2021-2022学年新教材高中数学全册测试练习【含答案】

必修四全册测试

150分

、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.）

.已知复数Z]=2—ai（aWR）对应的点在直线x—3y+4=0上，则复数Z2=a+2\对应的点在

（）

.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

.设机、〃是两条不同的直线，夕是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

.若加〃a,n//则机〃〃B.若〃z〃a,则a〃4

.若加〃m.La,则〃J_aD.若根〃a,a邛,贝lj

.Z\A3C的三个内角A,B,C所对的边分别为小b,c,若8=120。，sinC=^-,c=2,则

△A8C的面积等于（）

.eqB.2小C.eqD.eq

.已知等腰直角三角形ABC中，NC=：,AC=2<2,。为AB的中点，将它沿CQ翻折，使

点A与点8间的距离为2加，此时三棱锥C-A8。的外接球的表面积为（）

.57rB.447tC.3TTD.12K

./XABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c,且acosB=（2c—力cosA,则角A的大小为（）

.eqB.eqC.eqD.eq

.唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱

的组合体（如图2）.当这种酒杯内壁表面积（假设内壁表面光滑，表面积为S平方厘米，半球的

半径为R厘米）固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R的取值范围为（）

.eqB.eq

.eqD.eq

.如图，在正四面体P-ABC中，D、E、F分别是AB、BC、。的中点，下面四个结论不成立

的是（）

.BC〃平面PD尸

.£>F_L平面B4E

.平面平面PAE

.平面PDELL平面A8C

.中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆

正好处在坡度15。的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰

角分别为60。和30。，第一排和最后一排的距离为1丽米（如图所示），旗杆底部与第一排在同

一个水平面上.要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）（）

.eqB.eq

.eqD.eq

、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）

.设/为直线，a,夕是两个不同的平面，下列命题中错误的是（）

.若/〃a,l//p,则a〃/?B.若LLa,lYp,则a〃夕

.若/_La,l//p,贝iJa〃£D.若a邛,I//a,贝I

0.下面给出的四个结论正确的为（）

.若复数zGR,则错误！WRB.若复数z满足错误！GR,则zWR

.对于复数Z,有那=外.对于复数Zl，Z2，若3+z3=0,则Zl=Z2=0

1.已知锐角△ABC,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=4,ZB=60°,则边b的可

能取值为（）

.2B.3C.4D.5

2.已知空间中两条直线”，人所成的角为50。，P为空间中给定的一个定点，直线/过点P且

与直线。和直线匕所成的角都是J（0°<6W90。），则下列选项正确的是（）

.当。=15。时，满足题意的直线/不存在B.当9=25。时，满足题意的直线/有且仅有1条

.当6=40。时，满足题意的直线/有且仅有2条D.当。=60。时，满足题意的直线/有且仅有

3条

、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）

3.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为mb,c,且a=3,b=4,c=6,则。ccosA+accosB

+ahcosC的值是.

4.公元一世纪的我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道名题，就是“引葭赴岸”问题，

题目是：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适马岸齐，问水深，葭长各几

何？”题意是：有一正方形池塘，边长为一丈（10尺），有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部

分有1尺长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到沿岸（池塘一边的中点），则水深为尺.

5.欧拉公式e*=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的

定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉

吗

为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，对e•4表示的复数z,则|z|=.

jr

6.在△ABC中，ZABC=y边BC在平面a内，顶点A在平面a外，直线AB与平面a所成

角为。若平面ABC与平面a所成的二面角为?则sin6=.

、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

7.（10分）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asinB+1=bsinA+2cosc

1）求角C的大小；

2）若a=2,a2+/>2=2c2,求△ABC的面积.

8.（12分）如图，直三棱柱ABC-AIBIG中,M,N分别为A|B,81G的中点.

1）求证：MN〃平面AiACG；

2）已知AiA=AB=2,BC=&ZCAB=90°,求三棱锥G-4B4的体积.

9.（12分）已知函数/（x）=siiwsin错误！一错误!（xGR）.

1）求./错误!的值和_/（x）的最小正周期；

2）设锐角△4BC的三边”，6,c所对的角分别为4,B,C,且僧误!=错误!，a=2,求6+c

的取值范围.

0.（12分）如图，OC_L平面48C,EB//DC,AC=BC=EB=2DC=2,ZACB=120°,P,Q

分别为AE,AB的中点.

1）证明：PQ〃平面AC。；

2）求AD与平面ABE所成角的正弦值.

