2023-2024学年贵州省黔东南州从江县宰便中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年贵州省黔东南州从江县宰便中学九年级第一学期月考数学试卷（10月份）一、选择题：以下每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确，每小题3分，共36分.1．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠B：∠BCD＝1：2，则对角线AC等于（）A．5 B．10 C．15 D．202．由下表可知，方程ax2+bx+c＝0的一个根（精确到0.01）的范围是（）x6.176.186.196.20ax2+bx+c＝0﹣0.03﹣0.010.040.1A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.203．小颖有两顶帽子，分别为红色和黑色，有三条围巾，分别为红色、黑色和白色，她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是（）A． B． C． D．4．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是（）A．∠ACB＝60° B．∠B＝60° C．AB＝BC D．AC＝BC5．关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m＝0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定6．方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定7．解一元二次方程x2+4x﹣1＝0，配方正确的是（）A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝58．如图，这是一幅2018年俄罗斯世界杯的长方形宣传画，长为4m，宽为2m．为测量画上世界杯图案的面积，现将宣传画平铺在地上，向长方形宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.4左右．由此可估计宣传画上世界杯图案的面积为（）A．2.4m2 B．3.2m2 C．4.8m2 D．7.2m29．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（）A．（x+1）（x+2）＝18 B．x2﹣3x+16＝0 C．（x﹣1）（x﹣2）＝18 D．x2+3x+16＝010．如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，将ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置，H是EG的中点，若AB＝6，BC＝8，则线段CH的长为（）A． B． C． D．11．如图，在边长为1的正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，P是BC边上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，则PE+PF＝（）A． B． C． D．12．如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设DE＝d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为（）A． B．2 C．2 D．4二、填空题：每小题4分，共16分.13．当m＝时，关于x的方程（m﹣2）+2x﹣1＝0是一元二次方程．14．如图，“石头、剪刀、布”是民间广为流传的游戏，游戏时，双方每次任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种，那么双方出现相同手势的概率P＝．15．某地区居民2020年人均年收入30000元，到2022年人均年收入达到58800元．则该地区居民年人均收入平均增长率为．16．如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝．三、解答题：本大题9小题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．用适当的方法解下列方程：（1）x2+2x﹣5＝0；（2）（x﹣2）2+x（x﹣2）＝0．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB．（1）试判断四边形ADCE的形状，并证明你的结论；（2）当∠ABC＝°时，四边形ADCE为正方形．19．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是试验中的一组统计数据：摸球的次数n10020030050080010003000摸到白球的次数m701281713024815991806摸到白球的频率0.70.640.570.6040.6010.5990.602（1）请估计当n很大时，摸到白球的概率为（精确到0.1）．（2）估算盒子里有白球个．（3）若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有1个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.5，那么可以推测出x最有可能是多少？20．如图，用一根铁丝分成两段可以分别围成两个正六边形，已知它们的边长比是1：2，其中小六边形的边长为（x2﹣4）cm，大正六边形的边长为（x2+2x）cm（其中x＞0）．求这根铁丝的总长．21．为了编撰祖国的优秀传统文化，某校组织了一次“诗词大会”，小明和小丽同时参加，其中，有一道必答题是：从如图所示的九宫格中选取七个字组成一句唐诗，其答案为“山重水复疑无路”．（1）小明回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择，若随机选择其中一个，则小明回答正确的概率是；（2）小丽回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”、第四个字是选“富”还是选“复”都难以抉择，若分别随机选择，请用列表或画树状图的方法求小丽回答正确的概率．22．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？23．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形．（2）若AD＝12，EF＝4，求OE和BG的长．24．如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB延长线上一动点，连接EF，过点C作AB的平行线CD，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD．（1）求证：四边形DBEC是平行四边形．（2）若∠ABC＝120°，AB＝BC＝4，则在点E的运动过程中：①当BE＝时，四边形BECD是矩形；②当BE＝时，四边形BECD是菱形．25．[阅读理解]如图①，l1∥l2，△ABC的面积与△DBC的面积相等吗？为什么？[类比探究]如图②，在正方形ABCD的右侧作等腰△CDE，CE＝DE，AD＝4，连接AE，求△ADE的面积．[拓展应用]如图③，在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG，点B，C，E在同一直线上，AD＝4，连接BD，BF，DF，直接写出△BDF的面积．

