《基础数学（第2册）（第2版）》教案 第六章教案 6.3.1直线的位置关系

课题直线的位置关系课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：（1）了解两条直线的位置关系。（2）掌握两条直线的位置关系的判定。（3）培养学生数形结合解决问题的能力与计算能力。素质目标：引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到学以致用的目的。培养学生丰富知识和精湛技能的同时，培养学生“爱岗敬业、尊重平等、诚信严谨、友善关爱、团队协作”的职业素养，实现在课堂教学主渠道中全方位、全过程、全员立体化育人。教学重难点教学重点：直线位置关系的判定教学难点：根据两条直线的位置关系，求直线方程教学方法讲练结合法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学理念根据生活例子提出两条直线的位置关系。从实际例子讲解数学根据数形结合的方式讲解两条直线的位置关系。根据代数的方法求解两条直线的交点。教学设计第1节课：→→问题→传授新知（20min）→→第2节课：→传授新知（25min）→课堂练习（10min）→课堂小结（3min）→作业布置（2min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课课前任务【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过文旌课堂APP或其他学习软件，完成课前任务【学生】完成课前任务通过课前的预热，让学生了解所学课程的大概内容，激发学生的学习欲望考勤（2min）【教师】使用文旌课堂APP进行签到，清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况问题导入（5min）【教师】提出以下问题：图6-10学习过直线的方程后，如何根据直线方程判断两条直线平行呢？【学生】聆听、思考、举手回答通过问题导入的方法，引导学生主动思考，激发学生的学习兴趣传授新知（20min）【教师】通过学生的回答讲解两条直线的位置关系【知识精讲】【教师】根据导入问题讲解两条直线的位置关系初中时我们学过，当两条直线都与第三条直线相交时，“同位角相等”是“两条直线平行”的充要条件．下面我们从斜率的角度来研究两条直线平行的充要条件．如图6-11（a）所示，设直线和的方程为，．已知直线和都不平行于y轴，倾斜角分别为和，斜率分别为和．当直线和平行且不重合（直线在y轴上的截距不相等，即）时，两条直线与x轴相交的同位角相等，即直线和的倾斜角，则，于是，得出．反之，当直线和的斜率且在y轴上的截距时，可以得出，即

，于是，得出．如图6-11（b）所示，当直线和不重合且斜率都是0时，两条直线都与x轴平行，即它们的倾斜角都为，所以．因此，对于斜率都存在且不重合的两条直线和，如果它们平行，则斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则这两条直线平行，即直线和平行的充要条件为．（6-7）平行，即它们的倾斜角都为，也有．（a）（b）（c）图6-11此外，对于直线和，当且时，两条直线重合．综上所述，当直线和的斜率都存在时，可以利用直线的斜率和在y轴上的截距来判断两条直线的位置关系，如表6-1所示．表6-1两个方程的系数关系两条直线的位置关系相交平行重合【学生】聆听、思考、记忆【学以致用】【教师】根据知识点讲解例题例1求证：直线和直线平行．例1证明将两条直线都写成斜截式为和．因为，所以例2求过点且与直线平行的直线方程．例2则．设所求直线的斜率为，因该直线与已知直线平行，所以．又因该直线过点，故所求直线的方程为，即．解法二设所求直线的方程为．将点代入方程得，．故所求直线的方程为，即．【学生】聆听、思考、记忆【头脑风暴】【教师】提出问题如果求得两条直线的斜率相等，那么是不是两条直线平行呢?【学生】聆听、思考、讨论、回答【教师】公布正确答案，并进行总结【学生】聆听、思考、理解、记忆通过教师讲解、课堂讨论、举例说明等教学方式，使学生了解两条直线的位置关系课堂练习（10min）【教师】对学生进行同桌互助自测（学困生上黑板验算）：1．已知四点，，，，求过两点和两点的直线方程，并判断两条直线是否平行．2．【学生】聆听、思考、同桌讨论，纠错使用讲练结合的方式，及时了解学生知识掌握情况归纳总结（8min）【教师】对所学知识进行提炼（学困生回答）：1．两条直线的斜率都不存在时，位置关系．2．一条直线的斜率存在，另一条的斜率不存在时，两条直线的位置关系。3．斜率为0的直线与斜率不存在的直线位置关系。4．两条直线斜率都存在时的位置关系。【学生】聆听、思考、同桌讨论，纠错【教师】与学生一起纠错，并进行总结通过归纳总结，加深学生对所学知识的理解，并培养学生的团队意识第二节课问题导入（5min）【教师】提出问题：图6-12在数学中，如何根据两条相交直线的方程确定其交点坐标呢？【学生】聆听、思考、举手回答通过问题导入的方法，引导学生主动思考，激发学生的学习兴趣传授新知（25min）【教师】通过学生的回答引入要讲的知识，讲解直线相交【知识精讲】【教师】根据导入问题举例直线相交交点的求法平面内既不重合又不平行的两条直线一定相交，即两条直线的斜率都存在但不相等或一条直线的斜率存在而另一条直线的斜率不存在时，两条直线相交．1．两条相交直线的交点设平面内两条相交直线的方程分别为，如图6-13所示，直线与直线相交于点P，所以点P的坐标既满足直线的方程，又满足直线的方程，为两个直线方程的公共解．图6-13于是，求直线与直线的交点时，需要解方程组该方程组的解就是交点P的坐标．【学生】聆听、思考、记忆【学以致用】【教师】根据知识点讲解例题例3例3（1）；（2）．解（1）直线可化为，其斜率．直线可化为，其斜率．因为，所以直线和相交．联立方程组解得所以，交点坐标为．（2）直线可化为，其斜率．直线可化为，其斜率．因，所以直线和相交．联立方程组解得所以，交点坐标为．【学生】聆听、思考、记忆【头脑风暴】【教师】提出问题【学生】聆听、思考、讨论、回答【教师】公布正确答案，并进行总结【知识精讲】【教师】根据导入问题举例讲解一般式方程2．两条直线垂直的条件如图6-14（a）所示，设直线和的方程为，．，，，于是．反之，若，则，可以得到，于是，由倾斜角的取值范围可知，即．因此，对于斜率都存在且不为零的两条直线和，如果它们垂直，则斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则这两条直线垂直，即直线和垂直的充要条件为．（6-8）如图6-14（b）所示，如果两条直线的斜率一个等于零，另一个不存在，显然，这两条直线也垂直．（a）

（b）图6-14【学生】聆听、思考、记忆【学以致用】【教师】根据知识点讲解例题例3例3（1）；（2）．解（1）直线可化为，其斜率．直线可化为，其斜率．因为，所以直线和相交．联立方程组解得所以，交点坐标为．（2）直线可化为，其斜率．直线可化为，其斜率．因，所以直线和相交．联立方程组解得所以，交点坐标为．【学生】聆听、思考、记忆【头脑风暴】【教师】提出问题【学生】聆听、思考、讨论、回答【教师】公布正确答案，并进行总结【学生】聆听、讨论、理解、回答通过教师讲解、课堂讨论、举例说明等教学方式，使学生掌握直线交点的求法课堂练习（10min）【教师】对学生进行同桌互助自测（学困生上黑板验算）：判断下列说法的正误．（1）已知直线l过点且与直线垂直，则该直线的方程为． （）已知直线l （）（3）直线与直线相交． （）【学生】聆听、思考、同桌讨论，纠错使用讲练结合的方式，充分了解学情课堂小结（3min）【教师】简要总结本节课的要点本次课学习了两条直线的位置关系，分别是相交、平行、重合，重点是平行和垂直这两种情况，希望大家在课下多加复习，巩固所学知识，并将所学知识灵活运用到实践中。【学生】总结回顾知识点总结知识点，加深学生对命题知识的印象作业布置