2022-2023学年广东省江门市高一下学期期末调研测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省江门市2022-2023学年高一下学期期末调研测试数学试题本试卷共6页，22小题，满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．做选择题时，必须用2B铅笔将答题卷上对应题目的〖答案〗标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它〖答案〗标号．3．答非选择题对，必须用黑色字迹钢笔或签字笔，将〖答案〗写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．5．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数的虚部是（）A.3 B.4i C.4 D.i〖答案〗C〖解析〗因为复数，所以复数的虚部为4，故选：C．2.某小组有1名男生和2名女生，从中任选2名学生参加象棋比赛，事件“至多有1名男生”与事件“至多有1名女生”是（）A.对立事件 B.必然事件 C.互斥事件 D.相互独立事件〖答案〗D〖解析〗记1名男生为，2名女生分别为、，从中抽取名学生，则可能结果有、、，记为事件“至多有1名男生”，则事件包含、、，即事件为必然事件，则，记为事件“至多有1名女生”，则事件包含、，且，显然包含于，又，所以事件与事件相互独立.故选：D3.小红参加学校举行的演讲比赛，6位评委对她的评分如下：82，78，85，81，90，88，若选手的最终得分计算需要去掉一个最低分和一个最高分，则小红的最终得分的平均数和方差分别为（）A.83，6.5 B.87，8.5 C.83，9.5 D.84，7.5〖答案〗D〖解析〗去掉一个最低分78和一个最高分90，最终得分如下：82，85，81，88，则最终得分的平均数为，方差为，故选：D．4.已知，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由向量，，得，故向量在方向上的投影向量为，故选：B.5.在中，，，则（）A.2 B. C.-2 D.〖答案〗C〖解析〗因为在中，，所以为锐角，所以，，则.故选：C6.已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面直径为（）A.6 B.3 C.12 D.〖答案〗A〖解析〗设圆锥的底面半径为，高为，则母线长为，则圆锥的侧面积为，故表面积为，得①，又底面圆周长等于侧面展开半圆的弧长，故，即，得②，联立①②得：，，则圆锥底面直径为6．故〖答案〗为：A．7.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且若，外接圆的半径为1，则面积的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，∵，∴，∵外接圆的半径为1，∴由正弦定理得，则，∴，则，∴，当且仅当时等号成立，∴，即面积的最大值为.故选：A.8.甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班人，乙班人，甲班的平均成绩为分，方差为，乙班的平均成绩为分，方差为，那么甲、乙两班全部名学生的平均成绩，方差分别是（）A.， B.， C.， D.，〖答案〗C〖解析〗全班名学生的平均成绩；全班名学生的方差.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.得到函数的图象，只需将函数图象上所有点的坐标（）A.向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）B.向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）C.横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度D.横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度〖答案〗AD〖解析〗先平移后伸缩：函数图象向左平移个单位长度，得，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得；先伸缩后平移：函数图象将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得，再向左平移个单位长度，得，即．故AD符合题意.故选：AD．10.下列说法正确的是（）A.中，D为BC的中点，则B.向量，可以作为平面向量的一组基底C.若非零向量与满足，则为等腰三角形D.已知点，，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可以为〖答案〗AC〖解析〗对于A，在中，因为D为BC的中点，所以，所以，故选项A正确；对于B，因为向量，，所以，可知与共线，不能作为平面向量的一组基底，故选项B错误；对于C，因为和分别表示与向量和同向的单位向量，所以以和为邻边的平行四边形是菱形，根据平行四边形法则可知在的平分线上，又因为，所以的平分线垂直于，所以，即为等腰三角形，故选项C正确；对于D，若点P是线段AB三等分点，则或，因为，，所以，所以或，即点P的坐标可以为或，故选项D错误.故选：AC.11.某短视频平台以讲故事，赞家乡，聊美食，展才艺等形式展示了丰富多彩的新时代农村生活，吸引了众多粉丝，该平台通过直播带货把家乡的农产品推销到全国各地，从而推进了“新时代乡村振兴”，从平台的所有主播中，随机选取300人进行调查，其中青年人，中年人，其他人群三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段主播的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列说法正确的有（）A.样本中中年男性20人B.该平台女性主播约占40%C若用分层抽样法从样本中抽取20名主播担当平台监管，则中年主播应抽取6名D.从平台的所有主播中随机抽取2位，则2位主播均为女性的概率约为〖答案〗BCD〖解析〗由图1可知300名主播中，青年人有人，中年人有人，其他人群有人，由图2可知样本中中年男性有人，故A错误；由图2可知青年女性主播有人；中年女性主播有人；其他人群女性主播有人，故该平台女性主播约占，故B正确；由图1，青年主播、中年主播与其他人群主播的人数比例为，故用分层抽样法从样本中抽取20名主播担当平台监管，则中年主播应抽取名，故C正确；在选取300名主播中，女性主播共有名，故从平台的所有主播中随机抽取2位，则2位主播均为女性的概率约为，故D正确.故选：BCD12.已知正四面体的棱长为a，，N为的重心，P为线段CN上一点，则（）A.正四面体的体积为B.正四面体的外接球的体积为C.若，则DP⊥平面ABCD.P点到各个面的距离之和为定值，且定值为〖答案〗BC〖解析〗对于A，如上图，把正四面体放到一个有共同四个顶点的正方体中，则正方体的面对角线长为，所以正方体棱长为，则正四面体的体积为正方体的体积减去四个相同体积的三棱锥，且三棱锥的体积为，正方体的体积为，所以正四面体的体积为，故A错误；对于B，在A中，正四面体与正方体有相同的外接球，且外接球的直径即为正方体的体对角线，且直径为，所以正四面体的外接球的体积为，故B正确；对于C，如图，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，可得，，，，所以，，，由，得，所以，设平面的一个法向量为，则，即，令可得，因为，所以DP⊥平面ABC，故C正确；对于D，连接，设P点到各个面的距离分别为，正四面体的一个侧面面积为，所以，由A选项可得，，解得，所以P点到各个面的距离之和为定值，且定值为，故D错误.故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.当复数是纯虚数时，实数______．〖答案〗〖解析〗因为复数是纯虚数，所以，解得故〖答案〗为：.14.抛掷两颗质地均匀的骰子，记下骰子朝上面的点数，则事件“两个点数之积为偶数”的概率为______．〖答案〗〖解析〗骰子的点数为：1，2，3，4，5，6，抛掷两颗质地均匀的骰子，基本事件为，总共有6×6＝36个结果，记“两个点数之积为奇数”为事件A，包含，共有9个结果，∴“两个点数之积为奇数”的概率为，∴“两个点数之积为偶数”的概率为，故〖答案〗：．15.已知，则______．〖答案〗〖解析〗因为，由余弦的二倍角公式可得：故〖答案〗为：16.已知长方体中，，点M为的中点，且，则平面被长方体截得的平面图形的周长为______．〖答案〗〖解析〗长方体中，，点为的中点，且，如图所示：设，由于点为的中点，则，,由于，利用勾股定理，即，解得，故，设为平面与棱的交点，则平面被长方体截得的平面图形为四边形，连接，由于平面平面，平面平面，平面平面，，又，，为的中点，为的中点，所以，，，，，因此，截面图形的周长为.故〖答案〗为：.四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去20天苹果的日销售量（单位：kg），结果如下：83，107，91，94，80，80，100，75，102，89，74，94，84，101，93，85，97，84，85，104（1）请计算该水果店过去20天苹果日销售量的中位数和极差；（2）请完成苹果日销售量的频率分布表，并画出频率分布直方图．分组频数频率合计解：（1）将样本数据由小到大排序，结果如下：74，75，80，80，83，84，84，85，85，89，91，93，94，94，97，100，101，102，104，107.由样本容量为20可知，数据由小到大排序的中间项应为第10个、第11个数据，分别为89，91，故水果店过去30天苹果日销售量的中位数为.由上可知，样本数据的最小值为74，最大值为107，故极差为.（2）由（1）中对数据排序可得频率分布表如下：分组频数频率20.1130.6550.25合计201由分组可知组距为20，将各组的频率除以组距可得数据如下:分组故频率分布直方图如图所示：18.已知函数图象相邻的两条对称轴的距离为，在一个周期内的图象如图所示．（1）求函数的〖解析〗式；（2）求函数在上的单调递增区间．解：（1）由已知得，，故由图可知，，则，故.由图象过点，可得，则，或，即，或，又，经检验，当时，符合题意，故.（2）由，可得，则的单调递增区间为，令，得，令，得，故在上的单调递增区间为和.19.如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，E为PB中点，M为AD中点，F为线段BC上动点．（1）若F为BC中点，求证：平面AEF；（2）证明：平面平面PBC．证明：（1）如图，连接交于点，连接，底面为正方形，为中点，为中点，，且，四边形为平行四边形，为中点．又为中点，，且，又平面，平面，平面AEF.（2）底面为正方形，，平面，平面，，又，平面，平面，平面，，，且为中点，则，又，平面，平面，平面，平面平面20.近年来，我国居民体重“超标”成规模增长趋势，其对人群的心血管安全构成威胁，国际上常用身体质量指数BMI=衡量人体胖瘦程度是否健康，中国成人的BMI数值标准是：BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BMI<23.9为正常：24≤BMI<27.9为偏胖；BMI>28为肥胖．下面是社区医院为了解居民体重现状，随机抽取了100名居民体检数据，将其BMI值分成以下五组：，，，，，得到相应的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，求a的值，并估计该社区居民身体质量指数BMI的样本数据的80%分位数；（2）现从样本中利用分层抽样的方法从，的两组中抽取6名居民，再从这6人中随机抽取2人，求抽取到2人的BMI值不在同一组的概率．解：（1）根据频率分布直方图可知组距为，所有矩形面积和为，所以，解得因为，，三组频率之和为，而，，，，四组的频率之和为，故样本数据的80%分位数在内，设为，则，解得，即该社区居民身体质量指数的样本数据80%分位数为.（2）由频率分布直方图可知的频数为，的频数为，所以两组人数比值为，按照分层抽样抽取人，则在，分别抽取人和人，记这组两个样本编号为，这组编号为，故从人随机抽取人所有可能样本的构成样本空间：设事件“从6个人中随机抽取2人，抽取到2人的值不在同一组”，则故，即从这6个人中随机抽取2人，抽取到2人的值不在同一组的概率为.21.在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，，，．（1）求的面积；（2）若D为AC的中点，求BD的长．解：（1）中，，由正弦定理得，由余弦定理得：，即，解得：，所以的面积.（2）方法一：因为为的中点，所以．由（1）知.由于，所以，在和中，由余弦定理得：，即，解得.方法二：由于为的中点，所以，，则.22.如图，ABDC是平面四边形，为正三角形，，．将沿BC翻折，过点A作平面BCD的垂线，垂足为H．（1）若点H在线段BD上，求AD的长；（2）若点H在BCD内部，且直线AB与平面ACD所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．解：（1）方法一：平面，平面，，中，，中，，，，由于为等腰直角三角形，，为中点，在中由勾股定理得，，，在中由勾股定理得，，.方法二：在平面四边形中，设的中点为，连接并延长，交于.为正三角形，为的中点，，，，为的中点，为的中点.在三棱锥中，，，且，平面，又平面，平面平面，点在直线上.当点在线段上，此时与重合，，平面，平面，，在，，在，，（2）方法一：当点在内部，知平面，平面，则，设是的中点，连接，为正三角形，，，平面，平面，平面，，为二面角的平面角.设点到平面的距离为，则，过点作，连接，由平面，在的中垂线上，设，则，由等体积法得：，，即，，解得，所以,.方法二：当点在内部，知平面，此时在线段（不含端点）上.，为二面角的平面角.由于平面，，过点作交于，连接，，，又因为，平面，平面，平面平面，过点作，交于点，又平面平面，平面.设为直线与平面所成的角，则点到平面的距离为，，解得，在中，可设由于，解得.在中，，所以.广东省江门市2022-2023学年高一下学期期末调研测试数学试题本试卷共6页，22小题，满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．做选择题时，必须用2B铅笔将答题卷上对应题目的〖答案〗标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它〖答案〗标号．3．答非选择题对，必须用黑色字迹钢笔或签字笔，将〖答案〗写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．5．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数的虚部是（）A.3 B.4i C.4 D.i〖答案〗C〖解析〗因为复数，所以复数的虚部为4，故选：C．2.某小组有1名男生和2名女生，从中任选2名学生参加象棋比赛，事件“至多有1名男生”与事件“至多有1名女生”是（）A.对立事件 B.必然事件 C.互斥事件 D.相互独立事件〖答案〗D〖解析〗记1名男生为，2名女生分别为、，从中抽取名学生，则可能结果有、、，记为事件“至多有1名男生”，则事件包含、、，即事件为必然事件，则，记为事件“至多有1名女生”，则事件包含、，且，显然包含于，又，所以事件与事件相互独立.故选：D3.小红参加学校举行的演讲比赛，6位评委对她的评分如下：82，78，85，81，90，88，若选手的最终得分计算需要去掉一个最低分和一个最高分，则小红的最终得分的平均数和方差分别为（）A.83，6.5 B.87，8.5 C.83，9.5 D.84，7.5〖答案〗D〖解析〗去掉一个最低分78和一个最高分90，最终得分如下：82，85，81，88，则最终得分的平均数为，方差为，故选：D．4.已知，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由向量，，得，故向量在方向上的投影向量为，故选：B.5.在中，，，则（）A.2 B. C.-2 D.〖答案〗C〖解析〗因为在中，，所以为锐角，所以，，则.故选：C6.已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面直径为（）A.6 B.3 C.12 D.〖答案〗A〖解析〗设圆锥的底面半径为，高为，则母线长为，则圆锥的侧面积为，故表面积为，得①，又底面圆周长等于侧面展开半圆的弧长，故，即，得②，联立①②得：，，则圆锥底面直径为6．故〖答案〗为：A．7.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且若，外接圆的半径为1，则面积的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，∵，∴，∵外接圆的半径为1，∴由正弦定理得，则，∴，则，∴，当且仅当时等号成立，∴，即面积的最大值为.故选：A.8.甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班人，乙班人，甲班的平均成绩为分，方差为，乙班的平均成绩为分，方差为，那么甲、乙两班全部名学生的平均成绩，方差分别是（）A.， B.， C.， D.，〖答案〗C〖解析〗全班名学生的平均成绩；全班名学生的方差.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.得到函数的图象，只需将函数图象上所有点的坐标（）A.向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）B.向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）C.横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度D.横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度〖答案〗AD〖解析〗先平移后伸缩：函数图象向左平移个单位长度，得，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得；先伸缩后平移：函数图象将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得，再向左平移个单位长度，得，即．故AD符合题意.故选：AD．10.下列说法正确的是（）A.中，D为BC的中点，则B.向量，可以作为平面向量的一组基底C.若非零向量与满足，则为等腰三角形D.已知点，，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可以为〖答案〗AC〖解析〗对于A，在中，因为D为BC的中点，所以，所以，故选项A正确；对于B，因为向量，，所以，可知与共线，不能作为平面向量的一组基底，故选项B错误；对于C，因为和分别表示与向量和同向的单位向量，所以以和为邻边的平行四边形是菱形，根据平行四边形法则可知在的平分线上，又因为，所以的平分线垂直于，所以，即为等腰三角形，故选项C正确；对于D，若点P是线段AB三等分点，则或，因为，，所以，所以或，即点P的坐标可以为或，故选项D错误.故选：AC.11.某短视频平台以讲故事，赞家乡，聊美食，展才艺等形式展示了丰富多彩的新时代农村生活，吸引了众多粉丝，该平台通过直播带货把家乡的农产品推销到全国各地，从而推进了“新时代乡村振兴”，从平台的所有主播中，随机选取300人进行调查，其中青年人，中年人，其他人群三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段主播的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列说法正确的有（）A.样本中中年男性20人B.该平台女性主播约占40%C若用分层抽样法从样本中抽取20名主播担当平台监管，则中年主播应抽取6名D.