参考答案一、选择题：以下每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确，每小题3分，共36分.1．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠B：∠BCD＝1：2，则对角线AC等于（）A．5 B．10 C．15 D．20【分析】根据题意可得出∠B＝60°，结合菱形的性质可得BA＝BC，判断出△ABC是等边三角形即可得到AC的长．解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B+∠BCD＝180°，AB＝BC，∵∠B：∠BCD＝1：2，∴∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝5．故选：A．【点评】此题考查了菱形的性质及等边三角形的判定与性质，根据菱形的性质判断出△ABC是等边三角形是解答本题的关键，难度一般．2．由下表可知，方程ax2+bx+c＝0的一个根（精确到0.01）的范围是（）x6.176.186.196.20ax2+bx+c＝0﹣0.03﹣0.010.040.1A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20【分析】由表格可发现y的值﹣0.01和0.04最接近0，再看对应的x的值即可得．解：由表可以看出，当x取6.18与6.19之间的某个数时，y＝0，即这个数是ax2+bx+c＝0的一个根．ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为6.18＜x＜6.19．故选：C．【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解，正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的．3．小颖有两顶帽子，分别为红色和黑色，有三条围巾，分别为红色、黑色和白色，她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是（）A． B． C． D．【分析】画树状图，共有6个等可能的结果，恰好取到红色帽子和红色围巾的结果有1个，再由概率公式求解即可．解：画树状图如图：，共有6个等可能的结果，恰好取到红色帽子和红色围巾的结果有1个，∴恰好取到红色帽子和红色围巾的概率为，故选：C．【点评】本题考查了列表法与树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键．4．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是（）A．∠ACB＝60° B．∠B＝60° C．AB＝BC D．AC＝BC【分析】首先根据平移的性质得出AC平行且等于DE，得出四边形ACDE为平行四边形，进而利用菱形的判定得出答案．解：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴AC平行且等于DE，∴四边形ACDE为平行四边形，当EC＝DE时，平行四边形ACED是菱形，∵AC＝DE，BC＝CE，∴AC＝BC时，平行四边形ACED是菱形，故选：D．【点评】此题主要考查了平移的性质和平行四边形的判定和菱形的判定，得出AB平行且等于CD是解题关键．5．关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m＝0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定【分析】表示出根的判别式，判断判别式的正负即可确定出方程根的情况．解：由关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m＝0，得到a＝1，b＝﹣（m+2），c＝m，b2﹣4ac＝（m+2）2﹣4m＝m2+4m+4﹣4m＝m2+4＞0，则方程有两个不相等的实数根，故选：A．【点评】此题考查了根的判别式，弄清根的判别式与方程根的关系是解本题的关键．6．方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定【分析】先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长．解：解方程x2﹣9x+18＝0，得x1＝6，x2＝3∵当底为6，腰为3时，由于3+3＝6，不符合三角形三边关系∴等腰三角形的腰为6，底为3∴周长为6+6+3＝15故选：C．【点评】此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用，注意分类讨论．7．解一元二次方程x2+4x﹣1＝0，配方正确的是（）A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝5【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案．解：∵x2+4x﹣1＝0，∴x2+4x+4＝5，∴（x+2）2＝5，故选：C．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．8．如图，这是一幅2018年俄罗斯世界杯的长方形宣传画，长为4m，宽为2m．为测量画上世界杯图案的面积，现将宣传画平铺在地上，向长方形宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.4左右．由此可估计宣传画上世界杯图案的面积为（）A．2.4m2 B．3.2m2 C．4.8m2 D．7.2m2【分析】利用频率估计概率得到估计骰子落在世界杯图案中的概率为0.4，然后根据几何概率的计算方法计算世界杯图案的面积．解：∵骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.4左右，∴估计骰子落在世界杯图案中的概率为0.4，∴估计宣传画上世界杯图案的面积＝0.4×（4×2）＝3.2（m2）．故选：B．【点评】本题考查了频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．9．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（）A．（x+1）（x+2）＝18 B．x2﹣3x+16＝0 C．（x﹣1）（x﹣2）＝18 D．x2+3x+16＝0【分析】可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣1）m，宽为（x﹣2）m．根据长方形的面积公式可列出方程．解：设原正方形的边长为xm，依题意有（x﹣1）（x﹣2）＝18，故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．10．如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，将ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置，H是EG的中点，若AB＝6，BC＝8，则线段CH的长为（）A． B． C． D．