1.（12分）法国数学家费马被称为“业余数学家之王”，很多数学定理以他的名字命名.对^

ABC而言，若其内部的点P满足NAPB=NBPC=NCB4=120。，则称P为AABC的费马点.如

图所示，在AABC中，已知NBAC=45。，设P为△ABC的费马点，且满足NPBA=45。，PA

=2.

1）求△以C的面积;

2）求PB的长度.

2.（12分）如图1所示，在长方形ABC。中，A8=2,AD=\,E为CO的中点，以AE为折痕,

把△£）?!£；折起到△£>'4E的位置（如图2所示），且平面O'AE_L平面ABCE.

1）求证：AD'±BE；

2）求四棱锥。'-ABCE的体积；

3）在棱E。'上是否存在一点P,使得》B〃平面弘C,若存在，求出点P的位置，若不存在,

请说明理由.

图2

必修四全册测试

.答案：B

析：复数zi=2—ai对应的点为（2,~a）,它在直线x—3y+4=0上，故2+3a+4=0,解得a

=-2,于是复数Z2=-2+2i,它对应点的点在第二象限，故选B.

较索•C

析：由于m//a,n//a,则〃〃2〃，团与〃可能相交也可能异面，所以A不正确；tn//a9m//[f,

则a〃夕，还有a与4可能相交，所以B不正确；m//n,mLa,则〃_La,满足直线与平面垂

直的性质定理，所以C正确.〃?〃％a邛,则加，儿也可能加〃夕，也可能夕=A,所以

D不正确.

.答案：A

历

析：*•B—120°,sinC=7,c=2,

由L-正t■弦芬定…e理而b万=而c7，r可/日付,'c=-s/in不B=巾r-，

由余弦定理炉=/+/—248。S8,可得7=a2+4-2XaX2X(-3，整理得a2+2a-3=0,

解得a=l,或一3(舍去)，

SA*BC=£，必sinC=；X1X巾义^^=乎.

.答案：D

析：等腰直角三角形ABC中，/C=：,AC=2也，解得AB=4.

于CD_L4O,CD±BD,易得CD_L平面ABD,

4与点8间的距离为2吸，

以AU+BUMA#,则AO_LB。，

以将三棱锥C-A8Q放到棱长为2的正方体中，

以(2R)2=22+22+22,解得R=小，S衰=4兀=2=12兀

■答案：C

析：因为acosB=(2c—b)cos4,

正弦定理得sinAcosB=(2sinC-sinB)cosA,

以sinC(1—2cosA)=0.

1JT

为OVCV兀，所以sinOO,所以cosA=].又OVAV兀，所以A=g.

.答案：D

析：设圆柱的高度与半球的半径分别为/?,R,贝I5=2兀g+2兀R/?,则兀穴/?=2—兀/?2,

27

以酒杯的容积丫=下网十久川人=下R3+错误!R=一错误!R3+错误!RW错误!兀/吐

s

h>0,所以受一兀/?2>0,

q5

以小〈资春脑解得错误!WR<错误!.

.答案：D

析：设AEAO尸=0,由。/〃BC,可得BC〃平面PDF,故A正确.若P0_L平面ABC,垂

足为。，则。在AE上，贝！］£>F_LP。，XDF1AE,故£>F_L平面B4E,故B正确.由。F_L平

面以E可得，平面平面物E,故C正确.,.•。凡£平面以E,DFU平面ABC,平面

力EJ_平面ABC,：平面朋EA平面PDE=PE,且PE与平面ABC不垂直，二平面PDE与平

面43c不垂直，故D错误.

•答案：B

析：如图所示，依题意知NAEC=45。，ZACE=180°-60°-15°=105°,

NE4C=180°-45°-105°=30°.

CFAC

正弦定理知.美“=.优”,

sinZEACsinZAEC

AC=烹*Xsin45°=20（米），

在RtZ\ABC中，AB=ACsin/ACB=20X坐=1即（米）.

国歌长度约为46秒，

升旗手升旗的速度应为喀=智（米/秒）.

.答案：ACD

析：A中a,£也可相交，A不正确；由垂直同一直线的两平面平行知，B正确；C中，a,£

垂直，不正确；D中/与£也可平行或/U尸，不正确.

0.答案：AB

析：若复数ZWR,则z虚部为0,所以它的共物复数是它本身，也属于实数，选项A正确；

11a—bi1

设z=a+bi,则二二「不二下匚^^区由二£R得到人=0,所以z£R,选项B正确；对于复数

za~\~b\6r十。z

Z,例如z=i,则|z|2=l,z2=-1,不满足|z|2=z2,选项C不正确；对于复数Z],Z2,例如Z]

=1,Z2=i,满足z?+z乡=0但是不满足Z1=Z2=O,选项D不正确.

1.答案：CD

析：在AABC中，c=4,ZB=60°,

4X坐r-

品=会,得〃=号瞿=号=煞•由于°<C¥，可得sinCC(。』)，即有Q2小

b=4,则匕=c,即B=C=60。，ZXABC为等边三角形，成立；

b=5,可得sinC=¥e错误！，且b>c,即8>C,

为30。<(<60。,即有60°VA<90°,成立.

2.答案：ABC

析：如图，过点P作4i〃a,b\//b,则相交直线ai,"确定一平面a.ai与加夹角为50。，

直线方即/与G,6所成角均为8角，

图/绕尸转动保持与"I,历夹角相等，

/在a内为a,8夹角平分线时，。最小为25。，

以AB正确，当9为40。和60。时直线/都有2条，所以C正确，D错.

3.答案：y

序+d—CT\\

析：因为COSA=-------------,所以〃CCOSA=/(Z?2+C2——〃2)・同理,1CCOS5=](。2+/——/?),abcos

।16]

C=2(ci2+b2—c2).所以bccosA+accosB+abcosC=2(^2+b2+c2)=~.

4.答案：12

析：如图所示，。4=08,AC=1,

C.LOA,BC=|xiO=5.

水深OC=x尺，则葭长为x+1尺.

RtZXOBC中,?+52=(X+1)2,

得x=12.

水深。。=12尺.

5.答案：1

2019

占所*丁i

42019,..2019

析：由魏意，e=cos~7T+isin4JL=

3兀.3兀yf2y[2.

os彳十ismq-=—2十2L

以团=错误！=1.

3

6.答案：]

析：如图，过A作A。，明垂足是O,过。作OOLBC,交BC于D,连接AD,

AD1BC,J平面ABC与平面a所成的二面角为乙4。。=小

ABO是直线A8与平面。所成角，即NA8O=],设AO=小，

△ABC中，NA8C=W，BD=^AB,AD=^AB,A0=^AD=^AB,

7.解析：（1）因为由正弦定理得卷=备，

以asinB=6sinA,

2cosC=1,cosC-21

7t

0<C<7t,C—y

2）由余弦定理得（r=a2+b2—ab,

4+/=2（4+〃-26）,解得b=2.

SAABC=3"加inC=：X2X2Xsin尹小.

8.解析：（1）证明：如图，设K是5c的中点，连接KMKM,分别在△ABC,△BICIC中

利用三角形中位线定理可得：

K//AC,KN//CC\,

MKCNK=K,平面MNK〃平面AAiGC,

MNU平面MNK,：.MN//平面A\ACC\.

2）VZCAB=90°,AB=2,BC=邓,

AC^BCZ-AB1=\,则SMBC=1,

ABC-4BIG是直棱柱，高为AAi=2,

棱柱A8C-A山iG的体积为VABC-A\B\C\=2.

VQ-ABA।^VABC-A।B,Ci=1.

9.解析：⑴函数於）=sinx-sin错误!一错误!（xGR）.

以/错误!=错误！X错误!一错误!=错误!<x）=sinA错误!一错误！

1—CCS9jr-八11

—「+竽sin2x—；=；sin错误！，所以函数段）的最小正周期为兀

2）设锐角△A8C的三边a,b,c所对的角分别为A,B,C,且摩误!=错误!，

以sin错误！=错误！，解得人=错误!.

用正弦定理-4=3=/不，

smAsinBsinC

得6=错误!sin8,c=错误!sin错误!，

以6+c=错误!错误!=4sin错误!，由于错误！，解得错误!<B<错误!，所以B+错误！G错误!,

所以6+ce（2小，4].

0.解析：（1）证明：因为P,。分别为AE,AB的中点，

以PQ//EB.又DC〃EB,因此PQ〃OC,

「如平面AC。，从而PQ〃平面ACD

2）如图，连接CQ,DP,因为。为4B的中点，且4c=BC,所以

为DCJ■平面ABC,EB//DC,

以E8_L平面ABC,因此CQ_LE8.

CQ_L平面ABE.

（1）有尸Q〃OC,又PQ=3EB=DC,

以四边形CQPO为平行四边形，故DP/ICQ.

此。P_L平面ABE,ND4P为AQ和平面ABE所成的角，

RtZ\O%中，4力=小，DP=\,

inZDAP—

此AD和平面ABE所成角的正弦值为坐.

1.解析：⑴由已知得