从平台的所有主播中随机抽取2位，则2位主播均为女性的概率约为〖答案〗BCD〖解析〗由图1可知300名主播中，青年人有人，中年人有人，其他人群有人，由图2可知样本中中年男性有人，故A错误；由图2可知青年女性主播有人；中年女性主播有人；其他人群女性主播有人，故该平台女性主播约占，故B正确；由图1，青年主播、中年主播与其他人群主播的人数比例为，故用分层抽样法从样本中抽取20名主播担当平台监管，则中年主播应抽取名，故C正确；在选取300名主播中，女性主播共有名，故从平台的所有主播中随机抽取2位，则2位主播均为女性的概率约为，故D正确.故选：BCD12.已知正四面体的棱长为a，，N为的重心，P为线段CN上一点，则（）A.正四面体的体积为B.正四面体的外接球的体积为C.若，则DP⊥平面ABCD.P点到各个面的距离之和为定值，且定值为〖答案〗BC〖解析〗对于A，如上图，把正四面体放到一个有共同四个顶点的正方体中，则正方体的面对角线长为，所以正方体棱长为，则正四面体的体积为正方体的体积减去四个相同体积的三棱锥，且三棱锥的体积为，正方体的体积为，所以正四面体的体积为，故A错误；对于B，在A中，正四面体与正方体有相同的外接球，且外接球的直径即为正方体的体对角线，且直径为，所以正四面体的外接球的体积为，故B正确；对于C，如图，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，可得，，，，所以，，，由，得，所以，设平面的一个法向量为，则，即，令可得，因为，所以DP⊥平面ABC，故C正确；对于D，连接，设P点到各个面的距离分别为，正四面体的一个侧面面积为，所以，由A选项可得，，解得，所以P点到各个面的距离之和为定值，且定值为，故D错误.故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.当复数是纯虚数时，实数______．〖答案〗〖解析〗因为复数是纯虚数，所以，解得故〖答案〗为：.14.抛掷两颗质地均匀的骰子，记下骰子朝上面的点数，则事件“两个点数之积为偶数”的概率为______．〖答案〗〖解析〗骰子的点数为：1，2，3，4，5，6，抛掷两颗质地均匀的骰子，基本事件为，总共有6×6＝36个结果，记“两个点数之积为奇数”为事件A，包含，共有9个结果，∴“两个点数之积为奇数”的概率为，∴“两个点数之积为偶数”的概率为，故〖答案〗：．15.已知，则______．〖答案〗〖解析〗因为，由余弦的二倍角公式可得：故〖答案〗为：16.已知长方体中，，点M为的中点，且，则平面被长方体截得的平面图形的周长为______．〖答案〗〖解析〗长方体中，，点为的中点，且，如图所示：设，由于点为的中点，则，,由于，利用勾股定理，即，解得，故，设为平面与棱的交点，则平面被长方体截得的平面图形为四边形，连接，由于平面平面，平面平面，平面平面，，又，，为的中点，为的中点，所以，，，，，因此，截面图形的周长为.故〖答案〗为：.四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去20天苹果的日销售量（单位：kg），结果如下：83，107，91，94，80，80，100，75，102，89，74，94，84，101，93，85，97，84，85，104（1）请计算该水果店过去20天苹果日销售量的中位数和极差；（2）请完成苹果日销售量的频率分布表，并画出频率分布直方图．分组频数频率合计解：（1）将样本数据由小到大排序，结果如下：74，75，80，80，83，84，84，85，85，89，91，93，94，94，97，100，101，102，104，107.由样本容量为20可知，数据由小到大排序的中间项应为第10个、第11个数据，分别为89，91，故水果店过去30天苹果日销售量的中位数为.由上可知，样本数据的最小值为74，最大值为107，故极差为.（2）由（1）中对数据排序可得频率分布表如下：分组频数频率20.1130.6550.25合计201由分组可知组距为20，将各组的频率除以组距可得数据如下:分组故频率分布直方图如图所示：18.已知函数图象相邻的两条对称轴的距离为，在一个周期内的图象如图所示．（1）求函数的〖解析〗式；（2）求函数在上的单调递增区间．解：（1）由已知得，，故由图可知，，则，故.由图象过点，可得，则，或，即，或，又，经检验，当时，符合题意，故.（2）由，可得，则的单调递增区间为，令，得，令，得，故在上的单调递增区间为和.19.如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，E为PB中点，M为AD中点，F为线段BC上动点．（1）若F为BC中点，求证：平面AEF；（2）证明：平面平面PBC．证明：（1）如图，连接交于点，连接，底面为正方形，为中点，为中点，，且，四边形为平行四边形，为中点．又为中点，，且，又平面，平面，平面AEF.（2）底面为正方形，，平面，平面，，又，平面，平面，平面，，，且为中点，则，又，平面，平面，平面，平面平面20.近年来，我国居民体重“超标”成规模增长趋势，其对人群的心血管安全构成威胁，国际上常用身体质量指数BMI=衡量人体胖瘦程度是否健康，中国成人的BMI数值标准是：BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BMI<23.9为正常：24≤BMI<27.9为偏胖；BMI>28