【分析】首先过点H作HM⊥BC于点M，由将ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置，AB＝6，BC＝8，可得BE＝BC＝8，∠CBE＝90°，BG＝AB＝6，又由H是EG的中点，易得HM是△BEG的中位线，继而求得HM与CM的长，由勾股定理即可求得线段CH的长．解：过点H作HM⊥BC于点M，∵将ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置，AB＝6，BC＝8，∴BE＝BC＝8，∠CBE＝90°，BG＝AB＝6，∴HM∥BE，∵H是EG的中点，∴MH＝BE＝4，BM＝GM＝BG＝3，∴CM＝BC﹣BM＝8﹣3＝5，在Rt△CHM中，CH＝＝．故选：D．【点评】此题考查了旋转的性质、矩形的性质、三角形中位线的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．11．如图，在边长为1的正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，P是BC边上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，则PE+PF＝（）A． B． C． D．【分析】先根据勾股定理求出对角线BD，证明△BEP是等腰直角三角形，得出PE＝BE，再证明四边形OEPF是矩形，得出PF＝OE，得出PE+PF＝BE+OE＝OB即可．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝1，AC⊥BD，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠CBO＝∠BCO＝45°，OB＝BD，∴BD＝＝，∠BOC＝90°，∴OB＝，∵PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，∴∠OEP＝∠OFP＝90°＝∠EOF，△BEP是等腰直角三角形，∴四边形OEPF是矩形，PE＝BE，∴PF＝OE，∴PE+PF＝BE+OE＝OB＝；故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．12．如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设DE＝d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为（）A． B．2 C．2 D．4【分析】连接AE，那么，AE＝CG，所以这三个d的和就是AE+EF+FC，所以大于等于AC，故当AEFC四点共线有最小值，最后求解，即可求出答案．解：如图，连接AE，∵四边形DEFG是正方形，∴∠EDG＝90°，EF＝DE＝DG，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴d1+d2+d3＝EF+CF+AE，∴点A，E，F，C在同一条线上时，EF+CF+AE最小，即d1+d2+d3最小，连接AC，∴d1+d2+d3最小值为AC，在Rt△ABC中，AC＝AB＝2，∴d1+d2+d3最小＝AC＝2，故选：C．【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解本题的关键．二、填空题：每小题4分，共16分.13．当m＝﹣2时，关于x的方程（m﹣2）+2x﹣1＝0是一元二次方程．【分析】根据一元二次方程的定义求得m的值，再进一步代入解方程即可．解：根据一元二次方程的定义，得，m2﹣2＝2，且m﹣2≠0，解得m＝±2，且m≠2m＝﹣2．故答案为：﹣2【点评】此题主要是注意一元二次方程的条件：未知数的最高次数是二次，且系数不得为0．14．如图，“石头、剪刀、布”是民间广为流传的游戏，游戏时，双方每次任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种，那么双方出现相同手势的概率P＝．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与双方出现相同手势的情况，再利用概率公式即可求得答案．解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，双方出现相同手势的有3种情况，∴双方出现相同手势的概率P＝．故答案为：．【点评】此题考查了列表法与树状图法求概率的知识．此题比较简单，注意列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，注意概率＝所求情况数与总情况数之比．15．某地区居民2020年人均年收入30000元，到2022年人均年收入达到58800元．则该地区居民年人均收入平均增长率为40%．【分析】设该地区居民年人均收入平均增长率为x，根据该地区居民2020年及2022年人均年收入，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可．解：设该地区居民年人均收入平均增长率为x，由题意得：30000（1+x）2＝58800，解得，x1＝0.4，x2＝﹣2.4（不符合题意，舍去），即该地区居民年人均收入平均增长率为40%，故答案为：40%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．16．如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝1．【分析】设CG＝x，则BG＝8﹣x，根据勾股定理可得AB2+BG2＝CE2+CG2，可求得x的值，进而求出BG的长．解：连接AG，EG，∵E是CD的中点，∴DE＝CE＝4，设CG＝x，则BG＝8﹣x，在Rt△ABG和Rt△GCE中，根据勾股定理，得AB2+BG2＝CE2+CG2，即82+（8﹣x）2＝42+x2，解得x＝7，∴BG＝BC﹣CG＝8﹣7＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练运用线段垂直平分线的性质构造辅助线．三、解答题：本大题9小题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．用适当的方法解下列方程：（1）x2+2x﹣5＝0；（2）（x﹣2）2+x（x﹣2）＝0．【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．解：（1）x2+2x﹣5＝0，x2+2x+1＝6，（x+1）2＝6，∴，解得，；（2）（x﹣2）2+x（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x﹣2+x）＝0，即（x﹣2）（2x﹣2）＝0，∴x﹣2＝0或2x﹣2＝0，解得x1＝2，x2＝1．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB．（1）试判断四边形ADCE的形状，并证明你的结论；（2）当∠ABC＝45°时，四边形ADCE为正方形．【分析】（1）根据平行可以证明四边形ADCE是平行四边形，由直角三角形的性质可求得AE＝EC，进而得出四边形ADCE为菱形；（2）根据题意可知当四边形ADCE为正方形时，等腰直角三角形的三线合一性即可求得∠ABC．