第十一章级数微分方程习题课

11、常数项级数级数的部分和定义级数的收敛与发散一、主要内容2性质1:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.性质3:在级数前面加上或去掉有限项不影响级数的敛散性.性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和.级数收敛的必要条件:收敛级数的基本性质3定义2、正项级数及其审敛法审敛法(1)比较审敛法4(2)比较审敛法的极限形式56定义

正、负项相间的级数称为交错级数.3、交错级数及其审敛法7定义正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.4、任意项级数及其审敛法85、函数项级数(1)定义(2)收敛点与收敛域9(3)和函数10(1)定义6、幂级数11(2)收敛性12推论13定义:正数R称为幂级数的收敛半径.(-R,R)称为幂级数的收敛区间.14a.代数运算性质:加减法(其中(3)幂级数的运算15乘法(其中除法16b.和函数的分析运算性质:177、幂级数展开式(1)定义18(2)充要条件(3)唯一性19(3)展开方法a.直接法(泰勒级数法)步骤:b.间接法根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.20(4)常见函数展开式2122(1)三角函数系三角函数系8、傅里叶级数23(2)傅里叶级数定义三角级数24其中称为f(x)的傅里叶级数.25(3)狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)26(4)正弦级数与余弦级数2728奇延拓:(5)在[0,]上的函数展成正弦级数与余弦级数29偶延拓:3031二、典型例题321.设a是常数,则级数(A)绝对收敛;(B)条件收敛;(C)发散;(D)收敛性与a的取值有关.提示:而发散,故原级数发散.C绝对收敛33(常数a>0)(

)2.级数(A)绝对收敛;(B)条件收敛;(C)发散;(D)收敛性与a的有关.提示:因收敛,故原级数绝对收敛,所以应选(A)A～343.设常数(A)发散;(B)条件收敛;(C)绝对收敛;(D)收敛性与

有关.提示:而和都收敛,故原级数绝对收敛C收敛,则级数且级数354.设常数k>0,则级数(A)发散;(B)条件收敛;(C)绝对收敛;(D)收敛与发散与k有关.提示:绝对收敛条件收敛B36肯定收敛的是（)5.设则下列级数中提示:D收敛绝对收敛376.设幂级数必定在区间

内收敛.的收敛半径为3,则幂级数提示:令则收敛半径均为3,(–2,4)故必在这里关键用到幂级数求导后收敛半径不变即内收敛

.与38例２解即原级数非绝对收敛．39由莱布尼茨定理：40所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛．41例3.判别下列级数的敛散性:解:(1)可知原级数发散42利用比值判别法,可知原级数发散.因

n

充分大时由发散,知原级数发散.用比值判别法可知:时收敛;时发散;时,与p

级数比较可知:时收敛时发散43例4设正项级数和也收敛.解:因

存在N>0,利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.都收敛,证明级数当n>N时44例5.若级数与均收敛,且证明级数收敛.证:则与收敛收敛收敛收敛45证明级数收敛。证明：从而数列的极限存在考察正项级数，设它的部分和为，则46因存在，故存在，也就是正项级数收敛。由比较审敛法知原级数收敛。47例7.求级数的和函数及收敛,解:收敛域为

48因此由和函数的连续性得:而及49例8求的和函数.解: