《高职应用数学》教案 第16课 函数的单调性与极值

第16课函数的单调性与极值课题函数的单调性与极值课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：1．掌握函数单调性的判断2．掌握函数极值的判定方法思政育人目标：通过观察图形得出函数单调性和极值的判定定理，使学生养成通过仔细观察、总结规律、得出结论来解决问题的习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神；引导学生运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到学以致用的目的教学重难点教学重点：函数单调性的判断、函数极值的判定教学难点：函数极值的判定方法教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第一节课：课前任务→考勤（2min）→复习（10min）→讲授新课（10min）→课堂测验（10min）→互助指导（13min）第二节课：讲授新课（20min）→课堂测验（10min）→互助指导（12min）→课堂小结（3min）→课后拓展教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课课前任务【教师】和学生负责人取得联系，布置课前任务，提醒同学做完作业，在指定时间内交齐【学生】做完作业，在指定时间内交齐【教师】通过文旌课堂APP或其他学习软件，布置课前任务：（1）复习函数导数和切线与x轴的夹角、切线斜率之间的关系（2）预习函数单调性的判定定理，函数极值、极值点的概念，函数极值的判定定理【学生】查找资料，预习教材通过课前的预热，让学生了解所学科目的大概方向，激发学生的学习欲望考勤（2min）【教师】清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况复习（10min）【教师】提前设计好复习题目，并针对学生存在的问题及时讲解【学生】做复习题目复习函数导数和切线与x轴的夹角、切线斜率，为讲授新课打好基础讲授新课（10min）【教师】通过观察单调递增、递减的图形，引导学生总结出递增、递减与其导数之间的联系，进而得出函数单调性的判定定理，并通过例题介绍其应用函数在区间上的增减性和它的导数值有密切关系．从图4-1可直观地看出：如果函数在上单调增加，那么它的切线斜率都是正的；如果函数在上单调减少，那么它的切线斜率都是负的．反之，我们有如下定理．定理1设函数在上连续，在内可导，则有（1）若在内，则函数在上单调增加；（2）若在内，则函数在上单调减少．（a）（a）（b）图4-1有时，函数在其整个定义域上并不具有单调性，但在其各个子区间上却具有单调性．如图4-2所示，函数在区间和上单调增加，而在上单调减少，并且从图上容易看到，可导函数在单调区间分界点处的导数为0，即．图4-2因此，要确定可导函数的单调区间，首先要求出使的点（驻点）；然后，用这些驻点将的定义域分成若干个子区间；最后在每个子区间上用定理1判断函数的单调性．一般地，如果在某区间内的个别点处为0，而在其余各点处都为正（或负），那么在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的．例如，图4-2中，但在上仍是单调增加的．确定函数单调性的一般步骤如下．（1）确定函数的定义域；（2）求出使函数和不存在的点，并以这些点为分界点，将定义域划分成若干个子区间；（3）确定在各个子区间的符号，从而确定的单调区间．例1讨论函数的单调性．例1解因为，所以．令，得驻点．驻点将的定义区间分成3个子区间，，且在上均连续．在各个子区间的符号如表4-1所示．表4-1因此，由定理1知，函数在区间与上单调减少，在区间上单调增加．【学生】掌握函数单调性的判定定理，及其应用学习函数单调性的判定定理。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验（10min）☞教师在文旌课堂APP或其他学习平台中发布测试的题目，并让学生加入测试。【教师】从教材配套题库中选择几道题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象互助指导（13min）☞选出优秀学生带动、指导其他同学掌握知识点【教师】公布题目的正确答案，让答题快且正确的同学上台解答，为同学们做示范。如果题目比较难，无人答对则老师示范。【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧【教师】每组指定一名答题准确率最高的同学，辅导本组的未答对同学掌握答题知识，实现组内互助以学生为主体，针对学生接受能力的差异性，让优秀学生带动其他学生掌握知识点第二节课讲授新课（20min）【教师】通过观察图形，根据极值、极值点的定义，得出极值、极值点，引导学生总结其规律，进而得出函数极值的判定定理，并通过例题介绍其应用定义1设函数在点的某邻域内有定义，若对此邻域内任意一点，均有，则称是函数的一个极大值．同样地，若对此邻域内任意一点，均有，则称是函数的一个极小值．函数的极大值与极小值统称为函数的极值．使函数取得极值的点称为极值点．从图4-3可以看出，可导函数在取得极值处的切线是水平的，即在极值点处，必有，于是有下面的定理．定理2（极值存在的必要条件）设在点处具有导数，并且在点处取得极值，那么．由定理2可知，可导函数的极值点必是的驻点．反过来，的驻点并不一定是的极值点．例如，是函数的驻点，但不是其极值点．对于一个连续函数，它的极值点还可能是使导数不存在的点，这种点称为尖点．例如，函数，不存在，但是它的极小值点，如图4-4所示．图4-4总之，连续函数的可能极值点只能是其驻点或尖点．为了判断可能的极值点是否为极值点，有如下定理．定理3（极值存在的第一充分条件）设在点处连续，且在点的某一空心邻域内可导．当x由小到大经过点时，存在以下3种情况：（1）如果由正变负，那么点是极大值点；（2）如果由负变正，那么点是极小值点；（3）如果不变号，那么点不是极值点．综上可知，求函数极值的一般步骤如下：（1）确定函数的定义域；（2）求出的全部驻点及不可导点；（3）考察上述点两侧一阶导数的符号，确定极值点；（4）求出极值点处的函数值，得到极值．例2求函数的极值．例2解函数的导数为．令，得．用将函数的定义域分成两个子区间，一阶导数的符号讨论如表4-2所示．表4-2由上表可见，函数在处取得极大值．定理4（极值存在的第二充分条件）设在点处具有二阶导数，且，．（1）若，则在点处取得极大值；（2）若，则在点处取得极小值．例3求函数的极值．例3解法一的定义域为，且．表4-3由定理3可知，为函数的极大值，为的极小值．解法二的定义域为，且．令，得驻点．因为，所以为的极大值；因为，所以为的极小值．【学生】掌握函数极值的判定定理，及其应用学习函数极值的判定定理。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验（10min）☞教师在文旌课堂APP或其他学习平台中发布测试的题目，并让学生加入测试。【教师】从教材配套题库中选择几道题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象互助指导（12min）☞选出优秀学生带动、指导其他同学掌握知识点【教师】公布题目的正确答案，每组指定一名答题准确率最高的同学，辅导本组的未答对同学掌握答题知识，实现组内互助【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧以学生为主体，针对学生接受能力的差异性，让优秀学生带动其他学生掌握知识点课堂小结（3min）【教师】简要总结本节课的要点本节课上大家掌握了函数单调性的判断，以及函数极值的判定方法，课后要多加练习，巩固认知【学生】总结回顾知识点【教师】布置课后作业：习题4-2总结知识点，巩固印象课后拓展【教师】在文旌课堂APP或其他学习平台上共