19.【答案】解：不等式，即，解得或，所以不等式的解集为；要使在上恒成立，只需即可，令，，由函数的对称轴为，图象开口向上，

则函数在上单调递增，所以，所以，解得，则实数m的取值范围为【解析】本题考查分式不等式的解法，考查不等式的恒成立问题，属于基础题.

根据分式不等式的解法即可得解；要使在上恒成立，只需即可，令，，求出即可得解.20.【答案】解：幂函数是偶函数，且在上单调递增，

，且

为正偶数，

，，故

，，，

即，求得

故x的取值范围为

若实数a，满足，，即，

则

，当且仅当，时，等号成立，

故的最小值为

【解析】本题主要考查幂函数的定义和性质，解一元二次不等式，基本不等式的应用，属于中档题．

由题意利用幂函数的定义和性质，求得m、k的值，可得函数的解析式．

由题意可得，，两边平方，解一元二次不等式，求得x的范围．

由题意可得，利用基本不等式求得的最小值．21.【答案】解：由题意：当时，；

当时，设