解：（1）四边形ADCE为菱形，理由如下：∵AE∥CD，CE∥AB，∴四边形ADCE为平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴DA＝DC，∴平行四边形ADCE为菱形；（2）若四边形ADCE为正方形，∴CD⊥AB，∵D为AB的中点，∴AD＝BD，∴Rt△ACB是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°．故答案为：45．【点评】本题考查了菱形的判定，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，熟记判定定理和性质定理是解题的关键．19．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是试验中的一组统计数据：摸球的次数n10020030050080010003000摸到白球的次数m701281713024815991806摸到白球的频率0.70.640.570.6040.6010.5990.602（1）请估计当n很大时，摸到白球的概率为（精确到0.1）．（2）估算盒子里有白球24个．（3）若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有1个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.5，那么可以推测出x最有可能是多少？【分析】（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此可得；（2）用总球数乘以摸到白球的概率即可得出答案；（3）根据概率公式和摸到白球的个数，即可求出x的值．解：（1）根据表中的数据可知，估计当n很大时，摸到白球的概率为0.6；（2）估算盒子里约有白球40×0.6＝24（个），故答案为：24；（3）根据题意知，24+1＝0.5（40+x），解得x＝10，答：可以推测出x最有可能是10．【点评】本题主要考查利用频率估计概率，解题的关键是掌握大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．20．如图，用一根铁丝分成两段可以分别围成两个正六边形，已知它们的边长比是1：2，其中小六边形的边长为（x2﹣4）cm，大正六边形的边长为（x2+2x）cm（其中x＞0）．求这根铁丝的总长．【分析】根据两个六边形的边长比为1：2，从而可得2（x2﹣4）＝x2+2x；解方程即可求得铁丝的总长．解：∵两个六边形边长比是1：2，∴2（x2﹣4）＝x2+2x，解得x1＝4，x2＝﹣2（舍去），两个六边形的边长分别为x2﹣4＝12，x2+2x＝24，则铁丝的长为12×6+24×6＝216cm．【点评】本题主要考查了整式的加减运算，解题的关键是掌握去括号法则和合并同类项法则．21．为了编撰祖国的优秀传统文化，某校组织了一次“诗词大会”，小明和小丽同时参加，其中，有一道必答题是：从如图所示的九宫格中选取七个字组成一句唐诗，其答案为“山重水复疑无路”．（1）小明回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择，若随机选择其中一个，则小明回答正确的概率是；（2）小丽回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”、第四个字是选“富”还是选“复”都难以抉择，若分别随机选择，请用列表或画树状图的方法求小丽回答正确的概率．【分析】（1）利用概率公式直接计算即可；（2）画出树状图得到所有可能的结果，再找到回答正确的数目即可求出小丽回答正确的概率．解：（1）∵对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择，∴若随机选择其中一个正确的概率＝，故答案为：；（2）画树形图得：由树状图可知共有4种可能结果，其中正确的有1种，所以小丽回答正确的概率＝．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求事件A或B的概率．22．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？【分析】作出辅助线，过点Q作QE⊥PB于E，即可得出△PQB的面积为，有P、Q点的移动速度，设时间为t秒时，可以得出PB、QE关于t的表达式，代入面积公式，即可得出答案．解：如图，过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°．∵∠ABC＝30°，∴2QE＝QB．∴S△PQB＝•PB•QE．设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2，则PB＝（6﹣t）cm，QB＝2t（cm），QE＝t（cm）．根据题意，•（6﹣t）•t＝4．t2﹣6t+8＝0．t1＝2，t2＝4．当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2．答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．【点评】本题考查了一元二次方程的运用，注意求得的值的取舍问题．23．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形．（2）若AD＝12，EF＝4，求OE和BG的长．【分析】（1）证OE是△ABD的中位线，得OE∥FG，则四边形OEFG是平行四边形，再证∠EFG＝90°，然后由矩形的判定定理即可得到结论；（2）由菱形的性质得到BD⊥AC，AB＝AD＝12，再由直角三角形斜边上的中线性质得OE＝AD＝6，然后由勾股定理得到AF＝2，即可得出BG的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，∵E是AD的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四边形OEFG是平行四边形，∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，∴平行四边形OEFG是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB＝AD＝12，∴∠AOD＝90°，∵E是AD的中点，∴OE＝AE＝AD＝6，由（1）知，四边形OEFG是矩形，∴FG＝OE＝6，∵EF⊥AB，∴∠EFA＝90°，∴AF＝＝＝2，∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝12﹣2﹣6＝4．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和三角形中位线定理，证明四边形OEFG为矩形是解题的关键．24．如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB延长线上一动点，连接EF，过点C作AB的平行线CD，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD．（1）求证：四边形DBEC是平行四边形．（2）若∠ABC＝120°，AB＝BC＝4，则在点E的运动过程中：①当BE＝2时，四边形BECD是矩形；②当BE＝4时，四边形BECD是菱形．【分析】（1）证△EBF≌△DCF（AAS），得DC