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第三章

圆锥曲线的方程3.1.1椭圆及其标准方程【想一想】在圆

上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程什么？轨迹是什么图形？

【赏一赏】圆锥曲线的由来及无处不在的椭圆

【画一画】画椭圆

一椭圆的定义：定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数

的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。M注

：1、F1、F2是平面内两个不同定点2、M是椭圆上任意一点，满足：|MF1|+|MF2|=常数；3、通常这个常数记为2a，焦距记为2c，且2a>2c

如果2a=2c，则M点的轨迹是线段F1F2.

如果2a<2c，则M点的轨迹不存在.（由三角形的性质知）（大于|F1F2|）

如果c=0，则M点的轨迹是圆♦探讨建立平面直角坐标系的方案OxyOxyOxyMF1F2方案一F1F2方案二OxyM二、

椭圆的标准方程：OXYF1F2M如图所示：F1、F2为两定点，且|F1F2|=2c，求平面内到两定点F1、F2距离之和为定值2a（2a>2c)的动点M的轨迹方程。

解：以F1F2所在直线为X轴，F1F2

的中点为原点建立平面直角坐标系，则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0)。(-c,0)(c,0)(x,y)

设M（x,y)为所求轨迹上的任意一点，则:OXYF1F2M(-c,0)(c,0)(x,y)两边平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)因为2a>2c，即a>c，所以a2-c2>0，令a2-c2=b2，其中b>0，代入上式可得：b2x2+a2y2=a2b2两边同时除以a2b2得：(a>b>0)这个方程叫做椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在x轴上。Caba、b、c在图中代表什么a、b、c构成直角三角形a2=b2+c2OxyMF1F2方案一F1F2方案二OxyM猜想方案2的标准方程：OXYF1F2M(-c,0)(c,0)YXOF1F2M(0,-c)(0,c)（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1（3）三个参数a、b、c构成系数直角三角形，满足a2=b2+c2。（4）求方程：先确定焦点在哪，再求a、b、c，即先定位，再定量。

（2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上，大的分母为a平方。F(±c，0)在Ｘ轴上F(0，±c)在Ｙ轴上【试一试】已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2,0）,（2,0）,并且经过点,求它的标准方程。【想一想】在圆

上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么图形？

看一看：伸缩圆

图形方程焦点F(±c，0)在Ｘ轴上F(0，±c)在Ｙ轴上a,b,c之间的关系a2=b2+c2P={M||MF1|+|MF2|=2a｝(2a>2c>0)定义12yoFFMx1oFyx2FM小结&作业：注：哪个分母大，焦点就在相应的哪条坐标轴上！【课后思考

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